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专题15 图形的初步认识
【专题目录】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【题型】一、线段的中点
【题型】二、角的计算
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
【题型】四、余角与补角的相关计算
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
【题型】六、邻补角相等求角的度数
【题型】七、平行线的判定
【题型】八、平行线的应用
【题型】九、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义．
2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算．
3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、直线、射线、线段与角
直线射线线段与角 直线公理 经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.
线段 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点. 两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
角 1°=60',1'=60″. 1周角=2平角=4直角=360°. 余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等. 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
角平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线. （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
平行线 （1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. （2）平行线的性质: ① 两条直线平行,同位角相等; ② 两条直线平行,内错角相等; ③ 两条直线平行,同旁内角互补. （3）平行线的判定: ① 同位角相等,两条直线平行; ② 内错角相等,两条直线平行; ③ 同旁内角互补,两条直线平行.
【技巧归纳】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
【类型】一、利用平行线的定义
1．下面的说法中，正确的是(　　)
A．同一平面内不相交的两条线段平行 B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行 D．以上三种说法都不正确
【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”
2．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．
【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”
3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”
4．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”　
5．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.
【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”
6．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
参考答案
1．C　点拨：根据定义判定两直线平行，一定要注意前提条件：“同一平面内”，同时要注意在同一平面内，不相交的两条线段或两条射线不能判定其平行．
2．解：EC∥DF，理由如下：∵∠ABC＝∠ACB，
∠1＝∠2，∴∠3＝∠ECB.
又∵∠3＝∠F，∴∠ECB＝∠F.
∴EC∥DF(同位角相等，两直线平行)．
3．解：因为∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，即∠EBC＝∠FCB，
所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．
4．解：AB∥CD，理由如下：延长BE，交CD于点F，则直线CD，AB被直线BF所截．
因为∠BEC＝95°，所以∠CEF＝180°－95°＝85°.
又因为∠DCE＝35°，
所以∠BFC＝180°－∠DCE－∠CEF＝180°－35°－85°＝60°.
又因为∠ABE＝120°，
所以∠ABE＋∠BFC＝180°.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
点拨：本题利用现有条件无法直接判断AB与CD是否平行，我们可考虑作一条辅助线，架起AB与CD之间的桥梁．
5．解：因为∠B＝∠CDF，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
因为∠E＋∠ECD＝180°，
所以CD∥EF(同旁内角互补，两直线平行)．
所以AB∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)．
6．解：(1)∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行)．
(2)BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴∠ABE＝∠CDE＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2.
即∠MBE＝∠NDE，∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．
点拨：∠1和∠2不是同位角，不能误认为∠1和∠2是同位角，直接得出BM∥DN，要得到BM∥DN，可说明∠MBE＝∠NDE.
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
【类型】一、利用平角、对顶角转换求角
1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．
解：由∠EOC∶∠EOD＝2∶3，
设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°.
因为∠EOC＋∠________＝180°(____________)，
所以2x＋3x＝180，解得x＝36.
所以∠EOC＝72°.
因为OA平分∠EOC(已知)，
所以∠AOC＝∠EOC＝36°.
因为∠BOD＝∠AOC(______________)，
所以∠BOD＝________．
【类型】二、利用垂线求角
2．如图，已知FE⊥AB于点E，CD是过点E的直线，且∠AEC＝120°，则∠DEF＝________°.
3．如图，MO⊥NO于点O，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，则∠GOP的度数为________．
4．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【类型】三、直接利用平行线的性质求角
5．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.试说明：MP⊥PN.
【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角
6．如图，∠1与 ∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是(　　)
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．
参考答案
1．EOD；平角的定义；对顶角相等；36°　2.30
3．54°　点拨：设∠GOP＝x°，则∠MOG＝x°，∠PON＝3x°，由题意得x＋x＋3x＝360－90，解得x＝54.∴∠GOP＝54°.
4．解：(1)∵∠AOC?∠AOD＝7?11，∠AOC＋∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝70°，∠AOD＝110°.
又∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝×70°＝35°.∴∠COE＝180°－∠DOE＝180°－35°＝145°.
(2)∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°.
又∵∠DOE＝35°，∴∠FOD＝90°－∠DOE＝90°－35°＝55°.
∴∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.
5．解：如图，过点P向左侧作PE∥AB，
则∠AMP＋∠MPE＝180°.
∴∠MPE＝180°－∠AMP＝180°－150°＝30°.
