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专题11平面直角坐标系
【专题目录】
技巧1：点的坐标变化规律探究问题
技巧2：巧用坐标求图形的面积
技巧3：活用有序数对表示点的位置
技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题
【题型】一、用有序数对表示位置
【题型】二、求点的坐标
【题型】三、距离与点坐标的关系
【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标
【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
【题型】六、点的坐标的规律探索
【题型】七、函数图象的应用
【考纲要求】
1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．
2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．
3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.
【考点总结】一、平面直角坐标系
直 角 坐 标 系 平面直角坐标系 平面直角坐标系 （1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. （2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
点 的 坐 标 特 征 （1）各象限内点的坐标特征： 点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0； 点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0. （2）坐标轴上点的特征： x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0). （3）对称点的坐标特征： 点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y); 点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y). （4）点的平移特征：将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y)); 将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)). （5）点到坐标轴的距离: 点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
【考点总结】二、函数有关的概念及图象
函 数 的 认 识 函数的有关概念 （1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. （2）函数的概念：一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数. （3）表示方法:解析式法、列表法、图象法. （4）自变量的取值范围 ① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数; ② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数; ③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0; （5）函数值：对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函 数 的 图 象 （1）函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. （2）函数图象的画法：列表、描点、连线.
【注意】
1、坐标轴上的点不属于任何象限
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法
（1）整式：取全体实数
（2）有分母：取值使分母不为零
（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0
（4）有很多情况：取它们的公共部分
（5）在实际问题中：取值要符合实际意义
【技巧归纳】
技巧1：点的坐标变化规律探究问题
【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 019秒时，点P的坐标是(　　)
(第1题)
A．(2 018，0) B．(2 019，－1)
C．(2 019，1) D．(2 020，0)
2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P的坐标是________．
3．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．
(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；
(2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．
【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究
4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x，y)，其中x，y均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的(　　)
A．(16，22) B．(－15，－22) C．(15，－22) D．(16，－22)
【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究
5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2 018的坐标是(　　)
A．(0，0) B．(0，2) C．(2，－4) D．(－4，2)
6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则点A4的坐标是________，点B4的坐标是________；
(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB进行n(n为正整数)次变换，得到三角形OAnBn，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点An的坐标是__________，点Bn的坐标是__________．
参考答案
1．B　点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为×2π×1＝π，因为点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，所以点P 1秒走个半圆．
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为(1，1)；
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为(2，0)；
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为(3，－1)；
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为(4，0)；
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为(5，1)；
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为(6，0)；
….
因为2 019÷4＝504……3，
所以第2 019秒时，点P的坐标是(2 019，－1)．
2．(2 017，1)；(2 018，0)
3．(1)6分钟　(2)(44，7)
4．C　点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：
正方 形的 层数 正方形 每边正整 数的个数
正方形在第四象限的顶点
表示的数 对应的坐标
1 3 9 (1，－1)
2 5 25 (2，－2)
3 7 49 (3，－3)
… … … …
n 2n＋1 (2n＋1)2 (n，－n)[]
因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025，
所以数2 025对应的坐标为(22，－22)．　
所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．
5．D　点拨：设P1(x，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，所以＝1，＝－1，解得x＝2，y＝－4，所以P1(2，－4)．同理可得P2(－4，2)，P3(4，0)，P4(－2，－2)，P5(0，0)，P6(0，2)，P7(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P2 018的坐标是(－4，2)．故选D.
6．(1)(16，3)；(32，0)
(2)(2n，3)；(2n＋1，0)
技巧2：巧用坐标求图形的面积
【类型】一、直接求图形的面积
1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC的面积．
【类型】二、利用补形法求图形的面积
2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD的面积．
3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．
【类型】三、利用分割法求图形的面积
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．
【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标
5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B的坐标为(　　)
A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)
6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．
7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．
(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；
(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．
参考答案
1．解：因为C点坐标为(－4，4)，
所以三角形ABC的AB边上的高为4.
又由题易知AB＝6，
所以S三角形ABC＝×6×4＝12.
2．解：如图所示．
过点D作DE垂直于BC，交BC的延长线于点E，则四边形DABE为直角梯形．
S四边形ABCD＝S梯形DABE－S三角形CDE＝×(2＋6)×3－×1×2＝11.
