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专题24 特殊四边形
【专题目录】
技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题
技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题
【题型】一、矩形的性质
【题型】二、证明四边形是矩形
【题型】三、矩形性质与判定的综合
【题型】四、探索正方形的性质
【题型】五、证明四边形是正方形
【题型】六、探索菱形的性质
【题型】七、证明四边形是菱形
【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题
【考纲要求】
1、掌握平行四边形与矩形、菱形的关系．
2、掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．
3、灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.
【考点总结】一、矩形
矩形 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质 1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° 3）对角线相等； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 推论： 1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
矩形的判定 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形。
【考点总结】二、正方形
正方形 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质 1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
正方形的判定 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线
【考点总结】三、菱形
菱形 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质 菱形具有平行四边形的所有性质； 2、菱形的四条边都相等； 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD 3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC 3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
菱形的判定 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边相等的四边形是菱形。 3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝
【技巧归纳】
技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题
【类型】一、利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．
【类型】二、利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
2．图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等．
(1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长．
(2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程．
【类型】三、利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系
3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE.
求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.
【类型】四、利用矩形的性质巧求折叠中线段的比
4．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3?1，求的值．
技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题
【类型】一、平行四边形中的动点问题
1．如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．
【类型】二、菱形中的动点问题
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
【类型】三、矩形中的动点问题
3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【类型】四、正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
【题型讲解】
【题型】一、矩形的性质
例1、如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是　　
A． B． C． D．
【题型】二、证明四边形是矩形
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【题型】三、矩形性质与判定的综合
例3、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
【题型】四、探索正方形的性质
例4、如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【题型】五、证明四边形是正方形
例5、已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【题型】六、探索菱形的性质
例6、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【题型】七、证明四边形是菱形
例7、如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题
例8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
特殊四边形（达标训练）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，，，则菱形的周长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若∠DEF＝70°，则∠1的度数是（　　）
A．70° B．55° C．40° D．35°
4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，在中，，按以下步骤作图：
（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；
（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连接AG并延长交BC于点F．若AB＝5，BE＝6，则AF的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
6．如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为______．
7．如图，在中，，，．点F为射线CB上一动点，过点C作于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是______
三、解答题
8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应
(1)求证：．
(2)若，求的值．
特殊四边形（提升测评）
一、单选题
1．菱形不具备的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．对角线平分内角 D．是中心对称图形
2．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．24
3．如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是（ ）
A． B． C． D．
4．菱形两条对角线的长分别为和，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为_____
7．如图，在菱形ABCD中，已知BD＝8，AC＝6，则菱形ABCD的边长为______．
三、解答题
8．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．
9．已知：如图，在□中，点、分别在、上，且平分，//．求证：四边形是菱形．
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专题24 特殊四边形
【专题目录】
技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题
技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题
【题型】一、矩形的性质
【题型】二、证明四边形是矩形
【题型】三、矩形性质与判定的综合
【题型】四、探索正方形的性质
【题型】五、证明四边形是正方形
【题型】六、探索菱形的性质
【题型】七、证明四边形是菱形
【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题
【考纲要求】
1、掌握平行四边形与矩形、菱形的关系．
2、掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．
3、灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.
【考点总结】一、矩形
矩形 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质 1）矩形具有平行四边形的所有性质； 2）矩形的四个角都是直角；
几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° 3）对角线相等； 几何描述：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 推论： 1、在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。 2、直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。 4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。
矩形的判定 1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形； 3）有三个角是直角的四边形是矩形。
【考点总结】二、正方形
正方形 正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质 1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。 2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形对边平行且相等。 4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
正方形的判定 1）有一个角是直角的菱形是正方形； 2）对角线相等的菱形是正方形； 3）一组邻边相等的矩形是正方形； 4）对角线互相垂直的矩形是正方形； 5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线
【考点总结】三、菱形
菱形 菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质 菱形具有平行四边形的所有性质； 2、菱形的四条边都相等； 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=AD 3、菱形的两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 几何描述：∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD,AC平分∠BAD, CA平分∠BCD，BD平分∠CBA，DB平分∠ADC 3、菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
菱形的判定 1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边相等的四边形是菱形。 3、一组邻边相等的平行四边形是菱形。 菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝
【技巧归纳】
技巧1：利用矩形的性质巧解折叠问题
【类型】一、利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片展平后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．
【类型】二、利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
2．图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴．今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等．
(1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长．
(2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程．
【类型】三、利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系
3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE.
求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.
【类型】四、利用矩形的性质巧求折叠中线段的比
4．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3?1，求的值．
参考答案
1．解：设折叠后，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，如图，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF，
∠BEA＝∠AEB′，
∠B＝∠AB′E，BE＝B′E，AE＝EA′.
∵∠BAB′＝∠ABE＝90°，
∴∠BEB′＝90°.
∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.
又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，
∴∠FEA′＝67.5°.
∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.
2．解：(1)分别延长HI与FE，相交于点N，如图．
∵HN＝AD＝13，NF＝AB＝11，HI＝EF＝x，
∴NI＝HN－HI＝13－x，NE＝NF－EF＝11－x.
