资源简介

高中数学核心公式
一、等差数列
（1） 通项公式： an a1 (n 1)d (其中首项是 a1，公差是 d )
例 1：已知 an 为等差数列，且 2a3 a6 6，则 a4 （ ）
A．2 B．3 C．12 D．不能确定
（2）前 n n(a a项和公式： S 1 n )n na
n(n 1)
1 d2 2
例 2：已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a2 a8 10，则 S9 （ ）
A．40 B．45 C．80 D．90
a b
（3）等差中项：若 A是a与b的等差中项，则 A=
2
例 3：在等差数列 an 中， a3 5， a1 a5 （ ）
9
A． B．9 C．10 D．12
2
二、等比数列
（1）通项公式： an a1q
n 1 （其中首项是 a1，公比是 q）
例 4：等比数列 an 中， a7 2 ， a11 8，则 a9 （ ）
A．±4 B．±5 C．4 D．5
na1 (q 1)
（2）前 n项和公式： Sn=

a1 anq a1(1 q
n )
(q 1)
1 q 1 q
例 5：记 Sn为正项等比数列 an 的前 n项和．若 a1 2，2S3 2S2 9 ，则公比 q＝______．
（3）等比中项：若G是 a与b的等比中项，即G2 ab（或G ab ，等比中项有两个）
例 6：等比数列 an 中，若 a2， a4的等比中项为 1， a6 ，a8 的等比中项为 4，则 a5 （ ）
1
A. -2 B．2 C． 2 D．
2
三、同角三角函数的基本关系式
（1） sin2 cos2 1
例 7：已知 sin 3 ，且 为第一象限角，则 cos _________.
5
1
（2） tan = sin
cos
4
例 8：已知 为锐角， sin ，则 tan ______．
5
四、诱导公式
公式一： sin( k 2 ) sin (k Z)
cos( k 2 ) cos (k Z)
tan( k 2 ) tan (k Z)
例 9： sin 13 _________.
3
公式二： sin( ) sin
cos( + )= cos
tan( + )=tan
5
例 10：计算： sin ______.
4
公式三： sin( ) sin
cos( )= cos
tan( )= tan
例 11： sin 30 ___________.
公式四： sin( ) sin
cos( )= cos
tan( )= tan
例 12： tan 5 ___________.
6
2
sin 公式五：

cos
2
cos sin
2
1
例 13：若 cos sin ，则 ___________.4 2
k
口诀：奇变偶不变，符号看象限，即若 ，当 k为奇数时，需要变三角函数名，
2
若 k为偶数时，则不需要变三角函数名；看象限时，默认角 为锐角（第一象限角），最终
三角函数值的符号，取决于运动后的角所在象限的原始的三角函数的正负.
1 3
例 14：若 cos ，则 sin ___________.5 2
五、两角和与差的正弦、余弦和正切
（1） sin( ) sin cos +cos sin
例 15： sin 20 cos10 cos160 sin10 （ ）
A． sin10 B． sin30 C． cos10 D． cos30
（2） sin( ) sin cos cos sin
3π π π
例 16： sin cos cos sin 13π ___________．
4 12 4 12
（3） cos( ) cos cos -sin sin
例 17： cos 45 cos15 sin 45 sin15 ______.
（4） cos( ) cos cos sin sin
3
例 18：若锐角 满足 sin ，则 cos 的值为________.5 4
tan tan
（5） tan( )
1 tan tan
例 19：已知 tan 2 ， tan 4 ，则 tan （ ）
6 6 5 5
A． B． C． D．
7 7 7 7
3
（6） tan( ) tan tan
1 tan tan

例 20：已知 tan 3，则 tan （ ）
4
A．-4 B．2 C．-1 D．1
六、辅助角公式

a sin x bcos x a a 2 b 2 sin x
b
cos x
2 2 2 a b a b2
= a2 b2 (sin x cos cos x sin )
a2 b2 sin(x ) 其中tan
b

a
5 5
例 21：求值 3 sin - cos =______.
12 12
七、二倍角公式
（1） sin 2 2sin cos
例 22：已知 sin cos 4 ，则 sin 2 ________.
3
（2） cos 2 cos2 sin 2 1 2sin 2 2cos2 1
sin 2例 23：已知 ，则 cos
2 ___________.
6 3 3
tan 2a 2 tan （3）
1 tan 2
π 3
例 24：若 sin ，且 为第二象限角，则 tan 2 ________.
2 5
八、降幂公式
1 cos 2 1 1
（1） sin2 cos 2
2 2 2
例 25：已知 cos 2 2 1