∵AB∥CD，PE∥AB，∴PE∥CD，
∴∠EPN＝∠PND＝60°.
∴∠MPN＝∠MPE＋∠EPN＝30°＋60°＝90°，[]
即MP⊥PN.
6．A
7．解：∵∠1＝72°，∠2＝72°，∴∠1＝∠2.
∴a∥b.∴∠3＋∠4＝180°.
又∵∠3＝60°，∴∠4＝120°.
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【类型】一、加截线(连接两点或延长线段相交)
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝(　　)
A．120°　　B．130° C．140° D．150°
【类型】二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
b．“”形图
3．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数．
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
e．“”形图
6．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
【类型】三、平行线间多折点角度问题探究
7．(1)在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？
(2)在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？
参考答案
1．C
2．解：方法一：过点P作射线PN∥AB，如图①.
∵PN∥AB，AB∥CD，∴PN∥CD.∴∠4＝∠2＝28°.
∵PN∥AB，∴∠3＝∠1.
又∵∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°.∴∠1＝30°.
方法二：过点P作射线PM∥AB，如图②.
∵PM∥AB，AB∥CD，∴PM∥CD.
∴∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.
∵∠4＋∠BPC＋∠3＝360°，
∴∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.
∵AB∥PM，∴∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.
3．解：(1)过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，∴∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.
(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：过点C向左作CF∥AB，∴∠B＋∠BCF＝180°.又∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＋∠D＝180°，∴∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.
(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.
4．解：∠BCD＝∠B－∠D.理由如下：如图，过点C作CF∥AB.∵CF∥AB，∴∠B＝∠BCF(两直线平行，内错角相等)．∵AB∥DE，CF∥AB，∴CF∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)．∴∠DCF＝∠D(两直线平行，内错角相等)．∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF，∴∠BCD＝∠B－∠D.
点拨：已知图形中有平行线和折线或拐角时，常过折点或拐点作平行线，构造出同位角、内错角或同旁内角，这样就可利用角之间的关系求解了．
5．解：如图，过点C作CF∥AB.∵AB∥DE，CF∥AB，∴DE∥CF.∴∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.∴∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠BCF＝72°.
6．解：(1)过点E向左侧作EF∥AB，∴∠B＋∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝180°－∠B＝50°，又∵AB∥CD，且EF∥AB，
∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C＝30°，
∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
(2)∠B＋∠BEC－∠C＝180°.理由如下：过点E向左侧作EF∥AB，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC＝∠C，
又∵∠BEF＝∠BEC－∠FEC，∴∠BEF＝∠BEC－∠C.
∵AB∥EF，∴∠B＋∠BEF＝180°，∠B＋∠BEC－∠C＝180°.
7．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：过折点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，如图所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，这样∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.
(2)∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.
【题型讲解】
【题型】一、线段的中点
例1、如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．
【答案】1
【提示】
先根据中点定义求BC的长，再利用线段的差求CD的长．
【详解】
解：∵C为AB的中点，AB＝8cm，
∴BC＝AB＝×8＝4（cm），
∵BD＝3cm，
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1（cm），
则CD的长为1cm；
故答案为：1．
【题型】二、角的计算
例2、如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ）
A．19° B．38° C．42° D．52°
【答案】D
【解析】
试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D．
考点：平行线的性质；余角和补角．
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
例3、如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【提示】
根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°．
故选：D．
【题型】四、余角与补角的相关计算
例4、如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
先根据射线平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】
∵，
∴∠CEF=140°，
∵射线平分，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
例5、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【答案】A
【提示】根据对顶角性质、三角形外角性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：由两直线相交，对顶角相等可知A正确；
由三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和可知
B选项为∠2＞∠3，
C选项为∠1=∠4+∠5，
D选项为∠2＞∠5．
故选：A．
【题型】六、邻补角相等求角的度数
例6、如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】
已知，，根据邻补角定义即可求出的度数．
【详解】
∵
∴
∵
∴
故选：B
【题型】七、平行线的判定
例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】B
【提示】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
【详解】解：
