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专题17 三角形基础
【专题目录】
技巧1：三角形三边关系的巧用
技巧2：三角形的三种重要线段
技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【题型】一、三角形的分类
【题型】二、构成三角形三边的条件
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题
【题型】五、与三角形重心有关的计算
【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算
【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算
【考纲要求】
1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．
2、理解三角形内角和定理及推论．
3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．
【考点总结】一、三角形的概念
三 角 形 的 概 念 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形特性 （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形按边分类 ： 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系 （1）三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 （2） 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角
三角形中的重要线段和有关的角 三角形的高概念 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的中线概念 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
三角形的角平分线概念 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的外角和定理 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三线八角 指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
【技巧归纳】
技巧1：三角形三边关系的巧用
【类型】一、判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是(　　)
A．4，4，8 B．5，5，1 C．3，7，9 D．2，5，4
2．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．
【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围
3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(　　)
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm
4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是(　　)
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16 C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
5．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．
【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用
6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为(　　)
A．25 B．25或32 C．32 D．19
7．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．
8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．
【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用
9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
参考答案
1．A　点拨：4＋4＝8，不能摆成三角形．
2．解：可以组成3个三角形，分别为：
(1)8 cm，10 cm，12 cm；(2)4 cm，10 cm，12 cm；(3)4 cm，8 cm，10 cm.
3．B　点拨：设三角形第三边的长为x cm，则5－3＜x＜5＋3，即2＜x＜8.又在2到8之间的整数有3，4，5，6，7，而三角形的周长x＋3＋5＝x＋8应为偶数，所以x也是偶数，即x的值只能是4或6.所以三角形第三边的长是4 cm或6 cm.
4．D　点拨：设第三边的长为x，则2＜x＜8，所以周长l的取值范围是3＋5＋2＜l＜3＋5＋8，即10＜l＜16.
5．4　点拨：设三边长分别为a，a＋1，a＋2，则m＝3a＋3，所以10＜3a＋3＜22，解得＜a＜.所以a的值为3，4，5或6，经验证，都可以组成三角形，即这样的三角形有4个．
6．C
7．10 cm或6 cm　点拨：求出AC的长后要验证是否满足三角形的三边关系．
8．2＜b＜8　点拨：由题意得解得2＜b＜8.
9．解：根据三角形的三边关系，可知
a＋b>c，b＋c>a，
所以|a＋b－c|＋|a－b－c|＝a＋b－c＋b＋c－a＝2b＝10，
所以b＝5.
点拨：因为|x|＝所以涉及绝对值化简的题目，我们需考虑x的符号问题．本题中绝对值符号内的式子都是关于三角形三边的关系式，我们需先运用三角形的三边关系判断每一个式子的正负，再利用绝对值的意义求解．
10．解：因为(b－2)2≥0，|c－3|≥0，且(b－2)2＋|c－3|＝0，所以(b－2)2＝0，|c－3|＝0，解得b＝2，c＝3.
由a为方程|x－4|＝2的解，可知a－4＝2或a－4＝－2，即a＝6或a＝2.
当a＝6时，有2＋3＜6，不能组成三角形，故舍去；
当a＝2时，有2＋2＞3，符合三角形的三边关系．
所以a＝2，b＝2，c＝3.[]
所以△ABC的周长为2＋2＋3＝7.
11．解：如图，将DE向两边延长分别交AB，AC于点M，N，在△AMN中，AM＋AN＞MD＋DE＋NE；①
在△BDM中，MB＋MD＞BD；②
在△CEN中，CN＋NE＞CE；③
①＋②＋③，得AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE，所以AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
技巧2：三角形的三种重要线段
【类型】一、三角形的高
题型1：找三角形的高
1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．
题型2：作三角形的高
2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
题型3：应用三角形的高
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.
(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
(2)求AD∶BE的值．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.
试说明：DE＋DF＝BG.
【类型】二、三角形的中线
题型1：利用中线求长度
5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为(　　)
　　
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为(　　)
A．40　　　　B．46　　　　C．50　　　　D．56
7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．
题型2：利用中线求面积
8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
9．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．
【类型】三、三角形的角平分线
题型1：三角形角平分线定义的直接应用
10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；
(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数
11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
题型3：求三角形两内角平分线的交角度数
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．
参考答案
1．AB；DC
2．解：如图．
3．解：(1)S△ABC＝BC·AD＝×4×4＝8.
因为S△ABC＝AC·BE＝×5×BE＝8，
所以BE＝.
(2)AD∶BE＝4∶＝.
4．解：连接AD，因为S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以AC·BG＝AB·DE＋AC·DF.
