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一元二次不等式专题
知识点一　一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)计算相应的 .
(3)当 时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)利用二次函数的图象与x轴的 确定一元二次不等式的解集．
不含参数的不等式
例1解不等式3x2－2x－2>0
跟踪练习
解下列不等式
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. (5) x2－2x＋3>0； (6)－x2－3x＋4>0；(7)4x2－20x＜－25；(8)(x－3)(x－7)＜0； (9)－3x2＋5x－4＜0；
(10)x(1－x)≥x(2x－3)＋1. (11)9x2＋6x＋1≤0, (12)－x2－3x＋4>0；
(13) x2＋2x－15>0；(14)x2－3x＋5>0； (15)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
含参数的不等式
例2 解下列关于x的不等式：
(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)；
(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)；
跟踪练习
解下列不等式
（1）ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0) （2）12x2－ax>a2(a∈R) （3）x2－(a＋1)x＋a＜0
（4）x2－2ax＋2≤0(a∈R) （5）ax2－2≥2x－ax(a＜0) （6）ax2－(a＋1)x＋1<0
（7）ax2＋(a－1)x－1>0. (8)x2－ax－2a2<0 （9）12x2－ax>a2(a∈R)
（10）x2－ax－2a2<0.
知识点二　三个二次之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有 实根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x∈R且_x≠x1__} __
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|_x1例3（1）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，求不等式x2－bx－a≥0的解集.
解：　(1)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是
，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.
跟踪练习
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集(　　)
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－12.若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是，则a的值为(　 　)
A．－　　　　　　B．2 C．－2 D．
3.方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是(　 　)
A．0≤m<1 B．0C．04．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为(　　)
A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6
5.在R上定义运算 ：a b＝ab＋2a＋b，则满足x (x－2)＜0的实数x的取值范围为(　　)
A．(0，2) B．(－2，1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
6.关于x的不等式(ax－b)(x＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋b>0的解集为　(　 　)
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
7.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A．m<－2或m≥2　　　　 B．－2C．－28.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(　 　)
A．(－3，5) B．(－2，4) C．[－1，3] D．[－2，4]
9．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是(　 　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0，2)
10.若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－或x>}，则＝(　 　)
A． B． C．－ D．－
11.已知关于x的不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－5x＋a＞0的解集为(　 　)
A. B.
C．{x|－3＜x＜2} D．{x|x＜－3或x＞2}
12.满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(　 　)
A．(－2，1) B．(－3，－6) C．(2，4) D．
13.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是
(　 　)
A．－2≤a< B．－2≤a≤ C．－2≤a<1 D．－2≤a≤1
14.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　 　)
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m15.若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝__ ______.
16.若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝____ ____.
17.不等式(m＋1)x2－(1－m)x＋m≤0对任意实数x都成立，求实数m的取值范围__ __
18.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是____ ______
19.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是__ ______．
20.若－1＜a＜0，则关于x的不等式(a－x)＞0的解集是________
21.已知定义在R上的运算“ ”： x y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a) (x＋a)>0.
(1)当a＝2时，不等式的解集为________________；
(2)若任意x∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________
22.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_______
23.若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是________
24.已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为____________
25．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B．
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
26.若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
27.若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
28.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α0的解集．
29.已知一元二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y＞0的解集为{x|－3＜x＜2}．
(1)求一元二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
30.已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R.
(1)若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；
(2)若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
31.对于不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2，试求对区间[0,2]上的任意x都成立的实数t的取值范围．
32.若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3＞0的解集为R
三、分式不等式的解法
分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0)
解下列不等式
(1).<0； (2)≤1. (3)≥0；
（4）<3. (5)x＋>2 （6）>0.
（7）≤3 （8）<2 (9)<0
（9）>2 (11)≤0 （12）＋2≥0
四、高次不等式的解法
解一元高次不等式f(x)>0(或f(x)<0)常用数轴穿根法(又称穿针引线法)．
其一般步骤是：
(1)将不等式化为一端为0，另一端为一次因式或二次不可约因式的积的形式，并使每个因式最高次项的系数为正；
(2)求根，标根：求出各因式的根，并在数轴上从小到大依次标出；
(3)画曲线：从数轴的最右端上方起，自右至左依次经过各个点(根)画曲线(注意：遇奇次重根一次穿过数轴，遇偶次重根穿而不过．若有三重以上根，可先等价转化，如x3>0 x>0，x4>0 x2>0等)；
(4)写解集：记数轴上方为正，下方为负，根据不等号的方向，写出不等式的解集．
解下列不等式
(1) ≥0 (2)(x＋2)(x2－x－12)>0
(2) (x2＋2x－3)(x－1)(－8x＋24)≤0 （4）
(5) (6)
（7） （8）
(9) (10)>0一元二次不等式专题（解析版）
知识点一　一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数_大于__零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)计算相应的_判别式__.
