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专题14 反比例函数
【专题目录】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【题型】一、反比例的定义
【题型】二、反比例函数的图象
【题型】三、反比例函数的性质
【题型】四、求反比例函数解析式
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
【题型】七、实际问题与反比例函数
【考纲要求】
1、理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2、会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．
3、能用反比例函数解决某些实际问题.
【考点总结】一、反比例函数的概念
反比例函数的概念 反比例函数的定义 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
二次函数的图象及性质 图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
【考点总结】二、反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质 反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质 函数图象所在象限性质 (k≠0,k为常数)k>0三象限 (x,y同号)在每个象限内,y随x增大而减小k<0四象限 (x,y异号)在每个象限内,y随x增大而增大
反比例函数的解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
【注意】
反比例函数（k≠0）系数k的几何意义
从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：
【技巧归纳】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
【类型】一、利用反比例函数的定义求表达式
1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数表达式．【类型】二、利用反比例函数的性质求表达式
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的表达式．
【类型】三、利用反比例函数的图象求表达式
3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝(k≠0)的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，OA＝OB，B是线段AC的中点．求：
(1)点A的坐标及一次函数表达式；
(2)点C的坐标及反比例函数表达式．
【类型】四、利用待定系数法求表达式
4．已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y＝y1＋y2的图象经过点(1，2)，，求y与x的函数表达式．
【类型】五、利用图形的面积求表达式
5．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的面积为6，求B点所在双曲线对应的函数表达式．
【类型】六、利用实际问题中的数量关系求表达式
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．
(1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间有怎样的函数关系？
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？
参考答案
1．解：由反比例函数的定义可知
∴m＝3.
∴此反比例函数的表达式为y＝.
易错点拨：该题容易忽略m＋3≠0这一条件，得出m＝±3的错误结论．
2．解：由题意得
解得n＝2(n＝－4舍去)．
∴此函数的表达式是y＝.
3．解：(1)∵OA＝OB，B(0，2)，点A在x轴负半轴上，
∴点A的坐标为(－2，0)．
设一次函数表达式为y＝ax＋b，将A(－2，0)，B(0，2)的坐标代入表达式得
∴
∴一次函数表达式为y＝x＋2.
(2)如图，过点C作x轴的垂线，交x轴于点D.
∵B为AC中点，且BO∥CD，
∴＝.∴CD＝4.
又∵C点在第一象限，
∴设点C的坐标为(m，4)，代入y＝x＋2得m＝2.
∴点C的坐标为(2，4)．
将C(2，4)的坐标代入y＝(k≠0)，得k＝8.
∴反比例函数表达式为y＝.
4．解：∵y1与x成正比例，
∴设y1＝k1x(k1≠0)．
∵y2与x成反比例，
∴设y2＝(k2≠0)．
由y＝y1＋y2，得y＝k1x＋.
又∵y＝k1x＋的图象经过(1，2)和两点，
∴
解此方程组得
∴y与x的函数表达式是y＝－x＋.
5．解：如图，延长BA交y轴于点E，由题意可知S矩形ADOE＝1，S矩形OCBE＝k.
∵S矩形ABCD＝6，
∴k－1＝6.∴k＝7.
∴B点所在双曲线对应的函数表达式是y＝.
6．解：(1)由已知得vt＝300.
∴t与v之间的函数关系式为t＝(v＞0)．　
(2)运了一半物资后还剩300×＝150(t)，故t与v之间的函数关系式变为t＝(v＞0)．将t＝2代入t＝，得2＝.解得v＝75.
因此剩下的物资要在2 h之内运到江边，运输速度至少为75 t/h.
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
【类型】一、反比例函数的系数k与面积的关系
1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上的任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，P是反比例函数y＝的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为(　　)
A．y＝－ B．y＝ C．y＝－ D．y＝
　
3．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为(　　)
A．36 B．12 C．6 D．3
4．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．2 C． 3 D．4
　
5．如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，点A，C为反比例函数y＝(x＜0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为(　　)
A．4 B．6 C．－4 D．－6
【类型】二、已知面积求反比例函数的表达式
题型1：已知三角形面积求函数表达式
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，已知S△AOB＝4.
(1)求该反比例函数的表达式和直线AB对应的函数表达式；
(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
题型2：已知四边形面积求函数表达式
8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝在第二象限的图象的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3.