，则 sin2 ___________.
3 9 3
cos2 1 cos 2 1（2） cos 2 1
2 2 2
4
例 26：已知 sin(π 2 )
1 π
，则 cos2 ( ) （ ）
2 4
1 1 3 1
A． B． C． D．
2 4 4 3
九、解三角形
1 1 1
（1）三角形面积公式： SV ABC ab sinC ac sinB= bc sin A2 2 2
例 27：在 ABC中，若 AB 3， BC 3 2 ， B 45 则 ABC的面积为（ ）
7 9
A． 2 2 B．4 C． D．2 2
a b c
（2） 正弦定理： 2R，a 2R sin A，b 2R sin B，c 2R sinC
sin A sin B sinC
例 28：在 ABC中， a 3 3 ，b 3， A 120 ，则角C的度数为（ ）
A．30° B． 45 C．60 D．90
（3）余弦定理： a2 b2 c2 2bc cosA
b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
例 29：已知 ABC的内角 A , B，C所对的边分别是 a，b， c，且 a2 b2 c2 3bc，
则 A （ ）
A．120° B．150° C．45° D．60°
2 2 2
求角： cos A b c a
2bc
2 2 2
cos B a c b
2ac
2 2 2
cosC a b c
2ab
例 30：已知 ABC的内角 A , B，C所对的边分别是 a，b， c， 2a2 2c2 2b2 ac，则
cosB （ ）
1 1
A． B． C． 2 D． 2
2 4 2 4
5
十、三角函数
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
y sin x R 1，1 T 2 奇函数
y cos x R 1，1 T 2 偶函数
函数 递增区间 递减区间
y sin x 2k ,

2k (k Z )

2k ,
3
2k
2 2 2 2
(k Z )

y cos x (2k 1) , 2k (k Z ) 2k , (2k 1) (k Z )
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
T 2 y Asin( x ) R A，A 奇函数| |

例 31：函数 y sin 2x 的单调增区间是（ ）
6

A． 2k , 2k

(k Z )

B．
2 2
k ,k (k Z ) 6 3
5
C． k ,k
(k Z ) k , k D． (k Z )
3 6 6 3

例 32：函数 f x sin 2x 的最小正周期为（ ）
3
A． B． 2 C．3 D． 4
十一、导数
（1）基本初等函数的导数公式
① (C) ' 0（C为常数） ② (xa ) ' axa 1(a Q*) ③ (sin x) ' cos x
④ (cos x) ' sin x ⑤ (ln x) ' 1 ⑥ (loga x) '
1
(a 0 且 a 1)
x x ln a
⑦ (ex ) ' ex ⑧ (a x ) ' a x ln a(a 0)
例 33：已知 f x x 1 ln x ，则 f 1 ___________.
6
例 34：已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) ， f x 2x2 3xf 2 lnx ，则 f (2) ___．
（2）导数的运算法则
① f (x) g(x) ' f '(x) g '(x) ②[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g '(x)
f (x) ' f '(x)g(x) f (x)g '(x)③ （ g(x) 0 ）
g(x)
2
[g(x)]
x2
例 35：函数 y 的导数 y ___________.
sin x
十二、向量
r r r
（1）向量的长度：设 a (x, y) ，则 | a |2 x2 y2 ，| a | x2 y 2 ；若 A(x1, y1) ，B(x2 , y2 )，
uuur
则 AB (x2 x
2
1) (y2 y
2
1)

例 36：平面向量 a与b 的夹角为120 ， a 2,0 ， b 1则 2a b ___________.
r r r r
（2）两个向量的夹角：设 a，b都是非零向量，a (x1, y1) ，b (x2 , y2 )，夹角为 ，则
r r
cos a b x x y r r 1 2 1y2
| a || b | x2 y2 x21 1 2 y
2
2