3．解：方法一：如图，作长方形CDEF，则S三角形ABC＝S长方形CDEF－S三角形ACD－S三角形ABE－S三角形BCF＝CD·DE－·AD·CD－AE·BE－BF·CF＝6×7－×3×6－×4×4－×2×7＝18.[]
方法二：如图，过点B作EF∥x轴，并分别过点A和点C作EF的垂线，垂足分别为点E，F.易知AE＝4，BE＝4，BF＝2，CF＝7，EF＝6，
所以S三角形ABC＝S梯形AEFC－S三角形ABE－S三角形BFC＝(AE＋CF)·EF－AE·BE－BF·CF＝×(4＋7)×6－×4×4－×2×7＝18.
方法三：如图，过点A作DE∥y轴，并分别过点C和点B作DE的垂线，垂足分别为点D，E.
易知AE＝4，BE＝4，AD＝3，CD＝6，DE＝7，所以S三角形ABC＝S梯形BEDC－S三角形ABE－S三角形ADC＝(BE＋CD)·DE－AE·BE－AD·CD＝×(4＋6)×7－×4×4－×3×6＝18.
4．解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点B作BE⊥AD，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，
且BE＝－4－(－12)＝8，AE＝10－8＝2，CD＝－4－(－14)＝10，所以S四边形OABC＝S三角形AOD＋S三角形ABE＋S梯形DEBC＝OD·AD＋AE·BE＋(BE＋CD)·DE＝×4×10＋×2×8＋×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100.
点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法．
5．A
6．解：AB＝6－(－4)＝10.
根据三角形的面积公式，得AB·|m|＝12，
即×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4.
因为点C(3，m)，所以点C在第一象限或第四象限．
当点C在第一象限时，m＞0，
则m＝2.4；
当点C在第四象限时，m＜0，[]
则m＝－2.4.
综上所述，m的值为－2.4或2.4.
7．解：(1)因为点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，
所以点C的坐标为(－4，4)．
又易知AB＝6，
所以S三角形ABC＝×6×4＝12.
(2)由题意可知AB＝6.因为点C在第四象限，|x|＝3，所以x＝3.因为S三角形ABC＝×6×|y|＝9，所以|y|＝3.所以y＝－3.所以点C的坐标为(3，－3)．
技巧3：活用有序数对表示点的位置
【类型】一、利用有序数对表示座位号
1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？
【类型】二、利用有序数对表示棋子位置
2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？
【类型】三、利用有序数对表示地理位置
3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：
(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？
(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？
【类型】四、利用有序数对表示运动路径
4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)
参考答案
1．解：张敏同学的座位可以表示为(3，3)，
石玲同学的座位可以表示为(4，5)．
2．解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子，因为若甲不先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则下一步不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．
3．解：(1)湖心岛的位置可表示为(2.5，5)；光岳楼的位置可表示为(4，4)；山陕会馆的位置可表示为(7，3)．
(2)不是同一个位置，因为前面一个数字代表横向，后一个数字代表纵向，交换数字的位置后，就会表示不同的位置．
4．解：(1)学校和小芸家的位置分别可表示为(8，6)，(3，3)．
(2)答案不唯一，
如：①(5，4)→(5，5)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)；
②(5，4)→(6，4)→(7，4)→(8，4)→(8，5)→(8，6)；
③(5，4)→(6，4)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)．
技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题
【类型】一、象限内的点的坐标
1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是(　　)
A．第一象限或第三象限 　B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 　D．不能确定
2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．
【类型】二、坐标轴上的点的坐标
3．若点M的坐标为(，|b|＋1)，则下列说法中正确的是(　　)
A．点M在x轴正半轴上 B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上 D．点M在y轴负半轴上
4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．
【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标
5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，
(1)点P在第二、四象限的角平分线上？
(2)点P在第一、三象限的角平分线上？
6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系
7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为(　　)
A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a
8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．
【类型】五、关于坐标轴对称的点
9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－4，3) B．(3，－4) C．(－3，－4) D．(3，4)
10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．
【类型】六、关于特殊直线对称的点
12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为(　　)
A．(3，5)，(5，3) B．(5，3)，(－5，－3)　　C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3)
13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．
参考答案
1．B
2．m＞2　点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.
3．C　点拨：由可确定a＝0，所以＝0. 又|b|＋1＞0，所以点M(，|b|＋1)在y轴正半轴上．
4．(0，－8)
5．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，解得m＝2.所以当m＝2时，点P在第二、四象限的角平分线上．
(2)根据题意，得2m－5＝m－1，解得m＝4.所以当m＝4时，点P在第一、三象限的角平分线上．
点拨：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．
6．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.
点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．
7．C　点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限，故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.