(1)求两函数的表达式；
(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．
【类型】三、已知反比例函数表达式求图形的面积
题型1：利用对称性求面积
9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－，y＝，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？
题型2：利用点的坐标及面积公式求面积
10．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝(x＜0)的图象相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)求△AOC的面积．
题型3：利用面积关系求点的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(，1)在反比例函数y＝的图象上．
(1)求反比例函数y＝的表达式；
(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标；
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，点A，O的对应点分别为点E，D.直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
参考答案
1．A　点拨：设△ABC的边AB上的高为h，则
S△ABC＝AB·h
＝(AP＋BP)·h
＝(AP·h＋BP·h)
＝(|－4|＋|2|)
＝×6
＝3.
故选A.
2．A
3．D　点拨：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a，b，可得出B点坐标为(a＋b，a－b)．因为点B在反比例函数y＝第一象限的图象上，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝6.所以S△AOC－S△BAD＝a2－b2＝(a2－b2)＝×6＝3.故选D.
4．A
5．D　点拨：由题意，易得出S△ODB＝S△AOC＝×|－4|＝2.易知OC＝OD，AC＝BD，所以S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2.所以四边形ACBD的面积为S△AOC＋S△ODA＋S△ODB＋S△OBC＝8.
6．C　点拨：设点C的坐标为，则点E，A，根据三角形的面积公式可得出S△AEC＝－k＝，由此即可求出k值．
7．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D.
由题易知OA＝2，BD＝n.
∴S△AOB＝OA·BD＝×2n＝4.∴n＝4.∴B点的坐标为(2，4)．
∴反比例函数的表达式为y＝.
设直线AB对应的函数表达式为y＝kx＋b，由题意得
解得
∴直线AB对应的函数表达式为y＝x＋2.　
(2)对于y＝x＋2，当x＝0时，y＝0＋2＝2，∴C点的坐标为(0，2)．
∴OC＝2.
∴S△OCB＝S△AOB－S△AOC＝4－×2×2＝2.
8．解：(1)由题中图象知k＜0，由已知条件得|k|＝3，∴k＝－3.
∴反比例函数的表达式为y＝－，
一次函数的表达式为y＝－x＋2.
(2)由
解得
∴点A，C的坐标分别为(－1，3)，(3，－1)．
(3)设点P的坐标为(0，m)，直线y＝－x＋2与y轴的交点为M，则点M的坐标为(0，2)．
∵S△APC＝S△AMP＋S△CMP＝PM(|－1|＋|3|)＝5，
∴PM＝，即|m－2|＝.
∴m＝或m＝－.
∴点P的坐标为或.　
9．解：由反比例函数图象的对称性可知，两条坐标轴将矩形ABCD分成四个全等的小矩形．因为点A为y＝的图象上的一点，所以S矩形AEOH＝6.所以S矩形ABCD＝4×6＝24.所以总费用为25×24＝600(元)．
所以所需钢条一共要花600元．
10．解：(1)∵点A(－2，4)在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝－8.
∴反比例函数的表达式为y＝－.
(2)∵点B的横坐标为－4，且点B在反比例函数y＝－的图象上，
∴其纵坐标为2.
∴点B的坐标为(－4，2)．
∵点A(－2，4)，B(－4，2)在直线y＝k1x＋b上，
∴解得
∴直线AB对应的函数表达式为y＝x＋6.当y＝0时，x＝－6.
∴点C的坐标为(－6，0)．
∴S△AOC＝×6×4＝12.
11．解：(1)∵点A(，1)在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝×1＝.
∴反比例函数的表达式为y＝.
(2)∵A(，1)，AB⊥x轴于点C，
∴OC＝，AC＝1.
由题意易得△AOC∽△OBC，
∴＝.
∴BC＝＝3.
∴B点坐标为(，－3)．
∴S△AOB＝××(1＋3)＝2.
∴S△AOP＝S△AOB＝.
设点P的坐标为(m，0)，
∴×|m|×1＝.
∴|m|＝2.
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m＝－2.
