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易错点11 平面向量
易错点1：向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小称为向量的模(或大小)，记作||.
(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.
(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.
(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.
(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.
易错点2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反. (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
易错点3.共线向量定理
如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.
易错点4.向量模的不等式
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
易错点4.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
易错点5.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
易错点6.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
易错点7.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x2y1＝x1y2.
易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
1．在中，点D满足，E为上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点A B在单位圆上，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
3．若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量 ，若 与垂直，则λ＝（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
1．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－或 D．0
3．已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
一、单选题
1．已知四边形，设E为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知向量满足，则( )
A．4 B．3 C．2 D．0
4．已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（ ）
A．0 B． C． D．
5．设向量，，满足，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C．4 D．
6．设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A． B．3 C． D．1
8．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C．向量的夹角为 D．在方向上的投影向量是
10．在中，，分别为，的中点，为的中点，为所在平面内的任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、解答题
11．记的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)记的面积为，求的最大值．
12．已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)记，在中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.易错点11 平面向量
易错点1：向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量称为向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小称为向量的模(或大小)，记作||.
(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量.
(3)单位向量：模等于1的向量称为单位向量.
(4)平行向量(共线向量)：如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：大小相等、方向相同的向量.
(6)相反向量：大小相等、方向相反的向量.
易错点2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向如下： ①当λ>0时，与a的方向相同； ②当λ<0时，与a的方向相反. (2)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
易错点3.共线向量定理
如果存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)，则b∥a.
易错点4.向量模的不等式
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
易错点4.平面向量基本定理
(1)平面向量的基底
平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
易错点5.平面向量的坐标
一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).
易错点6.平面向量的坐标运算
(1)平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
(2)向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，则|a|＝.
(3)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝.
易错点7.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x2y1＝x1y2.
易错点8.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
1．在中，点D满足，E为上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
则，
因为A，E，D三点共线，
所以，所以．
故选：D.
2．已知点A B在单位圆上，，若，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】A
【详解】，因此.
故选：A.
3．若向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知得，，，
，所以.
故选：C．
4．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在方向上的投影向量为
故选：C.
5．已知平面向量 ，若 与垂直，则λ＝（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】C
【详解】因为，故，
由题意与垂直，∴，
即 ，解得 ，
故选：C
1．已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】因为，所以.
故选：D
2．已知向量，，若，则实数m等于（ ）
A．－ B．
C．－或 D．0
【答案】C
【详解】由知：1×2－m2＝0，即或.
故选：C.
3．已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，，.
，
因此，.
故选：D.
4．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
5．已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【详解】由已知，，
所以，
故选A
一、单选题
1．已知四边形，设E为的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在平面（空间同样）四边形中，
，
因为，所以．
故选：A．
2．已知向量，，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】因为，，
所以，
所以，
故选：D
3．已知向量满足，则( )
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【详解】﹒
故选：B．
4．已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【详解】设，因为，的夹角为，
所以，
因为非零向量，，满足，
所以，
所以
．
故选：A．
5．设向量，，满足，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
6．设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，
代入得，
又
故夹角为．
故选：C
7．已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】D
【详解】由，，，
，，，
解得，所以向量在向量方向上的投影为，
故选：D.
8．已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【详解】解：如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C．向量的夹角为 D．在方向上的投影向量是
【答案】AC
【详解】对于A，，由，则，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，，，则，即向量的夹角为，故C正确；
对于D，在方向上的投影向量是，故D错误.
故选：AC.
10．在中，，分别为，的中点，为的中点，为所在平面内的任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
取的中点，连接，显然，，三点共线，且是的中点，则，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
因为，所以，故选项C正确；
因为，所以，，所以，故选项D正确；
故选：BCD.
三、解答题
11．记的内角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求；
(2)记的面积为，求的最大值．
【答案】
（1）
解：因为，
由平面向量数量积的定义可得，
即，整理可得，
由正弦定理可得.
（2）
解：，由余弦定理可得，
所以，，令，即，
可得，为锐角，且，
所以，，解得，此时，
当时，取得最大值.
故的最大值为.
12．已知向量，.
(1)若，求的值；
(2)记，在中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】（1）
.
∵，∴.
.
（2）
∵，
由正弦定理得，
∴，
∴.
∵，
∴，且，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴
故的取值范围是.

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