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专题16 相交线与平行线
【专题目录】
技巧1：识别相交线中的几种角
技巧2：相交线与平行线中的思想方法
技巧3：几何计数的四种常用方法
【题型】一、利用对顶角相等进行相关计算
【题型】二、利用邻补角相等求角的度数
【题型】三、平行线的性质与判定
【题型】四、利用平行线的性质进行相关计算
【题型】五、平行线性质与判定的综合应用
【题型】六、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、相交线
相 交 线 直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念 当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段最短定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
线段垂直平分线 邻补角与对顶角的知识点 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形顶点边的关系大小关系对顶角 ∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等 即∠1=∠2邻补角 ∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°
同位角、内错角与同旁内角的知识点 同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧） 如：∠1和∠5。 内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧） 如：∠3和∠5。 同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角 指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
【考点总结】二、平行线
平 行 线 平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线的判定 判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补。
【主要】
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
【技巧归纳】
技巧1：识别相交线中的几种角
【类型】一、识别对顶角
1．下列选项中，∠1与∠2互为对顶角的是(　　)
2．下列语句正确的是(　　)
A. 顶点相对的两个角是对顶角
B. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C. 两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角
D．两条直线相交，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
3．如图，∠1的对顶角是(　　)
A．∠BOF B．∠BOC C．∠BOD D．∠EOC
4．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE，OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是(　　)
A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠BOC和∠AOD D．∠COF和∠BOD
【类型】二、识别同位角、内错角、同旁内角
5．下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是(　　)
6．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是__________；DE与AC被直线AD所截得的内错角是__________；图中∠4的内错角是_______和________．
7．如图所示，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于________°，∠1的内错角等于________°，∠1的同旁内角等于________°。
8．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠3与∠4，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．
9．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．
参考答案
1．D　2.D　3.B　4.C　5.A
6．∠1和∠3；∠2和∠4；∠5；∠2
7．80；80；100
8．解：∠1与∠2是同旁内角，∠1与∠7是同位角，∠1与∠BAD是同旁内角，∠3与∠4是同旁内角，∠2与∠6是内错角，∠5与∠8是对顶角．
9．解：当直线AB，BE被AC所截时，所得到的内错角有：∠BAC与∠ACE，∠BCA与∠FAC；同旁内角有：∠BAC与∠BCA，∠FAC与∠ACE.
当直线AD，BE被AC所截时，内错角有：∠ACB与∠CAD；同旁内角有：∠DAC与∠ACE.
当直线AD，BE被BF所截时，同位角有：∠FAD与∠B；同旁内角有：∠DAB与∠B.
当直线AC，BE被AB所截时，同位角有：∠B与∠FAC；同旁内角有：∠B与∠BAC.
当直线AB，AC被BE所截时，同位角有：∠B与∠ACE；同旁内角有：∠B与∠ACB.
技巧2：相交线与平行线中的思想方法
【类型】一、基本图形(添加辅助线)法
1．已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠PAB、∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．
【类型】二、分离图形法
2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？
【类型】三、平移法
3．如图，在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶，它们的总宽度是3米，总高度是2米，图中所成角度均为直角，现要在从A到B的台阶上铺上地毯，求地毯的总长度．
4．如图，某住宅小区内有一块长方形地，想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？
【类型】四、方程思想
5．如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度数．
【类型】五、转化思想
6．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE.
【类型】六、数形结合思想
7．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.
【类型】七、分类讨论思想
8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
参考答案
1．思路导引：要探究三个角的数量关系，可找出联系这三个角的平行线，因此联想到作平行线．
解：∠APC＝∠PAB＋∠PCD.
理由如下：如图，过点P向左侧作PE∥AB.
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD.
∴∠PAB＝∠APE，∠PCD＝∠CPE.
∵∠APC＝∠APE＋∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB＋∠PCD.
2．解：如图，将给出的图形分离为8个“三线八角”的基本图形，由每个基本图形都有2对同旁内角，知共有16对同旁内角．
3．解：由平移的性质可知，地毯的总长度为3＋2＝5(米)．
方法规律：此题运用了平移法，这些台阶不均匀，无法具体计算每级台阶的宽度和高度，但若把所有台阶的宽平移至BC上，发现总和恰好与BC相等，若把所有台阶的高平移到AC上，发现总和恰好与AC相等．
4．解：如图，把两条小路平移到长方形地ABCD的最上边和最左边，则余下部分EFCG是长方形，即为绿化的面积．
∵ CF＝32－2＝30(m)，CG＝20－2＝18(m)，
∴长方形EFCG的面积＝30×18＝540(m2)．
即绿化的面积为540 m2.
