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第7章 三角函数
7.3.1 三角函数的周期性
如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x+T ∈A，并且
f(x+T)＝f(x)，
那么称函数y＝f(x)是周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期。
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，
知识点1：函数周期性的定义
对函数周期性的理解：
1.周期函数定义域
2.T必须是常数，且不为零
3.周期函数的定义是对任意的x∈A，只有个别值满足f(x+T)＝f(x) 不能说T是f(x)的周期。举例说明
4.是f(x+T)＝f(x). 若f(2x+T)＝f(x)，则T不是f(x)周期
2、函数奇偶性、周期性的定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，
如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且
f(－x)＝－f(x)，
那么称函数y＝f(x)是奇函数(even function)；
如果对于任意的x∈A，都有－x ∈A，并且
f(－x)＝f(x)，
那么称函数y＝f(x)是偶函数(odd function)。
如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的x∈A，都有x+T ∈A，并且
f(x+T)＝f(x)，
那么称函数y＝f(x)是周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期
无数个：若T是f(x)的周期，则kT (k∈Z,k≠0)也是f(x)的周期。
图象每间隔一段会重复出现。
问：一个周期函数是否一定有最小正周期？
不一定，如f(x)=1
知识点2：最小正周期
基础自测
[判断题]
1.任何周期函数都有最小正周期.( )
提示　常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期.
2.若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.( )
3.y＝|sin x|是周期函数.( )
提示　根据周期函数的定义，存在T≠0，对于定义域内的任一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，特殊的不行.
×
√
√
×
问：正弦函数f(x)=sinx 的周期什么？最小正周期呢？
问：余弦函数f(x)=cosx 和正切函数f(x)=tanx 呢？
的最小正周期
的最小正周期
的最小正周期
的最小正周期
的最小正周期
你有什么发现？
问：若ω不大于0呢？
知识点3：正弦、余弦、正切函数的周期性
[基础训练]
A.6π B.3π C.2π D.π
答案　A
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数
答案　D
答案　3
题型一　求三角函数的最小正周期
【例1】　求下列函数的最小正周期：
解　(1)法一　设f(x)的周期为T，
∴T＝4π，
(3)利用周期函数的定义，
f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x).
∴f(x)＝|sin x|的周期为π.
答案　D
【迁移1】　(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
规律方法　当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.
【训练3】　设f(x)是周期为2的奇函数，当0解析　当1因为当0所以f(2－x)＝sin(2－x)＋2－x.
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
答案　sin(x－2)＋x－2
课堂小结：
1.周期函数的概念
2.最小正周期的概念和求法：公式法和定义法
3.三角函数的最小正周期

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