又因为AB＝AC，所以BG＝DE＋DF.
点拨：“等面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决．
5．A
6．A　点拨：因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.又因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.
7．解：设AD＝CD＝x cm，则AB＝2x cm，BC＝(21－4x)cm.
依题意，有AB＋AD＝15 cm或AB＋AD＝6 cm，则有2x＋x＝15或2x＋x＝6，
解得x＝5或x＝2.
当x＝5时，三边长为10 cm，10 cm，1 cm；
当x＝2时，三边长为4 cm，4 cm，13 cm，而4＋4＜13，故不成立．
所以这个等腰三角形的三边长为10 cm，10 cm，1 cm.
8．4　点拨：∵AG∶GD＝2∶1，∴AG∶AD＝2∶3，
∴S△ABG＝S△ABD.
又∵S△ABD＝S△ABC，
∴S△ABG＝×S△ABC＝S△ABC，
∴S△BGF＝S△ABG＝S△ABC＝×12＝2.
同理S△CGE＝2，∴图中阴影部分的面积为4.
9．解：(1)a
(2)2a
理由：连接AD，因为S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，所以S△DEC＝2a.
(3)6a
10．解：(1)△ABC和△ADF
(2)因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因为∠1＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°，即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因为∠4＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3＝15°.所以AE是△DAF的角平分线．
11．解：在△ABC中，∠B＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE＝∠BAC＝×100°＝50°.在△ABD中，∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°.又因为AD是高，所以∠BDA＝90°，所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.
点拨：灵活运用三角形内角和为180°，结合三角形的高及角平分线是求有关角的度数的常用方法．
12．解：(1)因为∠A＝60°，
所以∠ABC＋∠ACB＝120°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝60°，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.
(2)因为∠A＝100°，
所以∠ABC＋∠ACB＝80°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝40°，所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.[]
(3)因为∠A＝α°，
所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α°.
因为BE，CD为△ABC的角平分线，
所以∠EBC＋∠DCB＝90°－α°，
所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－＝90°＋α°.
点拨：第(1)问很容易解决，第(2)问是对前一问的一个变式，第(3)问就是类比前面解决问题的方法用含α的代数式表示．
技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【类型】一、直接计算角度
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．
2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．
【类型】二、三角尺或直尺中求角度
3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
　
A．125° B．120° C．140° D．130°
4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．
5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．
【类型】三、与平行线的性质综合求角度
6．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
【类型】四、与截角和折叠综合求角度
7．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于(　　)
A．360° B．250° C．180° D．140°
8．△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．
(1)如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是____________；
(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
参考答案
1．80°　2.60°　3.D　4.15°
5．解：因为∠BCA＝90°，∠DCE＝30°，
所以∠ACF＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－90°－30°＝60°.
因为∠CAF＝∠DCE＝30°，
所以∠F＝180°－∠CAF－∠ACF＝180°－30°－60°＝90°.
6．解：因为AB∥CD，
所以∠CFE＝∠ABE＝60°.
因为∠D＝50°，
所以∠E＝∠CFE－∠D＝60°－50°＝10°.
7．B
8．解：(1)∠BDA′＝2∠A
(2)∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A，
理由：∵在四边形ADA′E中，
∠A＋∠A′＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°，
∴∠A＋∠A′＝360°－∠ADA′－∠A′EA.
∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA，
∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠A′.
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A.
(3)∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.
理由：设DA′交AC于点F，
∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′，
∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′.
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A＝∠A′，
∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A.
【题型讲解】
【题型】一、三角形的分类
例1、已知△ABC中，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据三个内角的比，利用三角形内角和定理可求出最大的角的度数，即可得答案．
【详解】
∵∠A：∠B：∠C=3：4：7，
∴△ABC中最大的角为∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°×=90°，
∴△ABC一定是直角三角形，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键．
【题型】二、构成三角形三边的条件
例2、三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根据三角形的三边关系判断即可.
【详解】6-3=3＜第三边长＜6+3=9,只有6cm满足题意,故选C.