例 37：已知 | a | 3， | b | 2若 a b 3，则 a与b 夹角的大小为___________.
十三、距离公式
2 2
（1）两点间距离公式： A(x1, y1) 与 B(x2 , y2 )的距离为： d x1 x2 y1 y2
例 38：已知点 A 2, 2 ， B a, 2 且 | AB | 5 ，则 a的值为___________.
（2）点到直线的距离：点 P0 (x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离
d | Ax0 By0 C |
A2 B2
例 39：已知点 A a,6 到直线3x 4y 4 0 的距离等于 4 ，则实数 a的值为___________.
7
（3）两平行线 间的距离：两条平行线 Ax By C1 0 与 Ax By C2 0 间的距离
d |C C | 1 2
A2 B2
例 40：两平行直线 l1 : 3x 4y 7 0 ， l2 : 6x 8y 3 0 之间的距离为______.
十四、椭圆的标准方程及定义
x2 y2 c
椭圆方程： 2 2 1(a b 0) ，其中 a
2 b2 c2 ，离心率 e （0 e 1）
a b a
椭圆性质：椭圆上的点到两定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2a（ 2a F1F2 ），即
PF1 PF2 2a .
x2 y2 x2 y2
例 41：椭圆 1与椭圆 1 m 4 的（ ）
9 4 9 m 4 m
A．长轴相等 B．焦距相等
C．短轴相等 D．长轴、短轴、焦距均不等
十五、双曲线的标准方程及定义
x2 y2 c
双曲线方程： 2 2 1(a 0,b 0) ，其中 c
2 a2 b2 ，离心率 e （ e 1），渐近
a b a
b
线方程为 y x
a
双曲线性质：双曲线上的点到两个定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值为常数 2a
（ 2a F1F2 ），即 PF1 PF2 2a .
例 42：若直线 y 3x 1与双曲线C : x2 my2 1的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
1 1
A． B．9 C． D．3
9 3
8
十六、抛物线的标准方程及定义
抛物线方程： y2 P 2px(p 0) ，焦点 F ，0
x p，准线方程为
2 2
x2 2py(p p p 0) ，焦点 F 0， ，准线方程为 y
2 2
抛物线性质：抛物线上的点到定点 F 和到准线的距离相等.
例 43：过点 1, 2 ，且焦点在 y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． y2 4x B． y2 x2
1 1
4x C． y D． x2 y
2 2
十七、弦长公式
l 1 k 2 | x 21 x2 | 1 k (x1 x
2
2) 4x1x2 （其中 x1，x2 为直线与圆（或圆锥曲线）
相交所得两交点的横坐标）
2
例 44：已知直线 l：x y 1 0
x
与椭圆C： y2 1交于 A,B两点，则 AB _________.
2
十八、多面体和旋转体的面积、体积公式
设 h为高，h '为斜高，c为底面的周长， l为母线长， r为圆柱、圆锥的底面半径，R为球
的半径
名称 直棱柱 正棱锥 圆柱 圆锥 球
1
面积 S侧 ch S侧 ch ' S 2 rh S rl S 4 r
2
2 侧 侧 球表
体积 V S底 h V
1
S底 h
1 4
V r 2h V r 2h V R3
3 3 3
例 45：一个球的表面积在数值上是它的体积的 3 倍，则这个球的半径是______．
例 46：底面直径和高相等的圆柱的底面积为16 ，则圆柱的体积为______．
例 47：已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为 2，则圆锥的侧面积是_____.
9
高中数学核心公式-答案解析
一、等差数列
（1） 通项公式： an a1 (n 1)d (其中首项是 a1，公差是 d )
例 1：已知 a 为等差数列，且n 2a3 a 6，则 a （ ）6 4
A．2 B．3 C．12 D．不能确定
【答案】 A
【解析】Q a 为等差数列，设公差为n d ，
又Q 2a3 a 6，6
2 a4 d a4 2d 3a 6 ，4
解得 a4 2 ，
故选： A .
n(a a ) n(n 1)
（2）前 n项和公式： S 1 nn na1 d2 2
例 2：已知等差数列 a 的前n n项和为 S ，且n a2 a8 10，则 S （ ）9
A．40 B．45 C．80 D．90
【答案】 B
【解析】 9 aS 1 a9 9 a a 2 8 9 109 45，故选 B .2 2 2
a b
（3）等差中项：若 A是a与b的等差中项，则 A=
2
例 3：在等差数列 a 中， ， （ ）n a3 5 a1 a5
A． 9 B．9 C．10 D．12
2
【答案】C
【解析】在等差数列 an 中， a1 a5 2a3 10 ，
故选：C .
1
二、等比数列
（1）通项公式： an a q
n 1
1 （其中首项是 a1，公比是 q）
例 4：等比数列 a 中， a 2 ， a 8，则n 7 11 a （ ）9
A．±4 B．±5 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由等比数列的通项公式知: a 4 411 a7 q 2 q 8 ,
q4 4， q2 2， a9 a7 q
2 2 2 4
故选：C .
na1 (q 1)
（2）前 n项和公式： Sn=