∴点P的坐标为(－2，0)．
(3)点E的坐标为(－，－1)．
点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵－×(－1)＝＝k，
∴点E在该反比例函数的图象上．
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【类型】一、反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是(　　)
2．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k，b的取值范围是(　　)
A．k>0，b>0 B．k<0，b>0 C．k<0，b<0 D．k>0，b<0
【类型】二、反比例函数与一次函数的图象与性质
3．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A(1，2)，B两点，给出下列结论：
①k1y2时，x>1；④当x<0时，y2随x的增大而减小．其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x>0)的图象如图所示，则以下结论：
①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；
②当x>2时，y1>y2；
③当x＝1时，BC＝2；
④两函数图象构成的图形是轴对称图形；
⑤当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是____________．
　
【类型】三、反比例函数与一次函数的有关计算
题型1：利用点的坐标求面积
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝交于点P，Q，求△APQ的面积．
题型2：利用面积求点的坐标
6．如图，A，B(－1，2)是一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1－y2>0
(2)求一次函数表达式及m的值．
(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
参考答案
1．A　2.C
3．C点拨：把点A(1，2)的坐标分别代入y＝k1x，y＝中，得k1＝2，k2＝2.所以①是错误的，易知点B的坐标为(－1，－2)，由图象可知②，④是正确的，当y1＞y2时，x>1或－1＜x＜0，所以③是错误的，故选C.
4．①②④⑤
5．解：(1)把C(1，m)的坐标代入y＝，得m＝，∴m＝4.
∴点C的坐标为(1，4)．
把C(1，4)的坐标代入y＝2x＋n，得4＝2×1＋n，解得n＝2.
(2)对于y＝2x＋2，令x＝3，则y＝2×3＋2＝8，
∴点P的坐标为(3，8)．
令y＝0，则2x＋2＝0，得x＝－1，
∴点A的坐标为(－1，0)．
对于y＝，令x＝3，则y＝.
∴点Q的坐标为.
∴PQ＝8－＝，AD＝3＋1＝4.
∴△APQ的面积＝AD·PQ＝×4×＝.
点拨：注意反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的表达式，解答这类题通常运用方程思想．
6．解：(1)在第二象限内，当－40.
(2)∵双曲线y2＝过A，∴m＝－4×＝－2.
∵直线y1＝ax＋b过A，B(－1，2)，　
∴解得
∴y1＝x＋.
(3)设P，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
∴PM＝n＋，PN＝－n.
∵S△PCA＝S△PDB，
∴·AC·CM＝·BD·DN，
即×(n＋4)＝×1×，解得n＝－.
∴P点坐标为.
【题型讲解】
【题型】一、反比例的定义
例1、反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【提示】将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一提示即可．
【详解】将点（2,1）代入中，解得：k=2，
A．k=2，此说法正确，不符合题意；
B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；
C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；
D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；
故选：C．
【题型】二、反比例函数的图象
例2、已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】首先画出反比例函数，利用函数图像的性质得到当时，，，的大小关系．
【详解】解： 反比例函数，
反比例函数图像在第二、四象限，
观察图像：当时，
则．
故选A．
【题型】三、反比例函数的性质
例3、已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【提示】根据正比例函数和反比例函数的图象逐一判断即可．
【详解】解： 观察图像①可得，所以，①符合题意；
观察图像②可得，所以，②不符合题意；
观察图像③可得，所以，③不符合题意；
观察图像④可得，所以，④符合题意；
综上，其中符合的是①④，
故答案为：B．
【题型】四、求反比例函数解析式
例4、已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【答案】D
【提示】设解析式y=，代入点(2,-4)求出即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为y=，
将(2，-4)代入，得：-4=，
解得：k=-8，
所以这个反比例函数解析式为y=-．
故选：D．
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
例5、如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（　 　）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【提示】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论．
【详解】点A的坐标为（m，2n），
∴，
∵D为AC的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥轴，△ADO的面积为1，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
例6、如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）
B．或 C． D．或
【答案】D
【提示】结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
【题型】七、实际问题与反比例函数
例7、南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【答案】（1）（0【提示】（1）根据“工作时间=总工作量÷每天工作量”，即可得出y关于x的函数关系式；
（2）根据工期比原计划提前了100天列方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵共有土石方总量600千立方米，
∴（0（2）由题意得
，
解得x1=1，x2=（负值舍去），
经检验x=1是原分式方程的解
1+0.2=1.2千立方米，
600÷1.2=500天．
答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
反比例函数（达标训练）
一、单选题