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
例3、如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】先根据平行四边形的对角线互相平分得到OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到AB的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，
4-3∴1结合选项可得，AB的长度可能是6，
故答案为：D．
【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题
例4、如图，在中，，过点C作于点D，已知，，则的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【提示】先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用等面积法即可求出CD的长度．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【题型】五、与三角形重心有关的计算
例5、如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【答案】A
【详解】设EF＝x，DF＝y，根据三角形重心的性质得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
【解答】解：设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴点F为△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②
在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算
例6、如图所示，直线EFGH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）
A．160° B．110° C．100° D．70°
【答案】B
【提示】利用三角形的内角和定理，由AD⊥EF，∠A＝20°可得∠ABD＝70°，由平行线的性质定理可得∠ACH，易得∠ACG．
【详解】解：∵AD⊥EF，∠A＝20°，
∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
∵EF∥GH，
∴∠ACH＝∠ABD＝70°，
∴∠ACG＝180°﹣∠ACH＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
例7、如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【详解】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故选：C．
【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算
例8、如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】
先根据得到，再运用三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴
∵，且，
∴，
故选：C．
三角形基础（达标训练）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，D为BC的延长线上一点，若∠B=70°，∠1=110°，则∠A=（ ）
A．35° B．40° C．55° D．70°
【答案】B
【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．
【详解】解：∵∠B=70°，∠1=110°，∠1是△ABC的外角，
∴∠A=∠1-∠B=40°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用．
2．如图，已知直线AE∥BD，且∠C＝15°，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
【答案】B
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”、“三角形内角和”求解；
【详解】
解：∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
在△AEC中，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，结合图形应用相关性质和定理是解题关键．
3．数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】满足两个条件：①经过点B；②垂直AC，由此即可判断．
【详解】解：根据垂线段的定义可知，A选项中线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段，
故选：A．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（ ）
A．3、4、8 B．4、4、8 C．3、5、6 D．5、6、11
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算，可选出答案．
【详解】解：A、3+4＜7，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、4+4=8，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、3+5＞6，能组成三角形，故此选项符合题意；
D、5+6=11，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
5．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．
【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.
故选A
【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．
二、填空题
6．如图，点B、C、D在同一直线上，AB∥CE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，则∠1为___°．
【答案】60
【分析】首先根据三角形内角和定理求得的度数，然后根据平行线的性质解答．
【详解】解：，，
，
，
．
故答案为：60．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
7．如图，在中，，点E、F分别是边上，且．若，则_________°．
【答案】54°
【分析】根据等腰三角形的性质以及外角知识求出的度数，根据直角三角形中两锐角互补可求答案．
【详解】解：
是的一个外角
在中，
故答案为：54°．
【点睛】本题主要考查了度数的求解，涉及到等腰三角形性质、外角知识以及直角三角形两锐角互补，熟知相关知识是解决本题的关键．
三、解答题
8．如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)25°
(2)23°
【分析】（1）先由平行线的性质求出∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，再根据解平分线的定义求解即可；∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，再根据三角形内角和定理求出
（2）先由平行线的性质求出∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=23°，最后由对顶角性质得解．
（1）
解：∵，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°，
∵平分
∴∠ABE=∠ABC==25°；
（2）
解：∵，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-48°=132°，
∵∠BAD+∠ABE+∠AEB=180°，
又由（1）知：∠ABE=25°，
∴∠AEB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-132°-25°=23°，
∴∠DEF=∠AEB=23°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，对顶角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三角形基础（提升测评）
一、单选题
1．如图，点C，D在直线AB上，，若，则∠BDO的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义及三角形外角的性质求解即可得出结果
【详解】解：∵OC⊥OD，
∴∠O=90°，
∵∠ACO=∠O+∠ODC=120°，
∴∠ODC=30°，
∴∠BDO=150°，
故选：C．
【点睛】题目主要考查垂直的定义及三角形外角的性质、邻补角的计算等，结合图形，找出各角之间的数量关系是解题关键．
2．一把直尺和一块三角板ABC（含45°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，∠CED=25°，则∠BFA的大小为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．125°
【答案】C
【分析】先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=115°，然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数．
【详解】解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+25°=115°，
∵DEAF，
∴∠BFA=∠FDE=115°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