a1 a
n
nq a1(1 q )
(q 1)
1 q 1 q
例 5：记 S 为正项等比数列n a 的前 n项和．若n a1 2，2S3 2S 9 ，则公比 q＝______．2
3
【答案】
2
2 1 q3 2 1 q2【解析】由题意得 q 1， 2S3 2 2 9 ，1 q 1 q
化简得 q 1 4q2 9 0 ，
Q an 为正项等比数列，
3 3
解得 q 或 q （舍），2 2
3
故答案为： .
2
（3）等比中项：若G是 a与b的等比中项，即G2 ab（或G ab ，等比中项有两个）
例 6：等比数列 a 中，若 a ， a 的等比中项为 1， a ，a 的等比中项为 4，则 （ ）n 2 4 6 8 a5
A. 1-2 B．2 C． 2 D．
2
【答案】 B
2
【解析】根据等比中项性质可得： a 是 a 和 a 的中项， a 1，3 2 4 3
a 是 a 和 a 的中项， a 4，7 6 8 7
a 是5 a 和 a 的中项，又∵ a 、a 、a 构成以 q
2 为公比的等比数列，又∵ a3 0 ， a5 0 ，3 7 3 5 7
a5 2 ，
故选 B .
三、同角三角函数的基本关系式
（1） sin2 cos2 1
3
例 7：已知 sin ，且 为第一象限角，则 cos _________.
5
4
【答案】
5
3
【解析】 sin ，且 为第一象限角,故 cos 0，由 sin2 cos2 15
2
可得： cos 1 sin 2 1 3 4 5
；
5
4
故答案为： .
5
sin
（2） tan =
cos
例 8：已知 为锐角， sin 4 ，则 tan ______．
5
4
【答案】
3
4
【解析】∵ 为锐角， sin ， cos 3 sin 4 1 sin 2 ， tan ．
5 5 cos 3
4
故答案为： .
3
四、诱导公式
公式一： sin( k 2 ) sin (k Z)
cos( k 2 ) cos (k Z)
tan( k 2 ) tan (k Z)
3
例 9： sin 13 _________.
3
3
【答案】
2
【解析】 sin 13 sin 4

sin 3 3 3 3 2
3
故答案为： .
2
公式二： sin( ) sin
cos( + )= cos
tan( + )=tan
sin 5 例 10：计算： ______.
4
2
【答案】
2
sin 5 【解析】 sin
2 sin 4 4 4 2
2
故答案为： .
2
公式三： sin( ) sin
cos( )= cos
tan( )= tan
例 11： sin 30 ___________.
1
【答案】
2
【解析】 sin 30 sin 30 1
2
1
故答案为： .
2
4
公式四： sin( ) sin
cos( )= cos
tan( )= tan
例 12： tan 5 ___________.
6
3
【答案】
3
5 3
【解析】 tan tan

