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专题08 一元二次方程
【专题目录】
技巧1：一元二次方程的解法归类
技巧2：根的判别式的六种常见应用
技巧3：根与系数的关系的四种应用类型
【题型】一、一元二次方程的概念
【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法
【题型】三、解一元二次方程：配方法
【题型】四、解一元二次方程：公式法
【题型】五、解一元二次方程：因式分解法
【考纲要求】
1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法．
2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
3、会列一元二次方程解决实际问题.
【考点总结】一、一元二次方程
一元二次方程方 程 一元二次方程 概念 （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.
解法 （降次） ① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是
配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解
公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解
根的判别式 （1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; （2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; （3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.
【注意】
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤
一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
3、三配：
①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；
②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；
4、四解：
①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。
②分别解这两个一元二次方程，求出两根。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择
（1）当b=0时，首选直接开平法
（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法
（3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法
（4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法
一元二次方程根与系数关系的两类应用
（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果
（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程
【技巧归纳】
技巧1：一元二次方程的解法归类
【类型】一、限定方法解一元二次方程
题型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1．方程4x2－25＝0的解为(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝± D．x＝±
2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　)
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解
3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为(　　)
A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2
4．解方程：x2＋4x－2＝0.
5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值．
题型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　　)　
A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2
7．解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1.
题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解
8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是(　　)　
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
9．用公式法解下列方程．
(1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2.
【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程
10．方程4x2－49＝0的解为(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x1＝，x2＝－ D．x1＝，x2＝－
11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是(　　)
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－4 C．x1＝3和x2＝－4 D．x1＝3和x2＝4
12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是(　　)
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2
13．解下列方程．
(1)3y2－3y－6＝0； (2)2x2－3x＋1＝0.
【类型】三、用特殊方法解一元二次方程
题型1：构造法
14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
题型2：换元法
a．整体换元
16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
17．x2＋－2－1＝0.
b．降次换元
18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
c．倒数换元
19．解方程：－＝2.
题型3：特殊值法
20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.
参考答案
1．C　2.C　3.C
4．解：　x2＋4x－2＝0，
x2＋4x ＝2，
(x＋2)2 ＝6，
x＋2 ＝±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
5．解：　　　x2－10x＋y2－16y＋89＝0，
(x2－10x＋25)＋(y2－16y＋64) ＝0，
(x－5)2＋(y－8)2 ＝0，
∴x＝5，y＝8.∴＝.
6．D
7．解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，
∴x1＝0，x2＝2.
(2)16x2－9＝0，(4x＋3)(4x－3)＝0，∴x1＝－，x2＝.
(3)4x2＝4x－1，4x2－4x＋1＝0，
(2x－1)2＝0，∴x1＝x2＝.
8．B
9．解：(1)3(x2＋1)－7x＝0，3x2－7x＋3＝0，
∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13.
∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
(2)4x2－3x－5＝x－2，4x2－4x－3＝0，
∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x＝＝.
∴x1＝，x2＝－.
10．C　11.C　12.B
13．解：(1)3y2－3y－6＝0，y2－y－2＝0，＝，
y－＝±，∴y1＝2，y2＝－1.
(2)2x2－3x＋1＝0，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，
∴x＝＝，
即x1＝1，x2＝.
14．解：将原方程两边同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x＝－15或6x＝－4.∴x1＝－，x2＝－.
15．解：因为m－n＝8，所以m＝n＋8.
将m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.
又因为(n＋4)2≥0，p2≥0，
所以解得
所以m＝n＋8＝4.[]
所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.
16．解：原方程可变为[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，
x2＝.
17．解：x2＋－2－1＝0，
设x＋＝y，则原方程为y2－2y－3＝0.
∴y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x＋＝3，
∴x1＝，x2＝.
当y＝－1时，x＋＝－1，无实数解．
经检验，x1＝，x2＝都是原方程的根，
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
18．解：经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0，
即6－35＋62＝0.
设y＝x＋，则x2＋＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝，y2＝.
当x＋＝时，
解得x1＝2，x2＝；
当x＋＝时，
解得x3＝3，x4＝.