∵由题意a⊥AB，b⊥AB，
∴∠1=∠2
∴a∥b
所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．
【题型】八、平行线的应用
例8、如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：，
平分，
故选．
【题型】九、求平行线间的距离
例9、设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
【答案】7或17．
【提示】
分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．
【详解】
解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．
②当EF在AB，CD同侧时，如图：
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．
图形的初步认识（达标训练）
一、单选题
1．如图所示，下列条件中能说明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行线的判定定理对各选项进行分析即可．
【详解】解：A．当∠1＝∠2时，不能判定a∥b，故选项不符合题意；
B．当∠3＝∠4时，∠3与∠4属于同位角，能判定a∥b，故选项符合题意；
C．当∠2+∠4＝180°时，∠2与∠4属于同旁内角，能判定c∥d，故选项不符合题意；
D．当∠1+∠4＝180°时，不能判定a∥b，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
2．如图，，，则的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可得．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
3．如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠2
【答案】A
【分析】先利用平行线的性质说明∠3、∠1、∠4、∠2间关系，再利用角的和差关系求出∠BCE．
【详解】解：如图，
∵ABCD，CDEF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，
∴∠4＝180°－∠2，
∴∠BCE＝∠4+∠3＝180°﹣∠2＋∠1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”、“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
4．如图，，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行的性质可得∠1=∠BGF，则可求出∠AGF,再根据HG平分∠AGF，即可求出∠2．
【详解】∵，∠1=66°，
∴∠1=∠BGF=66°，
∴∠AGF=180°-∠BGF=180°-66°=114°，
∵HG平分∠AGF，
∴∠2=∠AGF=114°×=57°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质，根据平行线的性质得到∠1=∠BGF是解答本题的关键．
5．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补角的定义，两直线平行内错角相等，计算求值即可；
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDA，
∵∠CDA=180°-∠CDE=180°-140°=40°，
∴∠A=40°，
故选：A．
【点睛】本题考查了相交线和平行线，掌握平行线的性质是解题关键．
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直角三角形的两锐角互余先求出和的度数，再根据平角的定义求出的度数，最后由平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，
，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，平角的定义．关键是根据两直线平行，同位角相等进行解答．
二、填空题
7．如图，直线，则的度数为______．
【答案】30°##30度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴∠1=30°．
故答案为：30°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
8．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝50°，则∠ACD的大小为 _____．
【答案】130°##130度
【分析】延长DC，根据平行线的性质得∠ECF＝∠BAE＝50°，即可得．
【详解】解：如图所示，延长DC，
，
∵AB∥CD，
∴∠ECF＝∠BAE＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ECF＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质“两直线平行，同位角相等”．
三、解答题
9．已知，和中，，．试探究：
(1)如图1，与的关系是______，并说明理由；
(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠B=∠1，∠1 =∠E，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠B+∠1 = 180°，∠1=∠E，即可得出答案；
（3）根据(1) (2)可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
（1）
解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B=∠1，
又∵BC∥EF，
∴∠1=∠E，
∴∠B=∠E；
故答案为：；
（2）
解：，理由如下：
如下图，
∵AB∥DE，
∴∠B+∠1=180°，
又∵BC∥EF，
∴∠E=∠1，
∴∠B+∠E=180°
故答案为：；
（3）
解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
图形的初步认识（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线，等腰直角的两个顶点、分别落在直线、上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：如图标记∠3，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故选：C ．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等，等腰直角三角形的性质．
2．如图，为的外角，平分，EBAC，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，得到，再根据平分，即可得到的度数．
【详解】解：∵EBAC，，
，
又平分，
，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，以及角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
3．如图，，交、于点、，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再由平行线的性质得出结论即可．
【详解】解：，
∴
平分交于点，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，熟练掌握该性质是解决本题的关键．
4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF＝∠GFE＝45°，∠H＝60°，∠EFH＝30°），满足点E在AB上，点F在CD上，AB∥CD，∠AEG＝20°，则∠HFD的大小是（ ）
A．70° B．40° C．35 D．65°
【答案】C
【分析】由角的和差可求解∠AEF的度数，结合平行线的性质可求解∠EFD的度数，利用三角形的内角和定理可求解∠EFH的度数，进而可求解．
【详解】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝20°+45°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝65°，
∵∠EFH＝30°，