tan 6 6 6 3
3
故答案为： .
3

公式五： sin cos
2
cos

sin
2
例 13：若 cos 1 ，则 sin
4
___________.
2
1
【答案】
4
【解析】 sin


1
cos
2 4
1
故答案为： .
4
k
口诀：奇变偶不变，符号看象限，即若 ，当 k为奇数时，需要变三角函数名，
2
若 k为偶数时，则不需要变三角函数名；看象限时，默认角 为锐角（第一象限角），最终
三角函数值的符号，取决于运动后的角所在象限的原始的三角函数的正负.
cos 1 sin 3 例 14：若 ，则 ___________.5 2
1
【答案】
5
5
sin 3 1【解析】

cos
2 5
1
故答案为： .
5
五、两角和与差的正弦、余弦和正切
（1） sin( ) sin cos +cos sin
例 15： sin 20 cos10 cos160 sin10 （ ）
A． sin10 B． sin 30 C． cos10 D． cos30
【答案】 sin 30o
【解析】
sin 20 cos10 cos160 sin10 sin 20 cos10 cos 20 sin1 0 sin 20 10 sin 30
故答案为： sin 30 .
（2） sin( ) sin cos cos sin
sin 3π cos π例 16： cos π sin 13π ___________．
4 12 4 12
1
【答案】
2
【解析】
sin 3π cos π cos π sin 13π sin πcos π cos πsin π sin π π sin π 1
4 12 4 12 4 12 4 12 4 12 6 2
1
故答案为： .
2
（3） cos( ) cos cos -sin sin
例 17： cos 45 cos15 sin 45 sin15 ______.
1
【答案】
2
【解析】 cos 45 cos15 sin 45 sin15 cos(45 15 ) cos 60 1
2
1
故答案为： .
2
6
（4） cos( ) cos cos sin sin
3
例 18：若锐角 满足 sin ，则 cos 的值为________.5 4
7 2
【答案】
10
【解析】 sin 3 4 ，且 为锐角， cos ，
5 5
cos cos cos

sin sin 7 2 .
4 4 4 10
7 2
故答案为： .
10
（5） tan( ) tan tan
1 tan tan
例 19：已知 tan 2 ， tan 4 ，则 tan （ ）
A． 6 B． 6 C． 5 D． 5
7 7 7 7
【答案】 B
【解析】∵ tan 2， tan 4 ，
tan tan tan 2 4 6 .
1 tan tan 1 2 4 7
故选 B .
tan( ) tan tan （6）
1 tan tan
例 20：已知 tan 3，则 tan （ ）
4
A．-4 B．2 C．-1 D．1
【答案】 B
tan

tan
【解析】 tan tan


4 4 3 1 2 .故选 B .
4 4 1 tan tan 1 3 4 4
7
六、辅助角公式

a sin x bcos x a 2 b 2 a sin x
b
cos x
a2

b2 a2 b2
= a2 b2 (sin x cos cos x sin )
a2 b2 sin(x b ) 其中tan


a
5 5
例 21：求值 3 sin cos =______.
12 12
【答案】 2
【解析】
5 5 2 3 sin 5 1 5
5 5
3 sin cos cos 2
sin cos sin cos
12 12 2 12 2 12
12 6 6 12
2sin 5

12 6
2sin 2 ．
4
故答案为： 2 .
七、二倍角公式
（1） sin 2 2sin cos
例 22：已知 sin cos 4 ，则 sin 2 ________.
3
7
【答案】
9
4
【解析】将 sin cos 两边平方，可得1 2sin cos 1 sin 2 16 ，解得
3 9
sin 2 7 .
9
7
故答案为： .
9
（2） cos 2 cos2 sin 2 1 2sin 2 2cos2 1