经检验，均符合题意．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
19．解：设＝y，
则原方程化为y－＝2，
整理得y2－2y－3＝0，
∴y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，＝3，∴x＝－1；
当y＝－1时，＝－1，∴x＝1.
经检验，x＝±1都是原方程的根，
∴原方程的根为x1＝1，x2＝－1.
20．解：方程组的解一定是原方程的解，解得x＝4 029.
方程组的解也一定是原方程的解，解得x＝－2.
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2.
点拨：解本题也可采用换元法．设x－2 014＝t，则x－2 013＝t＋1，原方程可化为t(t＋1)＝2 015×2 016，先求出t的值，进而求出x的值．
技巧2：根的判别式的六种常见应用
【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．
2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【类型】三、利用根的判别式求代数式的值
4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．
【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题
5．y＝x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为(　　)
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【类型】五、利用根的判别式确定三角形的形状
6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件
7．已知 ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．
(1)m为何值时， ABCD是菱形？并求出菱形的边长．
(2)若AB的长为2，求 ABCD的周长是多少？
参考答案
1．解：∵x2－2x－m＝0没有实数根，
∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.
对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，
Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，
∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根．
2．解：(1)Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4m2－4m2＋4＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)将x＝3代入方程中，得
9＋2m×3＋m2－1＝0，即m2＋6m＋9＝1，∴(m＋3)2＝1.∴m＋3＝±1.
∴m1＝－2，m2＝－4.
3．(1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.
∵不论m为何值，(m－2)2≥0，
即Δ≥0.
∴不论m为何值，方程总有实数根．
(2)解：解关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，得
x＝＝.
∴x1＝，x2＝1.
∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，∴m＝1或m＝2.
又∵方程的两个根不相等，
∴m≠2，∴m＝1.
4．解：∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，
即2m－1＝±4.
∴m＝或m＝－.
当m＝时，＝＝；
当m＝－时，＝＝－.
5．A　点拨：∵y＝x＋1是关于x的一次函数，
∴≠0.
∴k－1>0，解得k>1.
又一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k，
∴Δ<0.
∴一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.
6．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.
即b2＋c2＝a2，
∴此三角形是直角三角形．
7．解：(1)∵ ABCD是菱形，
∴AB＝AD.∴Δ＝0，
即m2－4＝m2－2m＋1＝0，∴m＝1.
此时原方程为x2－x＋＝0，
∴x1＝x2＝，
∴当m＝1时， ABCD是菱形，菱形ABCD的边长为.
(2)∵AB＝2，∴将x＝2代入原方程得4－2m＋－＝0，
解得m＝，　
故原方程为x2－x＋1＝0，
解得x1＝2，x2＝，∴AD＝.
故 ABCD的周长为2×＝5.
技巧3：根与系数的关系的四种应用类型
【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．
(1)(x1－3)(x2－3)； (2)＋； (3)x1－x2.
【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方程
2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．
【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．
【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：根据一元二次方程根与系数的关系，有
x1＋x2＝，x1x2＝－.
(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－－3×＋9＝3.
(2)＋＝
＝
＝
＝
＝.
(3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝，
∴x1－x2＝±＝±.
2．解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2，
令y1＝－，y2＝－.
∴p＝－(y1＋y2)＝－＝＋＝＝，
q＝y1y2＝＝＝－.
∴所求的方程为y2＋y－＝0，即3y2＋2y－5＝0.
3．解：(1)∵方程x2－4x＋m＝0有实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，
∴m≤4.
(2)∵方程x2－4x＋m＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝4，①
又∵5x1＋2x2＝2，②
联立①②解方程组得
∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12.
4．解：不存在．理由如下：
∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0，
∴k＜0.[]
∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1，x1x2＝.
∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－.
又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－，
∴－＝－.∴k＝.
经检验，k＝是该分式方程的根．
又∵k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立．
【题型讲解】
【题型】一、一元二次方程的概念
例1、若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．–1
【答案】D
【详解】
因为方程是一元二次方程,
所以,,
解得且
所以,
故选D.