5．解：设∠COD＝x.因为OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，所以∠COF＝∠BOC，∠EOD＝∠AOD.因为∠EOF＝x＋∠COF＋∠EOD＝170°，所以∠COF＋∠EOD＝170°－x.又因为x＋2∠COF＋2∠EOD＋90°＝360°，所以x＋2(170°－x)＋90°＝360°，所以x＝70°，即∠COD＝70°.
方法规律：有些复杂的求角度的问题用方程思想求解非常简单，注意方程思想的应用．
6．解：如图，过点E作EF∥AB.∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD.
∴∠DEF＝∠D.又∵∠D＝∠2，∴∠DEF＝∠2.
同理：由EF∥AB，∠1＝∠B，可得∠BEF＝∠1.
又∵∠1＋∠2＋∠BEF＋∠DEF＝180°，
∴∠1＋∠2＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED＝90°.∴BE⊥DE.
方法规律：解该类问题需转化为比较简单、熟悉的几何问题，通过点E作平行线，把一个大角分成两个小角，分别与已知角建立联系，这种转化思想在解题时经常用到．
7．解：由对顶角相等，得∠CNF＝∠END.
又∠CNF＋∠BMN＝180°，
所以∠END＋∠BMN＝180°.所以AB∥CD.[]
所以∠EMB＝∠END.又因为∠1＝∠2，
所以∠EMB＋∠1＝∠END＋∠2，
即∠EMP＝∠ENQ.所以MP∥NQ.
点拨：平行线的判定是由角与角的数量关系到“形”的判定，而性质则是由“形”到“数”的说理，研究两条直线的垂直或平行的共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角和角之间的数量关系．
8．解：当点P在C，D之间时，
过P点作PE∥AC，则PE∥BD，如图①.
∵PE∥AC, ∴∠APE＝∠1.
∵PE∥BD，∴∠BPE＝∠3.
∵∠2＝∠APE＋∠BPE，∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点C重合时，∠1＝0°，如图②.
∵l1∥l2，∴∠2＝∠3.
∵∠1＝0°， ∴∠2＝∠1＋∠3.
当点P与点D重合时，∠3＝0°，如图③.
∵l1∥l2，∴∠2＝∠1.
∵∠3＝0°，∴∠2＝∠1＋∠3.
综上所述，当点P在线段CD上运动时，
∠1，∠2，∠3之间的关系为∠2＝∠1＋∠3.
技巧3：几何计数的四种常用方法
【类型】一、按顺序计数问题
1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；
(2)如图②，直线l上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
(3)如图③，直线上有n个点，则图中有_______条可用图中字母表示的射线，有__________条线段；
(4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需________场比赛．
【类型】二、按画图计数问题
2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？3．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
【类型】三、按基本图形计数问题
4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？
【类型】四、按从特殊到一般的思想方法计数问题
5．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．
(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；….
(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；
(5)根据探究结果，求2 018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
6．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？
参考答案
1．解：(2)4；3　(3)2(n－1)；(n－1)　(4)15
2．解：如图所示，图①有0个交点，图②有1个交点，图③、图④有3个交点，图⑤、图⑥有4个交点，图⑦有5个交点，图⑧有6个交点．
3．解：如图所示．
4．解：以一个“#”形为基本图形的有5个，以两个“#”形为基本图形的有4个，以三个“#”形为基本图形的有3个，以四个“#”形为基本图形的有2个，以五个“#”形为基本图形的有1个，所以共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
5．解：(1)2　(2)6　(3)12　(4)n(n－1)
(5)当2 018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数为2 018×(2 018－1)＝2 018×2 017＝4 070 306.