例 23：已知 sin
2 cos 2 ，则 ___________.
6 3 3
1
【答案】
9
8

【解析】∵ 2

2
3 6
，可得

cos 2
4 1
1 2sin
2 1 2
1
.故答案为： .
3 6 9 9 9
2 tan
（3） tan 2a
1 tan 2
例 24：若 sin π 3 ，且 为第二象限角，则 tan 2 ________.
2 5
24
【答案】
7
3 4
【解析】∵sin
2
2
cos ，且 为第二象限角， sin = 1- cos = ，
5 5
4
2
tan sin 4 ， 2 t an
3 24t an 2 .cos 3 1 t an2 161 7
9
24
故答案为： .
7
八、降幂公式
（1） sin2 1 cos 2 1 cos 2 1
2 2 2
2 1
例 25：已知 cos 2 ，则 sin
2
___________.
3 9 3
4
【答案】
9
1 2 cos 2
【解析】
∵sin2 3 1cos 2 1 4 .
3 2 2 2 9
4
故答案为： .
9
cos2 1 cos 2 1 cos 2 1（2）
2 2 2
例 26：已知 sin(π 2 ) 1 ，则 cos2 ( π ) （ ）
2 4
A． 1 B． 1 C． 3 D． 1
2 4 4 3
9
【答案】 B
1
【解析】 sin(π 2 ) sin 2
2
cos2 ( π ) 1 1 cos( 2 ) 1 1 sin 2 1 .故选 B .
4 2 2 2 2 2 4
九、解三角形
1 1 1
（1）三角形面积公式： SV ABC ab sinC ac sinB= bc sin A2 2 2
例 27：在 ABC中，若 AB 3， BC 3 2 ， B 45 则 ABC的面积为（ ）
A． 7 92 2 B． 4 C． D．2 2
【答案】D
【解析】根据三角形面积公式得， S 1V ABC AB BC sin B
1 2 9
3 3 2 .
2 2 2 2
故选D .
a b c
（2） 正弦定理： 2R，a 2R sin A，b 2R sin B，c 2R sinC
sin A sin B sinC
例 28：在 ABC中， a 3 3 ，b 3， A 120 ，则角C的度数为（ ）
A．30° B． 45 C．60 D．90
【答案】 A
a b 3 3 3
1
【解析】由正弦定理得 sin A sin B 3 sin B ， sin B 2
2
∵ A是钝角， B是锐角， B 30 ， C 30 .
故选 A .
（3）余弦定理： a2 b2 c2 2bc cosA
b2 a2 c2 2ac cosB
c2 a2 b2 2ab cosC
10
例 29：已知 ABC的内角 A , B，C所对的边分别是 a，b， c，且 a2 b2 c2 3bc，
则 A （ ）
A．120° B．150° C．45° D．60°
【答案】 B
【解析】∵ a2 b2 c2 3bc b2 c2 2bc cosA，
cos A 3 ，
2
又∵ 0 A 180 ，
A 150 .故选 B .
b2 c2 2
求角： cos A a
2bc
a2cos B c
2 b2

2ac
a2 b2cosC c
2

2ab
例 30：已知 ABC的内角 A , B，C所对的边分别是 a，b， c， 2a2 2c2 2b2 ac，则
cosB （ ）
A． 1 B． 1 C． 2 D． 2
2 4 2 4
【答案】 B
1
【解析】∵ 2a2 2c2 2b2 ac，即 a2 c2 b2 ac，
2
1 ac
由余弦定理得： 2 2 2cos B a c b 2 1 .故选 B .
2ac 2ac 4
11
十、三角函数
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
y sin x R 1，1 T 2 奇函数
y cos x R 1，1 T 2 偶函数
函数 递增区间 递减区间
y sin x 2k ,
2k (k 3 Z )

2k , 2k

(k Z ) 2 2 2 2
y cos x (2k 1) , 2k (k Z ) 2k , (2k 1) (k Z )
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
y Asin( x ) R A，A T 2 奇函数| |
例 31：函数 y sin 2x