3．如图，BE是的中线，交BE于点F，且，，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】C
【分析】连接，利用直角三角形中线性质，可得,再利用等边对等角性质即可求得答案．
【详解】解：连接，如图所示，
BE是的中线，
点是的中点，
是的中线，
又，
是直角三角形，，
，
又，，
，
，，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形中线性质、等边对等角性质，灵活运用辅助线，根据直角三角形中线性质构造等腰三角形，利用等边对等角性质是解题的关键．
4．如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（ ）
A．17 B．23 C．25 D．28
【答案】A
【分析】根据三角形中线的性质可得，进而根据三角形周长可得，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，BD为AC边上的中线，
∴,
，，的周长为20，
,
的周长为．
故选A
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】如图：过D作DF⊥AB于F,然后根据角平分线的性质可得DF=CD=3,然后再根据中点的定义求得BE的长，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：过D作DF⊥AB于F,
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，
∴DF=CD=3
∵点E为AB的中点， AB＝12
∴BE=AB=6
∴△DBE的面积为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线定理、中点的定义、三角形的高等知识点，作出△DBE的高并运用角平分线定理求出成为解答本题的关键．
二、填空题
6．如图，在 中， 平分 ， ，若 ，则 度数为______．
【答案】##33度
【分析】根据角平分线的性质，如图所示（见详解），构造，由三角形的外角关系，找出 ，在 中，已知 ，由内角和关系，找出 ，由此即可求出答案．
【详解】解：如图所示， 平分 ， ，
∴ ， ，
从 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵，且，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的性质，构造全等三角形，通过外角，找出三角形中各角之间的和差关系，最后用三角形内角和求出所需角的度数，理解和掌握三角形的角平分，全等三角形，外角，内角和是解题的关键．
7．如图，在中，，点D在边上，，如果°，那么___________度．
【答案】26
【分析】根据等腰三角形两个底角相等、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到，，再根据三角形内角和等于建立方程即可得到答案．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质．
三、解答题
8．如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
(1)求证：AE平分；
(2)连接BD，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转性质得到对应边相等，对应角相等，进而根据等边对等角性质可将角度进行等量转化，最后可证得结论；
（2）根据旋转性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理对角度进行等量转化可证得结论．
（1）
证明：由旋转性质可知：，，
平分．
（2）
证明：如图所示：
由旋转性质可知：，，
，，
即，
，，
，
∵在中，，
，
，
即．
【点睛】本题考查了三角形的旋转变化，熟练掌握旋转前后图形的对应边相等，对应角相等以及合理利用三角形内角和定理是解决本题的关键．
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专题17 三角形基础
【专题目录】
技巧1：三角形三边关系的巧用
技巧2：三角形的三种重要线段
技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【题型】一、三角形的分类
【题型】二、构成三角形三边的条件
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题
【题型】五、与三角形重心有关的计算
【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算
【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算
【考纲要求】
1、了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．
2、理解三角形内角和定理及推论．
3、理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．
【考点总结】一、三角形的概念
三 角 形 的 概 念 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形特性 （1）三角形有三条线段 （2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 （3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形按边分类 ： 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系 （1）三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。 （2） 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b
【考点总结】二、三角形中的重要线段和有关的角
三角形中的重要线段和有关的角 三角形的高概念 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
三角形的中线概念 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
三角形的角平分线概念 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的内角和定理 三角形三个内角和等于180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的外角和定理 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三线八角 指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。
【技巧归纳】
技巧1：三角形三边关系的巧用
【类型】一、判断三条线段能否组成三角形
1．下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，不能摆成三角形的一组是(　　)
A．4，4，8 B．5，5，1 C．3，7，9 D．2，5，4
2．有四条线段，长度分别为4 cm，8 cm，10 cm，12 cm，选其中三条组成三角形，试问可以组成多少个三角形？分别写出来．
【类型】二、求三角形第三边的长或取值范围
3．一个三角形的两边长分别为5 cm和3 cm，第三边的长是整数，且周长是偶数，则第三边的长是(　　)
A．2 cm或4 cm B．4 cm或6 cm C．4 cm D．2 cm或6 cm
4．如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是(　　)
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16 C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
5．若三角形的三边长是三个连续的自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有________个．
【类型】三、三角形的三边关系在等腰三角形中的应用
6．等腰三角形的一条边长为6，另一条边长为13，则它的周长为(　　)
A．25 B．25或32 C．32 D．19
7．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8 cm，|AC－BC|＝2 cm，则AC＝________．
8．若等腰三角形的底边长为4，且周长小于20，则它的腰长b的取值范围是____________．
【类型】四、三角形的三边关系在代数中的应用
9．已知三角形三边长分别为a，b，c，且|a＋b－c|＋|a－b－c|＝10，求b的值．
10．已知a，b，c是△ABC的三边长，b，c满足(b－2)2＋|c－3|＝0，且a为方程|x－4|＝2的解，求△ABC的周长．
【类型】五、利用三角形的三边关系说明边的不等关系
11．如图，已知D，E为△ABC内两点，说明：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
技巧2：三角形的三种重要线段
【类型】一、三角形的高
题型1：找三角形的高
1．如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E.△ADE的边DE上的高为________，边AE上的高为________．
题型2：作三角形的高
2．(动手操作题)画出图中△ABC的三条高．(要标明字母，不写画法)
题型3：应用三角形的高
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.
(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
(2)求AD∶BE的值．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G.
试说明：DE＋DF＝BG.