1．学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升，加热到时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温要从加热到，所需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图像知加热时水温与通电时间成正比例关系，通电加热时水温每分钟上升，所以关系式为，进而可求得水温要从加热到所需要的时间．
【详解】解：由图可知水温要从加热到，水温与通电时间成正比例关系，关系式为 ，
当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．如图是反比例函数的图象，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合图形可知当，反比例函数在x轴下方，并随x的增大而增大，即可作答．
【详解】由反比例函数的图象可知：
当x=1时，y=-3，
当，反比例函数的图象在x轴下方，并随x的增大而增大，
则有，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，注重数形结合是快速解答本题的关键．
3．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
【答案】B
【分析】直接根据P的位置和反比例函数关于原点成中心对称，即可得出答案．
【详解】解法一：∵P（-1，-2）在第三象限，
∴反比例函数过第三象限
∵反比例函数图形关于原点对称
∴反比例函数位于一、三象限
故选：B．
解法二：将P（-1，-2）代入 得，
∵，
∴反比例函数位于一、三象限，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象，理解k的符号与反比例函数图象的位置是解题的关键．
4．若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A． B．3 C．- D．-3
【答案】B
【分析】把点的坐标代入函数解析式，即可求出k．
【详解】∵点P(1,3)在反比例函数（k≠0）的图象上，
∴，即k=3．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，理解反比例函数的性质是解答本题的关键．
5．若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B．6 C． D．3
【答案】C
【分析】把点代入反比例函数即可求出．
【详解】解：将点代入反比例函数，得
，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
二、填空题
6．点，，，在函数的图像上，若，则__．（填“”、“”或“”）
【答案】>
【分析】根据反比例函数的性质即可求得答案．
【详解】解：由题意得，，
则当时，；当时，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握当时反比例函数的性质是解题的关键 ．
7．当时，函数的值是______．
【答案】-2
【分析】把代入函数的解析式进行计算即可．
【详解】解：由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的函数值，正确理解自变量与函数值之间的关系成为解答本题的关键．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求点B的坐标．
(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
【答案】(1)点B的坐标为（3，2）
(2)16
【分析】（1）利用A的坐标得到B的横坐标，代入反比例函数的解析式即可求得纵坐标；
（2）过点B作轴交AC于点D，根据反比例函数的中心对称性得到C的坐标，从而求得直线AC解析式，进而求得D点坐标，然后根据求得即可．
（1）
∵点A的坐标为（1，6），
∵点B是由点A向右平移2个单位长度，向下平移a个单位长度得到，
∴点B的横坐标为3，
将代入中，得，
∴点B的坐标为（3，2）；
（2）
过点B作轴交AC于点D，如图所示，
由题意，可知点C与点B关于原点对称，
∴点C的坐标为（－3，－2），
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A、C代入得，，
解得，
∴直线AC的解析式为，
由题意，易得点D的纵坐标为2，
将代入中，得，
∴点D的坐标为（－1，2），
∴．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
反比例函数（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】设，由S△BCD=即可求解.
【详解】解：设，
∵BD⊥y轴
∴S△BCD==5，
解得：
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．
2．已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解．
【详解】解：由，消去得到：，
一次函数与反比例函数的图象有2个公共点，
△，
即，
或，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
3．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限 B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线 D．y的值随x的值增大而减小
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图像和性质即可判断．
【详解】解：在y=-中，k=-2＜0，
∴图像位于第二、四象限，图像是双曲线，在每一象限内，y随着x增大而增大，
故A，C，D选项不符合题意，
∵x≠0，y≠0，
∴函数图像与坐标轴没有交点，
故B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的性质与系数的关系是解题的关键．
4．已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是( )
A．有两个正根 B．有一个正根一个负根
C．有两个负根 D．没有实根
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的性质求出ab>0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可．
【详解】解：∵当时，随增大而减小，
∴ab>0．
∵，
∴方程有两个不相等的根．
∵，
∴方程有一个正根一个负根．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出ab>0．
5．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数y=的图象在每一象限内随的增大而减小，而A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=第一象限的图象上，
∴
故选B
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，掌握“的图象当时，图象在每一象限内随的增大而减小”是解本题的关键．
二、填空题
6．如图，A、B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________．
【答案】8
【分析】设．根据中点坐标公式和△ODC的面积确定mn=16，再结合反比例函数比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：设．