(3)当_Δ≥0__时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)利用二次函数的图象与x轴的_交点__确定一元二次不等式的解集．
不含参数的不等式
例1解不等式3x2－2x－2>0
解：令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，
∴3x2－2x－2>0的解集为
∪.
跟踪练习
解下列不等式
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. (5) x2－2x＋3>0； (6)－x2－3x＋4>0；(7)4x2－20x＜－25；(8)(x－3)(x－7)＜0； (9)－3x2＋5x－4＜0；
(10)x(1－x)≥x(2x－3)＋1. (11)9x2＋6x＋1≤0, (12)－x2－3x＋4>0；
x2＋2x－15>0；(14)x2－3x＋5>0； (15)4(2x2－2x＋1)>x(4－x).
答案：(1). (2). (3). (4)
(5)R, (6){x|－4(12){x|－43};(14)R, (15).
含参数的不等式
例2 解下列关于x的不等式：
(1)ax2－(a＋1)x＋1<0(a<0)；
(2)x2－2ax＋2≤0(a∈R)；
解：(1)若a＜0，则原不等式等价于(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.解集为∪(1，＋∞)．
(2)对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8，所以当Δ＜0，即－＜a＜时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为 ；
当Δ＝0，即a＝±时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当Δ＞0，即a＞或a＜－时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
综上，当a＞或a＜－时，解集为{x|a－≤x≤a＋}；当a＝时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－＜a＜时，解集为 .
跟踪练习
解下列不等式
（1）ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0) （2）12x2－ax>a2(a∈R) （3）x2－(a＋1)x＋a＜0
（4）x2－2ax＋2≤0(a∈R) （5）ax2－2≥2x－ax(a＜0) （6）ax2－(a＋1)x＋1<0
（7）ax2＋(a－1)x－1>0. (8)x2－ax－2a2<0 （9）12x2－ax>a2(a∈R)
（10）x2－ax－2a2<0.
答案：（1）当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为
（2）当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪
（3）当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，
当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，
当a＝1时，不等式的解集为
（4）当－＜a＜时，原不等式的解集为 ；
当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；
当a＞或a＜－时，原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．
（5）当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜－2时，原不等式的解集为.
（6）当a<0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
（7）当a>0时，不等式的解集为{x|x<－1或x>}；
当－1当a＝－1时，不等式的解集为 ；
当a<－1时，不等式的解集为.
(8)当a>0时，{x|－a当a<0时，{x|2a当a＝0时， .
当a>0时，不等式的解集为{x或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；当a<0时，不等式的解集为.
（10）①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为 .
知识点二　三个二次之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有_两相异__实根x1，x2 (x1ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|_x>x2或xax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|_x1例3（1）已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，求不等式x2－bx－a≥0的解集.
解：　(1)∵不等式ax2－bx－1>0的解集是
，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－，且a<0，
∴解得
则不等式x2－bx－a≥0即为x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.
跟踪练习
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集(　D　)
A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}
C．{x|－12.若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是，则a的值为(　C　)
A．－　　　　　　　　 B．2
C．－2 D．
3.方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是 (　C　)
A．0≤m<1 B．0C．04．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为(　B　)
A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－6
5.在R上定义运算 ：a b＝ab＋2a＋b，则满足x (x－2)＜0的实数x的取值范围为(　B　)
A．(0，2) B．(－2，1) C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1，2)
6.关于x的不等式(ax－b)(x＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋b>0的解集为　(　A　)
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
7.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是(　C　)
A．m<－2或m≥2　　　　 B．－2C．－28.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(　C　)
A．(－3，5) B．(－2，4) C．[－1，3] D．[－2，4]
9．若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是(　D　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0，2)
10.若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－或x>}，则＝(　A　)
A． B． C．－ D．－
11.已知关于x的不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，则关于x的不等式bx2－5x＋a＞0的解集为(　A　)
A. B.
C．{x|－3＜x＜2} D．{x|x＜－3或x＞2}
12.满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(　D　)
A．(－2，1) B．(－3，－6) C．(2，4) D．
13.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是
(　A　)
A．－2≤a< B．－2≤a≤ C．－2≤a<1 D．－2≤a≤1
14.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　B　)
A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－nC．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m15.若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝__-14______.