方法规律：本题运用了从特殊到一般的思想，前三题可以直接数出对顶角的对数．根据前三题中的结果，探究出一般规律，再运用规律来解决最后一个问题．
6．解：首先画图如下，列表如下：
直线条数 1 2 3 4 …
平面最多被分成的部分个数 2 4 7 11 …
当n＝1时，平面被分成2个部分；
当n＝2时，增加2个，最多将平面分成2＋2＝4(个)部分；
当n＝3时，增加3个，最多将平面分成2＋2＋3＝7(个)部分；
当n＝4时，增加4个，最多将平面分成2＋2＋3＋4＝11(个)部分；…；
所以当有n条直线时，最多将平面分成2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝(个)部分．
【题型讲解】
【题型】一、利用对顶角相等进行相关计算
例1、如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据对顶角相等求出∠1，再根据互为邻补角的两个角的和等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2（对顶角相等），
∴∠1＝30°，
∵∠1与∠3互为邻补角，
∴∠3＝180° ∠1＝180° 30°＝150°．
故选：A．
【题型】二、利用邻补角相等求角的度数
例2、如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
【题型】三、平行线的性质与判定
例3、如图，平行线，被直线所截．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用平行线的性质得出答案．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°
∵，
∴∠2=75°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．
【题型】四、利用平行线的性质进行相关计算
例4、如图，直线于点，若，则的度数是（ ）
A．120° B．100° C．150° D．160°
【答案】C
【提示】延长AE，与DC的延长线交于点F，根据平行线的性质，求出∠AFC的度数，再利用外角的性质求出∠ECF，从而求出∠ECD．
【详解】解：延长AE，与DC的延长线交于点F，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠AFC=180°，
∵，
∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
而∠AEC=∠AFC+∠ECF，
∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，
故选：C．
【题型】五、平行线性质与判定的综合应用
例5、如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【答案】证明见解析．
【提示】
先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】
平分，平分
，即
．
【题型】六、求平行线间的距离
例6、如图，直线∥，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
【答案】C
【提示】
根据等底同高的三角形面积相等即可解题.
【详解】
∵平行线之间的距离是相等的,,
∴以BC为底边的三角形△ABC和△DBC等底同高,
∴△DBC的面积等于△ABC的面积等于10,
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形的面积,属于简单题,明确等底同高的三角形面积相等是解题关键.
相交线与平行线（达标训练）
一、单选题
1．如图，直线，，，则∠3的度数等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100
【答案】D
【分析】由两直线平行，同位角相等得到∠4＝50°，再根据平角的定义即可得解．
【详解】解：如图，∵直线，，
∴∠4＝∠1＝50°，
∵∠2＝30°，
∴∠3＝180°－∠2－∠4＝180°－30°－50°＝100°，
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
2．如图，能判定的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据平行线的判定定理对各选项逐一进行分析即可．
【详解】解：A、∵和不是同位角，
∴不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；
B、∵和不是内错角，
∴不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；
C、∵和不是同位角，
∴不能判定任何直线平行，故此选项不符合题意；
D、∵和是内错角，
∴当时能判定，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等或内错角相等或同旁内角互补才能判断两直线平行．
3．如图，若，，则∠1的度数为（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
【答案】D
【分析】先证明再利用邻补角的含义可得答案．
【详解】解：如图， ，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，掌握“平行线的性质”是解本题的关键．
4．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据三角形内角和等于180 求出∠ABC和∠EDF的度数，再根据平行线的性质可得∠ABD=∠EDF，利用角的和差即可求出∠CBD的度数．
【详解】∵△ABC中，∠ACB=90 ，∠A=60 ，
∴∠ABC=180 -90 -60 =30 ．
∵△DEF中，∠F=90 ，∠E=45 ，
∴∠EDF=180 -90 -45 =45 ．
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45 ．
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC
=45 -30
=15 ．
故选B
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理和平行线的性质定理是解题的关键．
5．如图，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：如图：
，
，
∵，，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
二、填空题
6．如图，直线a与b相交，，______．
【答案】60°##60度
【分析】先根据∠1=∠2，∠1+∠2=240°，求出∠1的度数，再根据邻补角互补求解即可．
【详解】解：∵∠·1+∠2=240°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=120°，
∴∠3=180°-∠1=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补，正确求出∠1的度数是解题的关键．
7．如图，已知射线平分，点是上一点，且交于点，若，则的度数为______．
【答案】56°##56度
【分析】依据平行线的性质，可得，，再根据角平分线的定义，即可得到，即可得出．
【详解】解：，，
，，
又平分，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质及角平分线的定义，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
三、解答题
8．如图，在△ABC中，，D，E分别是边BC，CA上的点，．
(1)求∠BDE的大小；
(2)交AB于点F，若DF平分∠BDE，求∠A的大小．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先证明，利用同旁内角互补即可求解；
（2）先求出，再根据平行线的性质即可求解．
(1)
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)
∵DF平分∠BDE
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．
相交线与平行线（提升测评）
一、单选题
1．如图，已知ABCD，EB交CD于F，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【分析】先根据两角互补的性质得出∠CFE的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠DFE=135°，
∴∠CFE=180°-135°=45°，
∵ABCD，
∴∠ABE=∠CFE=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键．
2．如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】B
【分析】由题意得∠CAD=90°，∠C=30°，从而求得∠CAE=70°，由平行线的性质得∠CBF=∠CAE=70°，利用三角形的外角性质求得∠CHB=40°，从而可求∠2的度数．
【详解】解：如图，
由题意得：∠CAD=90°，∠C=30°，
∵∠1=20°，
∴∠CAE=180°-∠CAD-∠1=70°，
∵ab,
∴∠CBF=∠CAE=70°，
∵∠CBF是△CBH的外角，
∴∠CHB=∠CBF-∠C=40°，