∴∠HFD＝65°﹣30°＝35°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，求解∠EFD的度数是解题的关键．
5．如图，已知直线，，，中，，，直线，，交于一点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，互相平行，再运用平行线的性质，得出，再根据平角定义，可得出，结合已知可求出的度数．
【详解】如图，
∵，，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴，
∴
∵
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直定义和平角定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解本题的关键．
二、填空题
6．已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则__________度．
【答案】25
【分析】先利用平行线的性质得出，，最后利用直角三角形的性质即可．
【详解】解：如图，过直角顶点作直线，
，
，
，，
，
，
又，
．
故答案为：25．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，解题的关键是作出辅助线，是一道基础题目．
7．如图所示，，点在上，，垂足为，已知，则的度数为________．
【答案】56°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABE的度数，然后根据角的和差关系求∠ABF度数即可．
【详解】解：∵，
∴∠ABE=∠BED=34°，
∵，即∠EBF=90°，
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=90°-34°=56°．
故答案为：56°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的和差与垂直的定义，解题的关键是根据平行线的性质求出∠ABE的度数．
三、解答题
8．（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．
做法一：
①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；
②以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
③再以为圆心，长为半径作弧，与前弧交于点；
④连接，则．
做法二：
①以为圆心，长为半径作弧；
②以为圆心，长为半径作弧；两弧交于点，连接；则．
请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）
做法一：____________________________________
做法二：____________________________________
（2）如图，中，，请你再加一个条件，使四边形为菱形，并证明．
【答案】（1）做法一：同位角相等，两直线平行 做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）AF=FC，见解析
【分析】（1）利用平行线的判定定理，平行四边形的判定定理即可．
（2）根据平行四边形的性质，菱形的判定定理解答即可．
【详解】（1）做法一：同位角相等，两直线平行．
做法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
（2）添加条件：AF=FC，理由如下：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵DE=BF，
∴EC=AF，AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵ FC=AF，
∴四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握各种判定定理是解题的关键．
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专题15 图形的初步认识
【专题目录】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【题型】一、线段的中点
【题型】二、角的计算
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
【题型】四、余角与补角的相关计算
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
【题型】六、邻补角相等求角的度数
【题型】七、平行线的判定
【题型】八、平行线的应用
【题型】九、求平行线间的距离
【考纲要求】
1、了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点和两点间距离的意义．
2、理解角的有关概念，熟练进行角的运算．
3、掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定.
【考点总结】一、直线、射线、线段与角
直线射线线段与角 直线公理 经过两点有且只有一条直线.直线是向两方无限延伸的,直线没有端点.
射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点,射线向一方无限延伸,射线只有一个端点.
线段 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.线段有两个端点,有长短之分,将某一线段分成两条相等的线段的点叫做该线段的中点. 两点确定一条直线,两点之间线段最短,两点之间线段的长度叫做两点之间的距离.
角 1°=60',1'=60″. 1周角=2平角=4直角=360°. 余角、补角:如果两个角的和等于90°,就说这两个角互为余角,同角或等角的余角相等；如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角,同角或等角补角相等. 对顶角：一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,则称这两个角是对顶角,对顶角相等.
角平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角平分线上.
垂线段公理 直线外一点与已知线段连接的所有线段中，垂线段最短.
线段垂直平分线 （1）线段垂直平分线的定义:垂直平分一条线段的直线叫做线段的垂直平分线. （2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
平行线 （1）过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. （2）平行线的性质: ① 两条直线平行,同位角相等; ② 两条直线平行,内错角相等; ③ 两条直线平行,同旁内角互补. （3）平行线的判定: ① 同位角相等,两条直线平行; ② 内错角相等,两条直线平行; ③ 同旁内角互补,两条直线平行.
【技巧归纳】
技巧1：活用判定两直线平行的六种方法
【类型】一、利用平行线的定义
1．下面的说法中，正确的是(　　)
A．同一平面内不相交的两条线段平行 B．同一平面内不相交的两条射线平行
C．同一平面内不相交的两条直线平行 D．以上三种说法都不正确
【类型】二、利用“同位角相等，两直线平行”
2．如图，已知∠ABC＝∠ACB，∠1＝∠2，∠3＝∠F，试判断EC与DF是否平行，并说明理由．
【类型】三、利用“内错角相等，两直线平行”
3．如图，已知∠ABC＝∠BCD，∠1＝∠2，试说明BE∥CF.
【类型】四、利用“同旁内角互补，两直线平行”
4．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．
【类型】五、利用“平行于同一条直线的两条直线平行”　
5．如图，已知∠B＝∠CDF，∠E＋∠ECD＝180°.试说明AB∥EF.
【类型】六、利用“垂直于同一条直线的两条直线平行(在同一平面内)”
6．如图，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D，∠1＝∠2.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)试问BM与DN是否平行？为什么？
技巧2：与相交线、平行线相关的四类角的计算
【类型】一、利用平角、对顶角转换求角
1．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOC∶∠EOD＝2∶3，求∠BOD的度数．
解：由∠EOC∶∠EOD＝2∶3，
设∠EOC＝2x°，则∠EOD＝3x°.