16.若关于x的不等式>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝____4____.
17.不等式(m＋1)x2－(1－m)x＋m≤0对任意实数x都成立，求实数m的取值范围__m≤－1－__
18.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是____－219.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是__{k|k≥4或k≤2}______．
20.若－1＜a＜0，则关于x的不等式(a－x)＞0的解集是________
若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为___－1≤a≤4_____．
21.已知定义在R上的运算“ ”： x y＝x(1－y)，关于x的不等式(x－a) (x＋a)>0.
(1)当a＝2时，不等式的解集为_______{x|－1(2)若任意x∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a的取值范围是__a<0或a>1______
22.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是____(－2，2]____
23.若不等式x2≥m＋4x在[0，1]上恒成立，则实数m的取值范围是__m≤－3
______
24.已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为______
x<1或x>3______
25．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B．
(1)求A∩B；
(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．
解：　(1)由x2－2x－3<0，得－1∴A＝(－1,3)．
由x2＋x－6<0，得－3∴B＝(－3,2)，
∴A∩B＝(－1,2)．
(2)由题意，得，
解得.
∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，
∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.
26.若不等式ax2＋5x－2>0的解集是.
(1)求实数a的值；
(2)求不等式ax2－5x＋a2－1>0的解集．
解：(1)由题意知a<0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，代入方程解得a＝－2.
(2)由(1)知不等式ax2－5x＋a2－1>0，
即为－2x2－5x＋3>0，即2x2＋5x－3<0，解得－30的解集为.
27.若关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
解：由题意知所以
代入不等式cx2－bx＋a>0中得ax2＋ax＋a>0(a<0).
即x2＋x＋1<0，化简得x2＋5x＋6<0，
所以所求不等式的解集为{x|－328.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α0的解集．
解　∵α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝.∵a<0，
∴cx2＋bx＋a>0同解变形为
x2＋x＋1<0.
由根与系数的关系将α、β代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1<0.
即αβ<0，
由0<α<β，可知>.
所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为
.
29.已知一元二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y＞0的解集为{x|－3＜x＜2}．
(1)求一元二次函数的解析式；
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．
解：(1)因为y＞0的解集为{x|－3＜x＜2}，
所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
所以解得
所以y＝－3x2－3x＋18.
(2)因为a＝－3＜0，所以一元二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.
所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
30.已知函数y＝x2－2ax＋a＋2，a∈R.
(1)若方程y＝0有两个小于2的不等实根，求实数a的取值范围；
(2)若不等式y≥－1－ax对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为方程y＝0，即x2－2ax＋a＋2＝0有两个小于2的不等实根，
所以即
所以a＜－1，
故实数a的取值范围为(－∞，－1)．
(2)由y≥－1－ax可得x2－2ax＋a＋2≥－1－ax，
所以x2－ax＋a＋3≥0对任意x∈R恒成立，
所以Δ＝a2－4(a＋3)≤0，
即a2－4a－12≤0，解得－2≤a≤6.
故实数a的取值范围为[－2，6]．
31.对于不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2，试求对区间[0,2]上的任意x都成立的实数t的取值范围．
解：设y＝x2－3x＋2，x∈[0,2]．
∵y＝2－，x∈[0,2]．
∴当x＝时，ymin＝－；
当x＝0时，ymax＝2.
∴不等式(2t－t2)≤x2－3x＋2≤3－t2对一切x∈[0,2]恒成立等价于：
，
即.
化简得，
解得－1≤t≤1－.
32.若不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集是{x|－3＜x＜1}．
(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a＞0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3＞0的解集为R
解：(1)由题意知1－a＜0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴
解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a＞0，
即为2x2－x－3＞0
解得x＜－1或x＞.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3＞0，即为3x2＋bx＋3＞0，
若此不等式解集为R，
则Δ＝b2－4×3×3＜0，∴－6＜b＜6.
三、解分式不等式
答案：（1）{x|－23} (4){x|－1(5)(－1，0)∪(1，＋∞)（6）(－∞，－3)∪(2，＋∞)（7）
（8）{x|x≠－2} (9)，（10）{x|1四、高次不等式的解法
答案：（1）{x|x<或≤x≤或x>2}
（2）{x|－34}
（3）{x|x≤－3或x＝1或x≥3}
（4）{x|}
（5）{x|}
（6）{x|-1（7）
（8）{x|}
（9）{x|}
（10）

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