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专题三 椭圆性质的综合应用
【题型1】 椭圆的定义与方程的应用问题
1、如已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，过作直线交于两点，的周长为8，则的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
2、“”是“方程表示椭圆”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分杂件
C．充要杂件 D．既不充分也不必要条件
3、过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为_______．
4、已知两圆，动圆在圆内部且和圆相内切．和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为_________．
【题型2】 椭圆的焦点三角形问题
5、已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
6、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
7、已知点在焦点为、的椭圆上，若，则的值为______．
【题型3】 求离心率的取值范围
8、已知椭圆的左焦点为F，过原点O的直线l交椭圆C于点A，B，且，若，则椭圆C的离心率是　 　.
9、椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10、已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
11、设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12、椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型4】 中点弦问题
13、椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为_________________．
14、已知椭圆的右焦点为F，直线与椭圆C交于A，B两点，AB的中点为P，若O为坐标原点，直线OP，AF，BF的斜率分别为，，，且，则k＝______．
15、已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于，两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为-0.5.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当时，椭圆上是否存在，两点，使得，关于直线对称，若存在，求出，的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型5】 求椭圆中最值问题
16、设点是椭圆：上的动点，点是圆：上的动点，且直线与圆相切，则的最小值是______.
17、过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
18、已知焦点在轴上的椭圆，且，2，成等差数列，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
19、设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
（1）求直线l倾斜角的取值范围；
（2）直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．
【题型6】 椭圆的综合应用
20、已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值
21、已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点分别作直线，交椭圆于A，两点，设两直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点．
22、已知椭圆：的左焦点为，下顶点为，斜率为的直线经过点．
（1）若与直线垂直，求的方程；
（2）若直线与椭圆相交于不同的，，直线，分别与直线交于，且，求的取值范围．
答案解析
1、【答案】D
【解析】
因为椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程，由的周长为，即，即，椭圆的标准方程为，故选D.
2、【答案】D
【解析】由，可得，
当时，方程可化为，此时方程表示圆，所以充分性不成立；
反之：方程表示椭圆，则满足，即且，
所以不成立，即必要性不成立，
所以“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
3、【答案】
【解析】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有c2=25-9=16，
设它的标准方程为 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又点(，－)在所求椭圆上，即，
联立两个方程得，即，解得b2=4，则a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为.
故答案为：
4、【答案】
圆，
圆心，圆，圆心，
动圆设圆心，半径为r，动圆M在圆内部，且动圆M与圆相内切，与圆相外切，
所以，
①＋②可得，又，
所以，
则动点M满足椭圆定义，，
焦点，
所以椭圆方程为．
故答案为：
5、【答案】C
【解析】由椭圆可得，所以，
因为点在上，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，最大值为9.
故选：C．
6、【答案】B
解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
7、【答案】
在椭圆中，，，则，，
由椭圆的定义可得，
因为，则，
所以，.
故答案为：.
8、【答案】
【解析】【解答】设右焦点为，连接，.
因为 ，即 ，可得四边形 为矩形.
在 中， ， .
由椭圆的定义可得 ，所以 ，所以离心率 .
故答案为： .
9、【答案】D
因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
10、【答案】
【解析】由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
又，即，当且仅当时等号成立，
故，
所以，，解得：.
故答案为：
11、【答案】B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，
得，所以，令，得，
又，得，所以，
所以 ，即，所以
所以椭圆的离心率的取值范围为，
故选：B
12、【答案】A
【解析】解法1：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
解法2：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
13、【答案】
【解析】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
14、【答案】
【解析】设，，，
则，，．
由，得，即，
所以，得．
联立方程组，得，
则，．
因为
，
所以，故．
故答案为：．
15、【解析】（1）设，，则，
即．
因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，即，
又，所以，即．
又因为椭圆过点，所以，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意可知，直线的方程为．
假设椭圆上存在，两点，使得，关于直线对称，
设，，的中点为，所以，，
因为，关于直线对称，所以且点在直线上，即．
又因为，在椭圆上，所以，，
两式相减得，
即，所以，即．
联立，解得，即．
又因为，即点在椭圆外，这与是弦的中点矛盾，
所以椭圆上不存在点，两点，使得，关于直线对称．
16、【答案】
【解析】由题可知，＝1，设，，，
则，
∴当时，.
故答案为：.
17、【答案】
【解析】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
18、【答案】C
解：焦点在轴上的椭圆．所以，
又，2，，成等差数列，所以，联立解得，所以椭圆方程为，左焦点，右顶点，
设，则，所以，
，
，
时．
故选：C．
19、【解析】（1）由双曲线得，
则右焦点，显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，由得，
因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设，
则，
解得，
当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或，
综上，直线l倾斜角的取值范围为
（2）因为O是AB中点，所以
，令，则
，其中，且
又在单调减，所以，
当，即时求得，此时直线l的方程为
20、【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）由题意椭圆经过点 ，离心率为，
可得，解得，故椭圆C的方程为
（2）由题意可知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为，
由，可得，
由于直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，
则，解得，
设,则，
，
故
，
即为定值.
21、【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】（1）由题意点是椭圆的一个顶点，知，
因为是等腰直角三角形，所以，即，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）若直线的斜率存在，设其方程为，由题意知．
由，得，
由题意知，设，，
所以，，
因为，所以
，
所以，整理得，
故直线的方程为，即，
所以直线过定点．
若直线的斜率不存在，设其方程为，，．
由题意得，解得，
此时直线的方程为，显然过点．
综上，直线过定点
22、【解析】（1）椭圆的左焦点为，下顶点为，
所以直线，若与直线垂直，则直线的斜率为1，
又直线经过点，所以直线的方程为，即；
（2）由题意知直线的斜率存在，
设，由得，
由得或，
，，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
令，可得，，可得，
因为，所以同号，且，
所以，
即，解得，又或，
所以或.

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