∴∠2=180°-∠CHB=140°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
3．如图，直线a、b被直线c所截，若，，则∠2的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据邻补角性质求得，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了邻补角的性质，平行线的性质，掌握“两直线平行、内错角相等”是解答本题的关键．
4．如图，直线AB与CD相交于点E，EF平分，．若，则（ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
【答案】B
【分析】先利用角平分线的定义和平角的定义计算出∠2，然后根据平行线的性质得到∠F的度数．
【详解】∵EF平分∠CEB，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2+∠3=180°，，
∴∠2=（180°-40°）=70°，
∵FM∥AB，
∴∠F=∠2=70°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平角的定义，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
5．如图，，EF交AB于点E，交CD于点F，EH为的平分线，GH交AB于点G，，，则的度数为（ ）
A．80° B．76° C．75° D．70°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，，，根据角平分线的性质可得，根据三角形的外角的性质可得，进而即可求解．
【详解】如图，
，，
,，，
EH为的平分线，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角的性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
6．如图，ABCD，分别与，交于点，．若，，则______．
【答案】
【分析】通过两直线平行，同位角相等，求出∠ABE的度数，再利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：，
，
在△ABE中，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，灵活运用平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
7．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么__．
【答案】30°##30度
【分析】由三角形的内角和定理可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用平行线的性质可求解．
【详解】解：∵∠C＝75°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，求解∠CAD的度数．
三、解答题
8．如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明．
【详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
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专题16 相交线与平行线
【专题目录】
技巧1：识别相交线中的几种角
技巧2：相交线与平行线中的思想方法
技巧3：几何计数的四种常用方法
【题型】一、利用对顶角相等进行相关计算
【题型】二、利用邻补角相等求角的度数
【题型】三、平行线的性质与判定
【题型】四、利用平行线的性质进行相关计算
【题型】五、平行线性质与判定的综合应用
【题型】六、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、相交线
相 交 线 直线的位置关系 在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。
垂线的概念 当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。
垂线的性质 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
垂线段最短定理 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
线段垂直平分线 邻补角与对顶角的知识点 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形顶点边的关系大小关系对顶角 ∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等 即∠1=∠2邻补角 ∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°
同位角、内错角与同旁内角的知识点 同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧） 如：∠1和∠5。 内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧） 如：∠3和∠5。 同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。
三线八角 指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
【考点总结】二、平行线
平 行 线 平行线的概念 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行线的判定 判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行
平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补。
【主要】
（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；
（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；
（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；
（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.
【技巧归纳】
技巧1：识别相交线中的几种角
【类型】一、识别对顶角
1．下列选项中，∠1与∠2互为对顶角的是(　　)
2．下列语句正确的是(　　)
A. 顶点相对的两个角是对顶角
B. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C. 两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角
D．两条直线相交，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角
3．如图，∠1的对顶角是(　　)
A．∠BOF B．∠BOC C．∠BOD D．∠EOC
4．如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE，OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是(　　)
A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠BOC和∠AOD D．∠COF和∠BOD
【类型】二、识别同位角、内错角、同旁内角
5．下列图形中，∠1和∠2是同旁内角的是(　　)
6．如图，AB与BC被AD所截得的内错角是__________；DE与AC被直线AD所截得的内错角是__________；图中∠4的内错角是_______和________．
7．如图所示，如果∠2＝100°，那么∠1的同位角等于________°，∠1的内错角等于________°，∠1的同旁内角等于________°。
8．如图，试判断∠1与∠2，∠1与∠7，∠1与∠BAD，∠3与∠4，∠2与∠6，∠5与∠8各对角的位置关系．
9．如图，请结合图形找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角．
技巧2：相交线与平行线中的思想方法
【类型】一、基本图形(添加辅助线)法
1．已知AB∥CD，探讨图中∠APC与∠PAB、∠PCD的数量关系，并请你说明成立的理由．
【类型】二、分离图形法
2．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图所示的图形，则共得出同旁内角多少对？
【类型】三、平移法
3．如图，在水平地面上有几级高度和宽度不均匀的台阶，它们的总宽度是3米，总高度是2米，图中所成角度均为直角，现要在从A到B的台阶上铺上地毯，求地毯的总长度．
4．如图，某住宅小区内有一块长方形地，想在长方形地内修筑同样宽的两条小路，余下部分绿化，小路的宽为2 m，则绿化的面积为多少？
【类型】四、方程思想
5．如图，由点O引出六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，且AO⊥OB，OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，若∠EOF＝170°，求∠COD的度数．
【类型】五、转化思想
6．如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D，试说明BE⊥DE.