因为∠EOC＋∠________＝180°(____________)，
所以2x＋3x＝180，解得x＝36.
所以∠EOC＝72°.
因为OA平分∠EOC(已知)，
所以∠AOC＝∠EOC＝36°.
因为∠BOD＝∠AOC(______________)，
所以∠BOD＝________．
【类型】二、利用垂线求角
2．如图，已知FE⊥AB于点E，CD是过点E的直线，且∠AEC＝120°，则∠DEF＝________°.
3．如图，MO⊥NO于点O，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，则∠GOP的度数为________．
4．如图，两直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.
(1)求∠COE的度数；
(2)若OF⊥OE，求∠COF的度数．
【类型】三、直接利用平行线的性质求角
5．如图，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.试说明：MP⊥PN.
【类型】四、综合应用平行线的性质与判定求角
6．如图，∠1与 ∠2互补，∠3＝135°，则∠4的度数是(　　)
A．45° B．55° C．65° D．75°
7．如图，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．
技巧3：应用平行线的判定和性质的几种常用作辅助线的方法
【类型】一、加截线(连接两点或延长线段相交)
1．如图，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，则∠ACD＝(　　)
A．120°　　B．130° C．140° D．150°
【类型】二、过“拐点”作平行线
a．“”形图
2．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数．
b．“”形图
3．(1)如图①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度数．
(2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由．
(3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
c．“”形图
4．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？
d．“”形图
5．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度数．
e．“”形图
6．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求∠BEC的度数；
(2)如图，AB∥CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
【类型】三、平行线间多折点角度问题探究
7．(1)在图①中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？
(2)在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？
【题型讲解】
【题型】一、线段的中点
例1、如图，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为_____cm．
【题型】二、角的计算
例2、如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ）
A．19° B．38° C．42° D．52°
【题型】三、与角平分线有关的相关计算
例3、如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（　　）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【题型】四、余角与补角的相关计算
例4、如图，是直线上一点，，射线平分，．则（ ）
A． B． C． D．
【题型】五、对顶角相等进行相关计算
例5、如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1＞∠4+∠5 D．∠2＜∠5
【题型】六、邻补角相等求角的度数
例6、如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型】七、平行线的判定
例7、如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（ ）
A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【题型】八、平行线的应用
例8、如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【题型】九、求平行线间的距离
例9、设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于_____cm．
图形的初步认识（达标训练）
一、单选题
1．如图所示，下列条件中能说明的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，，则的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
3．如图，若ABCD，CDEF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°－∠2＋∠1 B．180°－∠1－∠2
C．∠2＝2∠1 D．∠1＋∠2
4．如图，，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，直线，则的度数为______．
8．如图，AB∥CD，点E在CA的延长线上．若∠BAE＝50°，则∠ACD的大小为 _____．
三、解答题
9．已知，和中，，．试探究：
(1)如图1，与的关系是______，并说明理由；
(2)如图2，写出与的关系，并说明理由；
(3)根据上述探究，请归纳得到一个真命题．
图形的初步认识（提升测评）
一、单选题
1．如图，直线，等腰直角的两个顶点、分别落在直线、上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为的外角，平分，EBAC，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，，交、于点、，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．将一副直角三角尺按如图所示放置（其中∠GEF＝∠GFE＝45°，∠H＝60°，∠EFH＝30°），满足点E在AB上，点F在CD上，AB∥CD，∠AEG＝20°，则∠HFD的大小是（ ）
A．70° B．40° C．35 D．65°
5．如图，已知直线，，，中，，，直线，，交于一点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．已知，一个含有角的三角尺按照如图所示的位置摆放，若，则__________度．
7．如图所示，，点在上，，垂足为，已知，则的度数为________．
三、解答题
8．（1）课题研究：“尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线”．
做法一：
①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；
②以为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；
③再以为圆心，长为半径作弧，与前弧交于点；
④连接，则．
做法二：
①以为圆心，长为半径作弧；
②以为圆心，长为半径作弧；两弧交于点，连接；则．
请根据以上作法，写出这两种方法用到的数学定理或基本事实：（各写出一个即可）
做法一：____________________________________
做法二：____________________________________
（2）如图，中，，请你再加一个条件，使四边形为菱形，并证明．
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