【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法
例2、解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：（1）方程变形得
，
开平方，得
，
∴；
（2）由原方程，得，
开平方，得，
∴．
【点睛】
考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
【题型】三、解一元二次方程：配方法
例3、用配方法解方程．
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），
【分析】
（1）直接利用配方法进行求解；
（2）直接利用配方法进行求解．
【详解】
解：(1)方程变形为x2-4x=2．
两边都加4，得x2-4x+4=2+4．
利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．
解这个方程，得，或．
于是，原方程的根为，或．
(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．
两边都加“一次项系数一半的平方”，得x2+6x+32=-8+32，
∴(x+3)2=1．
用直接开平方法，得x+3=±1，
∴x=-2或x=-4．
【点睛】
本题考查了利用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的基本步骤．
【题型】四、解一元二次方程：公式法
例4、解方程
【答案】，．
【分析】
先求出 ， ， ，根据一元二次方程判别式，可得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式即可解答
【详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴
∴，．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的求根公式，即．
【题型】五、解一元二次方程：因式分解法
例5、用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）移项后利用完全平方公式得到，然后利用直接开方法解方程；
（2）先变形得到，然后利用因式分解方法解方程．
【详解】
解：（1）移项，合并同类项，得，
因式分解，得，所以，原方程的根为；
（2）移项，得，
即，
提公因式，得，
于是，得或，
所以，原方程的根为．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
一元二次方程（达标训练）
一、单选题
1．（2022·四川泸州·一模）方程x2﹣6x＝0的解是（　　）
A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0
【答案】C
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：因式分解得：x（x﹣6）＝0，
则x﹣6＝0或x＝0，
所以x1＝6，x2＝0，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1
【答案】D
【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案．
【详解】∵，
∴，
则a =-2，b =3，c =-1,
故选： D ．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3．（2022·浙江温州·一模）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：
只有选项C符合题意；
故选C．
【点睛】此题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程的两个根为（ ）
A．＝﹣3，＝3 B．＝﹣9，＝9 C．＝﹣1，＝9 D．＝﹣9，＝1
【答案】A
【分析】先将9移到方程右边，再开平方解方程即可．
【详解】解：，
x＝±3，
所以＝3，＝﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
5．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的一元二次方程a﹣5ax+4＝0，有一个根为1．则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据方程的解代入方程满足等式关系，将方程的根代入一元二次方程计算求值即可；
【详解】解：将x＝1代入到方程可得：
a﹣5a+4＝0，
-4a=-4，
∴a＝1，
故选： A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，等式的性质，掌握方程的解的意义是解题关键．
二、填空题
6．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设，是关于x的方程的两个根，，则_____．
【答案】
【分析】运用根与系数关系定理，具体化求解即可．
【详解】解：∵是关于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的两个根，，
∴＝k，＝k﹣2，
∴＝1﹣2＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．
7．（2022·广东·乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，可列方程为：_________．
【答案】
【分析】汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，则4月份的销售额是8（1+x），5月份的销售额是，据此即可列出方程．
【详解】解：根据题意可列方程：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“-”．
三、解答题
8．（2022·四川南充·一模）已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根的判别式为，将系数代入即可证得．
（2）把代入方程可求得，由根与系数的关系可求得n值，即可求解．
(1)
证明：
．
无论m取何实数时，总有．
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)
把代入方程，得．
即．
∵，∴．
由根与系数的关系，．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
一元二次方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）关于的一元二次方程两个相等的实数根，则关于的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【答案】C
【分析】根据两个相等的实数根，计算出k的值，再根据k的取值范围计算出方程的根的判别式，即可进行解答．
【详解】解：∵方程两个相等的实数根，
∴，解得：k=5，
一元二次方程中，a=1，b=-4，c=k，
∴，
∵k=5，
∴=-4<0，
∴无实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关内容的解题的关键．时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根，时，方程没有实数根．
2．（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程跟的判别式进行判断即可．
【详解】解：A．选项实数根为，故该一元二次方程有两个相等的实数根；
B．选项实数根为和，故该一元二次方程有两个不相等的实数根；
C．选项依题意得：，则，故该一元二次方程没有实数根；
D．选项实数根为，故该一元二次方程有两个相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式， 时一元二次方程有实数根．
3．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得到关于b的方程，求出b的值即可．
【详解】解：∵和是关于x的方程的两根，
∴，
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为-，两根之积为是解题的关键．
4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