【类型】六、数形结合思想
7．如图，直线AB，CD被EF所截，∠1＝∠2，∠CNF＋∠BMN＝180°.试说明：AB∥CD，MP∥NQ.
【类型】七、分类讨论思想
8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3交l1于C点，交l2于D点，P是线段CD上的一个动点，当P在线段CD上运动时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系．
技巧3：几何计数的四种常用方法
【类型】一、按顺序计数问题
1．(1)如图①，直线l上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段；
(2)如图②，直线l上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段；
(3)如图③，直线上有n个点，则图中有_______条可用图中字母表示的射线，有__________条线段；
(4)应用(3)中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛(即每两队之间赛一场)，预计全部赛完共需________场比赛．
【类型】二、按画图计数问题
2．请你画图说明同一平面内的4条直线的位置关系，它们分别有几个交点？3．平面内有10条直线，无任何三线共点，要使它们恰好有31个交点，请你画出示意图．
【类型】三、按基本图形计数问题
4．如图，一组互相平行的直线有6条，它们和两条平行线a，b都相交，构成若干个“#”形，则此图中共有多少个“#”形？
【类型】四、按从特殊到一般的思想方法计数问题
5．观察如图所示的图形，寻找对顶角(不含平角)．
(1)两条直线相交于一点，如图①，共有________对对顶角；
(2)三条直线相交于一点，如图②，共有________对对顶角；
(3)四条直线相交于一点，如图③，共有________对对顶角；….
(4)根据以上结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角有____________对；
(5)根据探究结果，求2 018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．
6．平面内n条直线最多将平面分成多少个部分？
【题型讲解】
【题型】一、利用对顶角相等进行相关计算
例1、如图，直线，相交于点，如果，那么是（ ）
A． B． C． D．
【题型】二、利用邻补角相等求角的度数
例2、如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、平行线的性质与判定
例3、如图，平行线，被直线所截．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、利用平行线的性质进行相关计算
例4、如图，直线于点，若，则的度数是（ ）
A．120° B．100° C．150° D．160°
【题型】五、平行线性质与判定的综合应用
例5、如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
【题型】六、求平行线间的距离
例6、如图，直线∥，△ABC的面积为10，则△DBC的面积( )
A．大于10 B．小于10 C．等于10 D．不确定
相交线与平行线（达标训练）
一、单选题
1．如图，直线，，，则∠3的度数等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100
2．如图，能判定的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，若，，则∠1的度数为（ ）
A．110° B．100° C．80° D．70°
4．三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，直线a与b相交，，______．
7．如图，已知射线平分，点是上一点，且交于点，若，则的度数为______．
三、解答题
8．如图，在△ABC中，，D，E分别是边BC，CA上的点，．
(1)求∠BDE的大小；
(2)交AB于点F，若DF平分∠BDE，求∠A的大小．
相交线与平行线（提升测评）
一、单选题
1．如图，已知ABCD，EB交CD于F，∠DFE＝135°，则∠ABE的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
3．如图，直线a、b被直线c所截，若，，则∠2的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线AB与CD相交于点E，EF平分，．若，则（ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
5．如图，，EF交AB于点E，交CD于点F，EH为的平分线，GH交AB于点G，，，则的度数为（ ）
A．80° B．76° C．75° D．70°
二、填空题
6．如图，ABCD，分别与，交于点，．若，，则______．
7．如图，在中，平分，DEAC，若，，那么__．
三、解答题
8．如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
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