∵D为OB中点，
∴．
∵AC⊥x轴，
∴，．
∵△ODC的面积为1，
∴．
∴mn=8．
∵点B在反比例函数上，
∴．
∴k=mn．
∴k=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查中点坐标公式，根据图形面积求反比例函数比例系数k，熟练掌握这些知识点是解题关键．
7．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为________．（用“”连接）
【答案】
【分析】分别将点代入反比例函数解析式中，求出的大小进行比较即可．
【详解】解：将点代入反比例函数中，
可得：，，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了反比例函数值的大小比较，解本题的关键在熟练掌握代入法和有理数比大小的方法．当然本题也可以利用反比例函数的性质来进行比较．
三、解答题
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，次函数解析式为
(2)x≥4或-1≤x＜0
(3)
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数即可求出函数的解析式；
（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过C点作CDy轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据 即可求出答案．
（1）
解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（4，1），
∴ ，
∴反比例函数解析式为 ，
又点B（﹣1，n）在反比例函数上，
∴ ，
∴B的坐标为（-1，-4），
把A（4，1），B（﹣1，-4）代入 ，
得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；
（2）
解：由图象及交点坐标可知：
当x≥4或-1≤x＜0时，k1x+b≥﹣；
（3）
解：过C点作CDy轴，交直线AB于D，
∵B（-1，-4），B、C关于原点对称，
∴C（1，4），
把x=1代入y=x-3，得y=-2，
∴D（1，-2），CD=6，
∴．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
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专题14 反比例函数
【专题目录】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【题型】一、反比例的定义
【题型】二、反比例函数的图象
【题型】三、反比例函数的性质
【题型】四、求反比例函数解析式
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
【题型】七、实际问题与反比例函数
【考纲要求】
1、理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2、会画反比例函数图象，根据图象和解析式讨论其基本性质．
3、能用反比例函数解决某些实际问题.
【考点总结】一、反比例函数的概念
反比例函数的概念 反比例函数的定义 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数.
二次函数的图象及性质 图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
【考点总结】二、反比例函数的图象和性质
反比例函数的图象和性质 反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质 函数图象所在象限性质 (k≠0,k为常数)k>0三象限 (x,y同号)在每个象限内,y随x增大而减小k<0四象限 (x,y异号)在每个象限内,y随x增大而增大
反比例函数的解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
【注意】
反比例函数（k≠0）系数k的几何意义
从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图：
【技巧归纳】
技巧1：求反比例函数表达式的六种方法
【类型】一、利用反比例函数的定义求表达式
1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数表达式．【类型】二、利用反比例函数的性质求表达式
2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的表达式．
【类型】三、利用反比例函数的图象求表达式
3．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝(k≠0)的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为(0，2)，OA＝OB，B是线段AC的中点．求：
(1)点A的坐标及一次函数表达式；
(2)点C的坐标及反比例函数表达式．
【类型】四、利用待定系数法求表达式
4．已知y1与x成正比例，y2与x成反比例，若函数y＝y1＋y2的图象经过点(1，2)，，求y与x的函数表达式．
【类型】五、利用图形的面积求表达式
5．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C，D两点在x轴上，若矩形ABCD的面积为6，求B点所在双曲线对应的函数表达式．
【类型】六、利用实际问题中的数量关系求表达式
6．某运输队要运300 t物资到江边防洪．
(1)运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间有怎样的函数关系？
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速度至少为多少？
技巧2：反比例函数系数k的几何意义解与面积相关问题
【类型】一、反比例函数的系数k与面积的关系
1．如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上的任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，P是反比例函数y＝的图象上一点，过P点分别向x轴，y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，则这个反比例函数的表达式为(　　)
A．y＝－ B．y＝ C．y＝－ D．y＝
　
3．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC－S△BAD为(　　)
A．36 B．12 C．6 D．3
4．如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．2 C． 3 D．4
　
5．如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图，点A，C为反比例函数y＝(x＜0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，点E恰好为OC的中点，当△AEC的面积为时，k的值为(　　)
A．4 B．6 C．－4 D．－6
【类型】二、已知面积求反比例函数的表达式
题型1：已知三角形面积求函数表达式
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(－2，0)，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(2，n)，连接BO，已知S△AOB＝4.