的单调增区间是（ ）
6
A． 2k , 2k

2 2
(k Z ) B． k ,k (k Z ) 6 3
C． 5 k ,k

(k Z ) D．

3 6
k , k (k Z ) 6 3
【答案】 B

【解析】∵ y sin 2x ，
6

令 2k 2x 2k ， k Z ，
2 6 2
解得 k - ＃x k + ， k Z ，
6 3

所以函数的单调递增区间为 k ,k (k Z ) ，故选 B . 6 3
12
例 32：函数 f x sin 2x 的最小正周期为（ ）
3
A． B． 2 C．3 D． 4
【答案】 A
【解析】根据解析式可知： f x 2 最小正周期T ，故选 A .
2
十一、导数
（1）基本初等函数的导数公式
① (C) ' 0（C为常数） ② (xa ) ' axa 1(a Q*) ③ (sin x) ' cos x
④ (cos x) ' 1 sin x ⑤ (ln x) ' ⑥ (loga x) '
1
(a 0 且 a 1)
x x ln a
⑦ (ex ) ' ex ⑧ (a x ) ' a x ln a(a 0)
例 33：已知 f x x 1 ln x ，则 f 1 ___________.
【答案】 2
【解析】∵ f x x 1 ln x x 1 ln x ln x 1 1，则 f 1 2
x
故答案为： 2 .
例 34：已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) ， f x 2x2 3xf 2 lnx ，则 f (2) ___．
17
【答案】
8
1 1
【解析】 f x 4x 3 f 2 ， f 2 8 3 f 2 ，
x 2
解得： f 2 17
8
17
故答案为： .
8
（2）导数的运算法则
① f (x) g(x) ' f '(x) g '(x) ②[ f (x) g(x)]' f '(x)g(x) f (x)g '(x)
f (x) ' f '(x)g(x) f (x)g '(x)③ （ g(x) 0 ）
g(x)

[g(x)]
2
13
x2例 35：函数 y 的导数 y ___________.
sin x
2xsin x x 2 cos x
【答案】
sin 2 x
2 2
∵ y x y 2x sin x x cos x【解析】 ，则 ，
sin x sin2 x
2xsin x x 2 cos x
故答案为： .
sin 2 x
十二、向量
r r r
（1）向量的长度：设 a (x, y) ，则 | a |2 x2 y2 ，| a | x2 y 2 ；若 A(x1, y1) ，B(x2 , y2 )，
uuur
则 AB (x 22 x1) (y
2
2 y1)

例 36：平面向量 a与b 的夹角为120 ， a 2,0 b 1 2a ， 则 b ___________.
【答案】 13
2
【解析】 2a b 4a 2 4a b b 2 4 4 4 a b cos120 1 16 4 1 13 ，
2a

b 13 .
故答案为： 13 .
r r r r
（2）两个向量的夹角：设 a，b都是非零向量，a (x1, y1) ，b (x2 , y2 )，夹角为 ，则
r r
cos a b x x y y r r 1 2 1 2
| a || b | x2 y2 21 1 x2 y
2
2

例 37：已知 | a | 3， | b | 2若 a b 3，则 a与b 夹角的大小为___________.
2
【答案】
3

【解析】∵ | a | 3， | b | 2若 a b 3，


有 cos a,b
a b 3 1

3 2 2 ，即 a,b
2π
，
a b 3
故答案为： 13 .
14
十三、距离公式
（1）两点间距离公式： A(x1, y1) 与 B(x2 , y )
2 2
2 的距离为： d x1 x2 y1 y2
例 38：已知点 A 2, 2 ， B a, 2 且 | AB | 5 ，则 a的值为___________.
【答案】1或 5
【解析】∵点 A 2, 2 ，B a, 2 ，且 | AB | 5 ， ( 2 a)2 ( 2 2)2 5 ， a 1
或 a 5，故答案为：1或 5 .
（2）点到直线的距离：点 P0 (x0 , y0 ) 到直线 l : Ax By C 0 的距离
d | Ax By C | 0 0
A2 B2
例 39：已知点 A a,6 到直线3x 4y 4 0 的距离等于 4 ，则实数 a的值为___________.
8
【答案】16或
3
3a 28
【解析】∵点 A a,6 到直线3x 4y 4 0的距离 d 4 8，解得：a 16或 ，
32 42 3
8
故答案为：16或 .
3
（3）两平行线间的距离：两条平行线 Ax By C 0 与 Ax By C 0 间的距离1 2
d |C1 C2 |
A2 B2
例 40：两平行直线 l1 : 3x 4y 7 0 ， l2 : 6x 8y 3 0 之间的距离为______.
17
【答案】
10
【解析】直线3x 4y 7 0 ，即为6x 8y 14 0 ，
14 3
两平行直线6x 8y 14