8．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|x|＝5，|y|＝2，所以x＝±5，y＝±2.所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．
点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．
9．C　10.－6　11.－2；3
12．B　点拨：任意点A(a，b)关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b，a)，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(－b，－a)．
13．(9，4－m)；17　点拨：点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)，关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．
【题型讲解】
【题型】一、用有序数对表示位置
例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【答案】B
【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．
【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；
B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；
C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；
D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．
故选：B．
【题型】二、求点的坐标
例2、如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．
【详解】解：∵O，D两点的坐标分别是，，
∴OD＝6，∵四边形是正方形，∴OB⊥BC，OB=BC=6
∴C点的坐标为：，
故选：D．
【题型】三、距离与点坐标的关系
例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，得
x=-4，y=3，
即M点的坐标是（-4，3），
故选C．
【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标
例4、若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )
A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)
【答案】C
【解析】
已知点M在第一、三象限的角平分线上，点M到x轴的距离为2，所以点M到y轴的距离也为2.当点M在第一象限时，点M的坐标为（2，2）；点M在第三象限时，点M的坐标为（-2，-2）．所以，点M的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C．
【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
例5、已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．5
【答案】B
【详解】
解：∵AB∥y轴，
∴点A横坐标与点A横坐标相同，为1，
可得：a -2=1，a=3
故选：B．
【题型】六、点的坐标的规律探索
例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点的坐标．
【详解】
，，，，，，…，
，
所以的坐标为，
则的坐标是，
故选C．
【题型】七、函数图象的应用
例7、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致为(　　)．
【答案】C
【分析】利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．
【详解】
本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．
平面直角坐标系（达标训练）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点A(a，2)在第二象限内，则的取值可以是（ ）
A．1 B．-3 C．4 D．4或-4
【答案】B
【分析】根据第二象限的坐标特征判断即可；
【详解】解：∵点A(a，2)在第二象限内，
∴a＜0，
A．不符合题意；
B．符合题意；
C．不符合题意；
D．不符合题意；
故选： B．
【点睛】本题考查了象限的坐标特征，掌握第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数是解题关键．
2．若点在轴上，则点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【分析】由点A在x轴上求得a的值，进而求得点B坐标，进而得到答案．
【详解】解：点在轴上，
，即，
则点坐标为，
点在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点．
3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋 的位置用有序数对(0， 1)表示，黑棋 的位置用有序数对( 3，0)表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋③的坐标即可．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图，
白棋③的坐标为（-2，1）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．
4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里） B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里） D．（北偏东40°，35海里）
【答案】D
【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．
【详解】解：过点B作BD∥AC，
∴∠1=∠A=40°
∴港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），
故选：D．
【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．
5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（ ）
A．修车花了25分钟 B．小明家距离学校1000米
C．修好车后骑行的速度是200米/分钟 D．修好车后花了15分钟到达学校
【答案】C
【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程．
【详解】解：A．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意；
B．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意；
C．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意；
D．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键．
二、填空题
6．已知点在第三象限．则m的取值范围是______．
【答案】3【分析】在第三象限内的点的横纵坐标均为负数，列式求值即可．
【详解】解：∵点A（2m 9,6 2m）在第三象限，
∴2m 9＜0且6 2m＜0，
∴3＜m＜4.5，
故答案为： 3＜m＜4.5
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．
7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M（－2，2）、N（1，－1）， 则A、B、C三个点中为坐标系原点的是 ____．
【答案】A
【分析】利用平移规律，从M（-2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可得A是坐标原点.
【详解】解：∵M（－2，2）,
∴A是坐标原点.
故答案为A.
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用平移逆向推理是解题关键.