(1)求该反比例函数的表达式和直线AB对应的函数表达式；
(2)若直线AB与y轴的交点为C，求△OCB的面积．
题型2：已知四边形面积求函数表达式
8．如图，矩形ABOD的顶点A是函数y＝－x－(k＋1)的图象与函数y＝在第二象限的图象的交点，AB⊥x轴于B，AD⊥y轴于D，且矩形ABOD的面积为3.
(1)求两函数的表达式；
(2)求两函数图象的交点A，C的坐标；
(3)若点P是y轴上一动点，且S△APC＝5，求点P的坐标．
【类型】三、已知反比例函数表达式求图形的面积
题型1：利用对称性求面积
9．如图，是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线对应的函数表达式分别为y＝－，y＝，现用四根钢条固定这四条曲线．这种钢条加工成矩形产品按面积计算，每单位面积25元，请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共要花多少钱？
题型2：利用点的坐标及面积公式求面积
10．如图，直线y＝k1x＋b与反比例函数y＝(x＜0)的图象相交于点A，点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.
(1)试确定反比例函数的表达式；
(2)求△AOC的面积．
题型3：利用面积关系求点的坐标
11．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A(，1)在反比例函数y＝的图象上．
(1)求反比例函数y＝的表达式；
(2)在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP＝S△AOB，求点P的坐标；
(3)若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，点A，O的对应点分别为点E，D.直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
技巧3：反比例函数与一次函数的综合应用
【类型】一、反比例函数图象与一次函数图象的位置判断
1．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx－k与反比例函数y＝(k≠0)的图象大致是(　　)
2．一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k，b的取值范围是(　　)
A．k>0，b>0 B．k<0，b>0 C．k<0，b<0 D．k>0，b<0
【类型】二、反比例函数与一次函数的图象与性质
3．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A(1，2)，B两点，给出下列结论：
①k1y2时，x>1；④当x<0时，y2随x的增大而减小．其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知函数y1＝x(x≥0)，y2＝(x>0)的图象如图所示，则以下结论：
①两函数图象的交点A的坐标为(2，2)；
②当x>2时，y1>y2；
③当x＝1时，BC＝2；
④两函数图象构成的图形是轴对称图形；
⑤当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小．
其中正确结论的序号是____________．
　
【类型】三、反比例函数与一次函数的有关计算
题型1：利用点的坐标求面积
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝交于点P，Q，求△APQ的面积．
题型2：利用面积求点的坐标
6．如图，A，B(－1，2)是一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.
(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，y1－y2>0
(2)求一次函数表达式及m的值．
(3)P是线段AB上一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
【题型讲解】
【题型】一、反比例的定义
例1、反比例函数经过点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．函数图象分布在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【题型】二、反比例函数的图象
例2、已知点，，都在反比例函数的图像上，且，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、反比例函数的性质
例3、已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【题型】四、求反比例函数解析式
例4、已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是(　　　)
A．y= B．y=﹣ C．y= D．y=﹣
【题型】五、反比例函数比例系数k的几何意义
例5、如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（　 　）
A． B． C．3 D．4
【题型】六、反比例函数与一次函数综合
例6、如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）
B．或 C． D．或
【题型】七、实际问题与反比例函数
例7、南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．
（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
反比例函数（达标训练）
一、单选题
1．学校的自动饮水机，通电加热时水温每分钟上升，加热到时，自动停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则水温要从加热到，所需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是反比例函数的图象，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限
4．若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（ ）
A． B．3 C．- D．-3
5．若点在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A．1 B．6 C． D．3
二、填空题
6．点，，，在函数的图像上，若，则__．（填“”、“”或“”）
7．当时，函数的值是______．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度后得到点B，点B恰好落在反比例函数的图象上．
(1)求点B的坐标．
(2)连接BO并延长，交反比例函数的图象于点C，求的面积．
反比例函数（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是( )
A． B． C．或 D．
3．关于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图像位于第一、三象限 B．图像与坐标轴没有交点
C．图像是一条直线 D．y的值随x的值增大而减小
4．已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是( )
A．有两个正根 B．有一个正根一个负根
C．有两个负根 D．没有实根
5．如果A（2，y1），B（3，y2）两点都在反比例函数y=的图象上，那么y1与y2的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，A、B是双曲线y＝上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，连接OA，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为________．
7．已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为________．（用“”连接）
三、解答题
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点．
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式：
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求ABC的面积．
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