【类型】二、三角形的中线
题型1：利用中线求长度
5．如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为(　　)
　　
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为(　　)
A．40　　　　B．46　　　　C．50　　　　D．56
7．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分，求这个等腰三角形的三边长．
题型2：利用中线求面积
8．图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
9．操作与探索：
在图①～③中，△ABC的面积为a.
(1)如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD＝BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1＝________(用含a的代数式表示)；
(2)如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD＝BC，AE＝CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2＝________(用含a的代数式表示)，请说明理由；
(3)如图③，在图②的基础上延长AB到点F，使BF＝AB，连接FD，FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3＝________(用含a的代数式表示)．
【类型】三、三角形的角平分线
题型1：三角形角平分线定义的直接应用
10．(1)如图，在△ABC中，D，E，F是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE为角平分线的三角形有__________；
(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数，并说明AE是△DAF的角平分线．
题型2：三角形的角平分线与高线相结合求角的度数
11．如图，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．
题型3：求三角形两内角平分线的交角度数
12．如图，在△ABC中，BE，CD分别为其角平分线且交于点O.
(1)当∠A＝60°时，求∠BOC的度数；
(2)当∠A＝100°时，求∠BOC的度数；
(3)当∠A＝α°时，求∠BOC的度数．
技巧3：三角形内角和与外角的几种常见应用类型
【类型】一、直接计算角度
1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．
2．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝________．
【类型】二、三角尺或直尺中求角度
3．把一个直尺与一块三角尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　)
　
A．125° B．120° C．140° D．130°
4．一副三角尺ABC和DEF如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在AC边上，且ED∥BC，则∠CEF的度数为________．
5．一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数．
【类型】三、与平行线的性质综合求角度
6．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数．
【类型】四、与截角和折叠综合求角度
7．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于(　　)
A．360° B．250° C．180° D．140°
8．△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．
(1)如图①，如果沿直线DE折叠，则∠BDA′与∠A的关系是____________；
(2)如果折成图②的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由；
(3)如果折成图③的形状，猜想∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
【题型讲解】
【题型】一、三角形的分类
例1、已知△ABC中，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【题型】二、构成三角形三边的条件
例2、三角形的两边长分别为和，则第三边长可能为（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、确定三角形第三边的取值范围
例3、如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、与三角形高有关的相关计算问题
例4、如图，在中，，过点C作于点D，已知，，则的长是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【题型】五、与三角形重心有关的计算
例5、如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2 B．a2+b2＝4c2 C．a2+b2＝3c2 D．a2+b2＝2c2
【题型】六、与三角形内角和定理的有关的计算
例6、如图所示，直线EFGH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，AD⊥EF于点D，如果∠A＝20°，则∠ACG＝（　　）
A．160° B．110° C．100° D．70°
【题型】七、利用直角三角形两个锐角互余进行相关计算
例7、如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【题型】八、利用三角形外角性质进行相关计算
例8、如图，已知直线和相交于点若，则等于（ ）
A． B． C． D．
三角形基础（达标训练）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，D为BC的延长线上一点，若∠B=70°，∠1=110°，则∠A=（ ）
A．35° B．40° C．55° D．70°
2．如图，已知直线AE∥BD，且∠C＝15°，∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
3．数学课上，同学们在作中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
4．某班级计划在耕读园里搭三角形围栏，可以选择三种长度的木条组合是（ ）
A．3、4、8 B．4、4、8 C．3、5、6 D．5、6、11
5．如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．经过两点有且只有一条直线 D．垂线段最短
二、填空题
6．如图，点B、C、D在同一直线上，AB∥CE，若∠A＝55°，∠ACB＝65°，则∠1为___°．
7．如图，在中，，点E、F分别是边上，且．若，则_________°．
三、解答题
8．如图，在四边形中，，，平分交于点，交的延长线于点．
(1)求的大小；
(2)若，求的大小．
三角形基础（提升测评）
一、单选题
1．如图，点C，D在直线AB上，，若，则∠BDO的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．一把直尺和一块三角板ABC（含45°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A，∠CED=25°，则∠BFA的大小为（ ）
A．105° B．110° C．115° D．125°
3．如图，BE是的中线，交BE于点F，且，，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．如图，在中，BD为AC边上的中线，已知，，的周长为20，则的周长为（ ）
A．17 B．23 C．25 D．28
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（ ）
A．10 B．12 C．9 D．6
二、填空题
6．如图，在 中， 平分 ， ，若 ，则 度数为______．
7．如图，在中，，点D在边上，，如果°，那么___________度．
三、解答题
8．如图，在中，，将绕点A旋转一定的角度得到，且点E恰好落在边BC上．
(1)求证：AE平分；
(2)连接BD，求证：．
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