【答案】A
【分析】设，再把原方程化为，结合根的判别式可得，再由原方程有两个实数根，可得从而可得答案．
【详解】解：∵
∴
∴
设t＝|x﹣3|，
则原方程变形为，
所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有两个解，
∴方程有一正根和负根，
∴
解得k＞﹣9，
∴k的取值范围是k＞﹣9．
故选：A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由原方程有两个解得到方程有一个正根与一个负根是解本题的关键．
5．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴
∴ ，故③错误；
④整理得：
∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
二、填空题
6．（2022·辽宁本溪·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程根的判别方法列出关于m的不等式，即可解得答案．
【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
∵，
∴；
∴的取值范围是：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是掌握Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根．
7．（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式=__________．
【答案】或
【分析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
【详解】解：
＝
＝2x×
＝．
∵，
∴，
（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x＝5或x＝﹣3．
当x＝5时，原式＝4；
当x＝﹣3时，原式＝．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
三、解答题
8．（2022·广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．
(1)请直接写出函数的不动点的坐标；
(2)若函数有两个关于原点对称的不动点，，求的值；
(3)已知函数，若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设函数y=2-x的不动点M为（m,m），根据定义得到2-m=m，求出m即可求M点坐标；
（2）由题意可知AB所在直线解析式为y=x，联立方程组，再由根与系数的关系得3-a=0，即可求a的值；
（3）由题意可得，则△恒成立，对于关于b的一元二次不等式恒成立，只需△，即可．
（1）
解：设函数的不动点为，
，
解得，
；
（2）
、关于原点对称，且是函数的不动点，
所在直线解析式为，
联立方程组，
整理得，，
，
；
（3）
由题意可知，，
整理得，，
函数恒有两个相异的不动点，
△，
恒成立，
关于的一元二次不等式恒成立，
△，
解得．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，弄清定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，判别式Δ与根的关系是解题的关键．
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专题08 一元二次方程
【专题目录】
技巧1：一元二次方程的解法归类
技巧2：根的判别式的六种常见应用
技巧3：根与系数的关系的四种应用类型
【题型】一、一元二次方程的概念
【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法
【题型】三、解一元二次方程：配方法
【题型】四、解一元二次方程：公式法
【题型】五、解一元二次方程：因式分解法
【考纲要求】
1、理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法．
2、会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用．
3、会列一元二次方程解决实际问题.
【考点总结】一、一元二次方程
一元二次方程方 程 一元二次方程 概念 （1）只含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.
解法 （降次） ① 直接开平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是
配方法:将ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求解
公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
因式分解法:将方程右边化为0，左边化为两个一次因式的积，令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原方程的解
根的判别式 （1）当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; （2）当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; （3）当b2-4ac<0时,方程无实数根.
【注意】
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：
一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．
一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．
一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤
一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；
二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；
3、三配：
①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；
②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；
4、四解：
①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。
②分别解这两个一元二次方程，求出两根。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法选择
（1）当b=0时，首选直接开平法
（2）当c=0时，首选因式分解法或配方法
（3）当a=1,b≠0,c≠0时，首选配方法或因式分解法
（4）当a≠1,b≠0,c≠0时，首选公式法或因式分解法
一元二次方程根与系数关系的两类应用
（1）求含有两根的代数式的值：设法将所求代数式通过因式分解或配方等恒等变形，变形为含有两根和与两根积的式子，再代入由一元二次方程根与系数关系得到的值，求出结果
（2）构造以两数为根的一元二次方程：:由已知两数x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0写出方程
【技巧归纳】
技巧1：一元二次方程的解法归类
【类型】一、限定方法解一元二次方程
题型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解
1．方程4x2－25＝0的解为(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x＝± D．x＝±
2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　)
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
题型2：当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解
3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为(　　)
A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2
4．解方程：x2＋4x－2＝0.