三、解答题
8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间 0 2 4 6 8
电子秤读数y（克） 6 18 30 42 54
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
【答案】(1)作图见解析
(2)在同一直线上．函数表达式为：
(3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克
(4)下午6:30
【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．
（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．
（3）根据（2）中的表达式可求出当时，精密电子秤的读数．
（4）根据（2）中的表达式可求出当时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间．
（1）
解：如图所示
（2）
解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像．
设一次函数表达式为：
将点，代入解析式中可得
解得
函数表达式为：
（3）
解：由（2）可知函数表达式为：
当时，
漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．
（4）
解：由（2）可知函数表达式为：
当时，
起始时间是上午7:30
经过11小时的漏沙时间为下午6:30．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．
平面直角坐标系（提升测评）
一、单选题
1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知点A、B的坐标确定平面直角坐标系，进而可得答案．
【详解】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
∴点C的坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，属于基本题型，正确得出原点位置是解题关键．
2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（　　）
A．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)
B．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)
C．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)
D．以上都不对
【答案】A
【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A．
【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走，
故选：A
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．
3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d，存活率为h．如图，在平面直角坐标系中画出点（d，h），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A（d1，h1）、B（d2，h2）、C（d3，h3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）
A．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种
B．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种
C．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种
D．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种
【答案】B
【分析】根据图象，比较A、B、C三点的存活率和树冠直径即可得出答案．
【详解】根据题意和图象可得，，，
∴乙树种是最优的，
∵甲树种的存活率略高于丙树种，基本相等，但丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径，
∴丙树种优于甲树种，
∴乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种，
故选：B．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解题的关键．
4．点A在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【详解】解：∵点A在第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，
∴点的坐标为（-5，3）．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
5．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
【答案】C
【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标（5，30°），（2，90°），（4，240°），（3，300°），即可判断．
【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，
由题意可知、、、的坐标可表示为：（5，30°），故A不正确；
（2，90°），故B不正确；
（4，240°），故C正确；
（3，300°），故D不正确．
故选择：C．
【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C、F两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数是解题关键．
二、填空题
6．如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是（－2，1），阎村的坐标是（0，2），那么燕山的坐标是______________，窦店坐标是____________．
【答案】 （－2，3） （0，0）
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：燕山的坐标是（-2，3），窦店坐标是（0，0）．
故答案为：（-2，3），（0，0）．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
7．如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移______个单位，再向上平移______个单位．
【答案】 4 2
【分析】根据平行线的性质求得点的坐标，然后即可求得平移方式，即可求解．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，
∴，
即，
将平移到顶点的位置，可以是先向右平移4个单位，再向上平移2个单位．
故答案为：4，2．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题
8．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)请说明点D的实际意义．
(3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
【答案】(1)y是关于x的函数；理由见解析
(2)点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%；
(3)见解析
【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答；
（2）根据点的坐标的意义即可解答；
（3）提出一条合理的建议即可．
（1）
解：根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，
∴y是关于x的函数；
（2）
解：点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为33.7%；
（3）
解：由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，故建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新．
【点睛】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键．
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专题11平面直角坐标系
【专题目录】
技巧1：点的坐标变化规律探究问题
技巧2：巧用坐标求图形的面积
技巧3：活用有序数对表示点的位置
技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题
【题型】一、用有序数对表示位置
【题型】二、求点的坐标
【题型】三、距离与点坐标的关系
【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标
【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
【题型】六、点的坐标的规律探索
【题型】七、函数图象的应用
【考纲要求】
1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．
2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．
3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.
【考点总结】一、平面直角坐标系
直 角 坐 标 系 平面直角坐标系 平面直角坐标系 （1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. （2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
点 的 坐 标 特 征 （1）各象限内点的坐标特征： 点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0； 点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0. （2）坐标轴上点的特征： x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0). （3）对称点的坐标特征： 点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y); 点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y). （4）点的平移特征：将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y)); 将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)). （5）点到坐标轴的距离: 点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
【考点总结】二、函数有关的概念及图象
函 数 的 认 识 函数的有关概念 （1）变量与常量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. （2）函数的概念：一般地,在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量，y是x的函数. （3）表示方法:解析式法、列表法、图象法. （4）自变量的取值范围 ① 解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数; ② 解析式是分式时，自变量的取值范围是分母不为0的实数; ③ 解析式是二次根式时，自变量的取值范围是被开方数大于等于0; （5）函数值：对于一个函数，如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
函 数 的 图 象 （1）函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. （2）函数图象的画法：列表、描点、连线.