0 与6x 8y 3 0 17之间的距离为 d .
62 82 10
17
故答案为： .
10
15
十四、椭圆的标准方程及定义
x2 y2 c
椭圆方程： 2 1(a b 0) ，其中 a
2 b2 c2 ，离心率 e （0 e 1）
a b2 a
椭圆性质：椭圆上的点到两定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数 2a（ 2a F1F2 ），即
PF1 PF2 2a .
2 2 2 2
例 41：椭圆 x y x y 1与椭圆 1 m 4 的（ ）
9 4 9 m 4 m
A．长轴相等 B．焦距相等
C．短轴相等 D．长轴、短轴、焦距均不等
【答案】 B
x2 y2
【解析】对于椭圆： 1 ， a 3，b 2 ， c a2 b2 5 ，
9 4
x2 y2
对于椭圆： 1 ，∵ 9 m 4 m 5 0 ， 9 m 4 m，
9 m 4 m
a2 9 m，b2 4 m， c2 a2 b2 5， c 5 ，
两椭圆焦距相等，故选 B .
十五、双曲线的标准方程及定义
x2 y2
双曲线方程： 2 2 1(a 0,b 0) c
2 c，其中 a2 b2 ，离心率 e （ e 1），渐近
a b a
b
线方程为 y x
a
双曲线性质：双曲线上的点到两个定点 F1 、 F2 的距离之差的绝对值为常数 2a
（ 2a F1F2 ），即 PF1 PF2 2a .
例 42：若直线 y 3x 1与双曲线C : x2 my2 1的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
A． 1 B．9 C． 1 D．3
9 3
【答案】 A
【解析】C : x2 my2 1的渐近线方程满足 x= my， 渐进线与 y 3x 1平行， 渐
16
近线方程为 y 3x 1，故m ，故选 A .
9
十六、抛物线的标准方程及定义
抛物线方程： y2 2px(p 0) P，焦点 F ，0
p
，准线方程为 x
2 2
x2 2py(p 0) ，焦点 F 0
p p
，
2
，准线方程为 y
2
抛物线性质：抛物线上的点到定点 F 和到准线的距离相等.
例 43：过点 1, 2 ，且焦点在 y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． 1 1y2 4x B． y2 4x C． x2 y D． x2 y
2 2
【答案】C
【解析】依题意设抛物线方程为 x2 my，∵抛物线过点 1, 2 ，
12 m 2 m 1，解得 ， 1抛物线方程为 x2 y ，故选C .
2 2
十七、弦长公式
l 1 k 2 | x1 x2 | 1 k
2 (x1 x
2
2) 4x1x2 （其中 x1，x2 为直线与圆（或圆锥曲线）
相交所得两交点的横坐标）
2
例 44：已知直线 l：x y 1 0 与椭圆C：x y2 1交于 A,B两点，则 AB _________.
2
4 2
【答案】
3
x y 1 0
3
【解析】由 x2 ，化简得： x2 2x 0，
y
2 1 2
2
4
根据韦达定理可得， x1 x2 ， x1x2 03
2
AB 1 12 4 4 2 4 2

4 0 ，故答案为： .
3 3 3
17
十八、多面体和旋转体的面积、体积公式
设 h为高，h '为斜高，c为底面的周长， l为母线长， r为圆柱、圆锥的底面半径，R为球
的半径
名称 直棱柱 正棱锥 圆柱 圆锥 球
面积 S 1侧 ch S侧 ch ' S侧 2 rh S侧 rl S球表 4 r
2
2
1 1 4
体积 V S h V S h V r 2h V r 2h V R3底 3 底 3 3
例 45：一个球的表面积在数值上是它的体积的 3 倍，则这个球的半径是______．
【答案】 3
4
【解析】设球的半径为 R，则 4 R2 R3 3 ，解得 R 3 .
3
故答案为： 4 2 .
3
例 46：底面直径和高相等的圆柱的底面积为16 ，则圆柱的体积为______．
【答案】128
【解析】依题意，圆柱的底面圆半径 r，有 r 2 16π，解得 r 4，则圆柱的高 h 2r 8，
圆柱的体积V 16 h 128 .故答案为：128 .
例 47：已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为 2，则圆锥的侧面积是_____.
【答案】 2 2
【解析】设圆锥的底面半径为 r，则母线长为 l 2r 2， r 2 ，
则侧面积 rl 2 2 ..故答案为：128 .
18

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