5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值．
题型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是(　　)　
A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2
7．解下列一元二次方程：
(1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1.
题型4：如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解
8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是(　　)　
A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝
9．用公式法解下列方程．
(1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2.
【类型】二、选择合适的方法解一元二次方程
10．方程4x2－49＝0的解为(　　)
A．x＝ B．x＝ C．x1＝，x2＝－ D．x1＝，x2＝－
11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是(　　)
A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－4 C．x1＝3和x2＝－4 D．x1＝3和x2＝4
12．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是(　　)
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2
13．解下列方程．
(1)3y2－3y－6＝0； (2)2x2－3x＋1＝0.
【类型】三、用特殊方法解一元二次方程
题型1：构造法
14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.
15．若m，n，p满足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．
题型2：换元法
a．整体换元
16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
17．x2＋－2－1＝0.
b．降次换元
18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
c．倒数换元
19．解方程：－＝2.
题型3：特殊值法
20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016.
技巧2：根的判别式的六种常见应用
【类型】一、利用根的判别式判断一元二次方程根的情况
1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．
2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判别方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
【类型】二、利用根的判别式求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，
(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；
(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【类型】三、利用根的判别式求代数式的值
4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值．
【类型】四、利用根的判别式解与函数综合问题
5．y＝x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为(　　)
A．没有实数根 B．有一个实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
【类型】五、利用根的判别式确定三角形的形状
6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．
【类型】六、利用根的判别式探求菱形条件
7．已知 ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．
(1)m为何值时， ABCD是菱形？并求出菱形的边长．
(2)若AB的长为2，求 ABCD的周长是多少？
技巧3：根与系数的关系的四种应用类型
【类型】一、利用根与系数的关系求代数式的值
1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值．
(1)(x1－3)(x2－3)； (2)＋； (3)x1－x2.
【类型】二、利用根与系数的关系构造一元二次方程
2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数．
【类型】三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．
【类型】四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性
4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【题型讲解】
【题型】一、一元二次方程的概念
例1、若方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．0 B．±1 C．1 D．–1
【题型】二、解一元二次方程：直接开平方法
例2、解下列方程：
（1）；
（2）．
【题型】三、解一元二次方程：配方法
例3、用配方法解方程．
（1）；
（2）．
【题型】四、解一元二次方程：公式法
例4、解方程
【题型】五、解一元二次方程：因式分解法
例5、用因式分解法解下列方程：
（1）；
（2）．
一元二次方程（达标训练）
一、单选题
1．（2022·四川泸州·一模）方程x2﹣6x＝0的解是（　　）
A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0
2．（2022·福建省福州第十九中学模拟预测）一元二次方程在用求根公式求解时，a，b，c的值是（ ）
A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1
3．（2022·浙江温州·一模）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）方程的两个根为（ ）
A．＝﹣3，＝3 B．＝﹣9，＝9 C．＝﹣1，＝9 D．＝﹣9，＝1
5．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的一元二次方程a﹣5ax+4＝0，有一个根为1．则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能确定
二、填空题
6．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设，是关于x的方程的两个根，，则_____．
7．（2022·广东·乐昌市新时代学校二模）比亚迪汽车销售公司3月份销售新上市一种新能源汽车8辆，由于该型汽车既环保，又经济，销量快速上升，5月份该公司销售该型汽车达18辆．设该公司销售该型汽车4月份和5月份的平均增长率为x，可列方程为：_________．
三、解答题
8．（2022·四川南充·一模）已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．
(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．
一元二次方程（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）关于的一元二次方程两个相等的实数根，则关于的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
2．（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）若和是关于x的方程的两根，且，则b的值是（ ）
A．－3 B．3 C．－5 D．5
4．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）关于x的方程有两个解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
5．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2022·辽宁本溪·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______．
7．（2022·广东番禺中学三模）已知x2＝2x+15，则代数式=__________．
三、解答题
8．（2022·广东顺德德胜学校三模）我们把一个函数图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的不动点．
(1)请直接写出函数的不动点的坐标；
(2)若函数有两个关于原点对称的不动点，，求的值；
(3)已知函数，若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，请直接写出的取值范围．
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