【注意】
1、坐标轴上的点不属于任何象限
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法
（1）整式：取全体实数
（2）有分母：取值使分母不为零
（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0
（4）有很多情况：取它们的公共部分
（5）在实际问题中：取值要符合实际意义
【技巧归纳】
技巧1：点的坐标变化规律探究问题
【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究
1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…，组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2 019秒时，点P的坐标是(　　)
(第1题)
A．(2 018，0) B．(2 019，－1)
C．(2 019，1) D．(2 020，0)
2．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P的坐标是________．
3．如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．
(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；
(2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．
【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究
4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x，y)，其中x，y均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的(　　)
A．(16，22) B．(－15，－22) C．(15，－22) D．(16，－22)
【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究
5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按此规律继续以A，B，C为对称中心重复前面的操作，依次得到P4，P5，P6，…，则点P2 018的坐标是(　　)
A．(0，0) B．(0，2) C．(2，－4) D．(－4，2)
6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．
(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则点A4的坐标是________，点B4的坐标是________；
(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB进行n(n为正整数)次变换，得到三角形OAnBn，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点An的坐标是__________，点Bn的坐标是__________．
技巧2：巧用坐标求图形的面积
【类型】一、直接求图形的面积
1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC的面积．
【类型】二、利用补形法求图形的面积
2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD的面积．
3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．
【类型】三、利用分割法求图形的面积
4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．
【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标
5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B的坐标为(　　)
A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)
6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．
7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．
(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；
(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．
技巧3：活用有序数对表示点的位置
【类型】一、利用有序数对表示座位号
1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？
【类型】二、利用有序数对表示棋子位置
2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？
【类型】三、利用有序数对表示地理位置
3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：
(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？
(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？
【类型】四、利用有序数对表示运动路径
4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．
(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；
(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)
技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题
【类型】一、象限内的点的坐标
1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是(　　)
A．第一象限或第三象限 　B．第二象限或第四象限
C．第一象限或第二象限 　D．不能确定
2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．
【类型】二、坐标轴上的点的坐标
3．若点M的坐标为(，|b|＋1)，则下列说法中正确的是(　　)
A．点M在x轴正半轴上 B．点M在x轴负半轴上
C．点M在y轴正半轴上 D．点M在y轴负半轴上
4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．
【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标
5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，
(1)点P在第二、四象限的角平分线上？
(2)点P在第一、三象限的角平分线上？
6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．
【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系
7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为(　　)
A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a
8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．
【类型】五、关于坐标轴对称的点
9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－4，3) B．(3，－4) C．(－3，－4) D．(3，4)
10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.
11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．
【类型】六、关于特殊直线对称的点
12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为(　　)
A．(3，5)，(5，3) B．(5，3)，(－5，－3)　　C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3)
13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．
【题型讲解】
【题型】一、用有序数对表示位置
例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．
A．小李现在位置为第1排第2列 B．小张现在位置为第3排第2列
C．小王现在位置为第2排第2列 D．小谢现在位置为第4排第2列
【题型】二、求点的坐标
例2、如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、距离与点坐标的关系
例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点，点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标
例4、若点N在第一、三象限的角平分线上，且点N到y轴的距离为2，则点N的坐标是( )
A．(2，2) B．(－2，－2) C．(2，2)或(－2，－2) D．(－2，2)或(2，－2)
【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
例5、已知点A（a﹣2，2a+7），点B的坐标为（1，5），直线AB∥y轴，则a的值是（　　）
A．1 B．3 C．﹣1 D．5
【题型】六、点的坐标的规律探索
例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点，第二次移动到点……第次移动到点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【题型】七、函数图象的应用
例7、如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致为(　　)．
平面直角坐标系（达标训练）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点A(a，2)在第二象限内，则的取值可以是（ ）
A．1 B．-3 C．4 D．4或-4
2．若点在轴上，则点在第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋 的位置用有序数对(0， 1)表示，黑棋 的位置用有序数对( 3，0)表示，则白棋③的位置可用有序数对表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（ ）
A．（南偏西50°，35海里） B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里） D．（北偏东40°，35海里）
5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（ ）
A．修车花了25分钟 B．小明家距离学校1000米
C．修好车后骑行的速度是200米/分钟 D．修好车后花了15分钟到达学校
二、填空题
6．已知点在第三象限．则m的取值范围是______．
7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M（－2，2）、N（1，－1）， 则A、B、C三个点中为坐标系原点的是 ____．
三、解答题
8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．
表1
沉沙时间 0 2 4 6 8
电子秤读数y（克） 6 18 30 42 54
探索发现：
(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：
(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？
(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？
平面直角坐标系（提升测评）
一、单选题
1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（　　）
A．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)
B．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)
C．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)
D．以上都不对
3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d，存活率为h．如图，在平面直角坐标系中画出点（d，h），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A（d1，h1）、B（d2，h2）、C（d3，h3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）
A．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种
B．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种
C．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种
D．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种
4．点A在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，雷达探测器发现了A，B，C，D，E，F六个目标．目标C，F的位置分别表示为C（6，120°），F（5，210°），按照此方法表示目标A，B，D，E的位置时，其中表示正确的是（　　）
A．A（4，30°） B．B（1，90°） C．D（ 4，240°） D．E（3，60°）
二、填空题
6．如图是房山区行政规划图．如果周口店的坐标是（－2，1），阎村的坐标是（0，2），那么燕山的坐标是______________，窦店坐标是____________．
7．如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为，，，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移______个单位，再向上平移______个单位．
三、解答题
8．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为y（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
(1)y是关于x的函数吗？为什么？
(2)请说明点D的实际意义．
(3)根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议．
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