∴剪下的直角三角形的勾长为11－x，股长为13－x.[]
(2)在Rt△ENI中，NI＝13－x，NE＝11－x，
∴EI＝＝.
∵八边形的每一边长恰好均相等，
∴EI＝2HI＝2x＝，
整理得：x2＋24x－145＝0，
(x－5)(x＋29)＝0，
解得：x＝5，或x＝－29(舍去)．[]
∴EI＝2×5＝10.
故八边形的边长为10.
3．证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD＝∠CBD.因为在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD.
所以∠FBD＝∠FDB.所以BF＝DF.
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝DC，AD＝BC.由折叠的性质可知，DC＝ED＝AB，BC＝BE＝AD.
又因为AE＝AE，所以△AEB≌△EAD.所以∠AEB＝∠EAD.
所以∠AEB＝(180°－∠AFE)．
由(1)知∠DBE＝∠BDF，
所以∠DBE＝(180°－∠BFD)．
而∠AFE＝∠BFD，
所以∠AEB＝∠DBE.
所以AE∥BD.　
4．(1)证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称，∴∠ANM＝∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM＝∠CMN.
∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN.
(2)解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC.∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，
∴＝＝＝3.
∴MC＝3DN＝3HC.
∴MH＝2HC.设DN＝x，
则HC＝x，MH＝2x.∴CM＝3x＝CN.
在Rt△CDN中，DC＝＝2x，
∴NH＝2x.在Rt△MNH中，MN＝＝2x.
∴＝＝2.
技巧2：利用特殊四边形的性质巧解动点问题
【类型】一、平行四边形中的动点问题
1．如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．
【类型】二、菱形中的动点问题
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
【类型】三、矩形中的动点问题
3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图①，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【类型】四、正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
参考答案
1．解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF.
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，
∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.
2．证明：(1)连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，
∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.
(2)连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
3．解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC.
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．
设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，
∴AF＝5 cm.
(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，则PC＝QA.
∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，
∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.
∴5t＝12－4t，解得t＝.
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝.
4．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.　
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2＋∠3＝90°.∴∠HEF＝90°.
∵四边形EFGH为菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG.设EG与BD交于O点．
∵BE DG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．
【题型讲解】
【题型】一、矩形的性质
例1、如图，矩形ABCD中，，，且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】如图，过点D作，垂足为G，则，首先证明≌，由全等三角形的性质可得到，设，则，在中依据勾股定理列方程求解即可．
【详解】如图所示：过点D作，垂足为G，则，
，，，
≌，
，
设，则，
在中，，，解得：，
故选C．
【题型】二、证明四边形是矩形
例2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【提示】
（1）首先根据平行线的性质得到∠AFE=∠DBE，再根据线段中点的定义得到AE=DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=90°，于是得到结论．
【详解】
（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEB，
∴（AAS）；
（2）证明：∵，
∴AF=BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，
∴，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCF为矩形．
【题型】三、矩形性质与判定的综合
例3、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根据S△ABE=S矩形ABCD=3= AE BF，先求出AE，再求出BF即可．
【详解】如图，连接BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，
在Rt△ADE中，AE===，
∵S△ABE=S矩形ABCD=3= AE BF，
∴BF=．
故选B．
【题型】四、探索正方形的性质
例4、如图，四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是，，点C在第一象限，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】利用O，D两点的坐标，求出OD的长度，利用正方形的性质求出ＯB，BC的长度，进而得出C点的坐标即可．
【详解】解：∵O，D两点的坐标分别是，，
∴OD＝6，
∵四边形是正方形，
∴OB⊥BC，OB=BC=6
∴C点的坐标为：，
故选：D．
【题型】五、证明四边形是正方形
例5、已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【提示】
（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE=∠CBD，易得∠CDB=∠CBD，可得BC=CD，易得AD=BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD=CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE=BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE=∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE=180× =45°，易得∠ABE=45°，可得∠ABC=90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
【详解】
（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBD，
∴∠CDE=∠CBD，
∴BC=CD，
∵AD=CD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE=2：3，
∴∠CBE=180× =45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【题型】六、探索菱形的性质
例6、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【提示】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】解：记AC与BD的交点为，
菱形,
菱形的面积
菱形的面积
故选D．
【题型】七、证明四边形是菱形
例7、如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A．3.5 B．4 C．7 D．14
【答案】A
【分析】
首先根据菱形的性质求出边长并得出，然后利用三角形中位线的性质即可求出答案．
【详解】
∵菱形的周长为28，
∴，，
∵为边中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和三角形中位线定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
【题型】八、直角三角形斜边中线计算问题
例8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【提示】利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=CD．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10．
又∵CD为中线，
∴CD＝AB＝5．
∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
故选：B．
特殊四边形（达标训练）
一、单选题
1．如图，四边形ABCD为菱形，O为对角线AC的中点，，，则菱形的周长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】如图所示，连接BD，利用菱形的性质得到AC⊥BD，然后解直角△OAB求出AB的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，
∴AB=BC=CD=AD，O为BD中点，且AC⊥BD，
∵∠BAC=30°，
∴，
∴菱形的周长为AB+BC+CD+AD=8，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟知菱形的性质是解题的关键．
2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OE，根据菱形的性质可得OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，再由勾股定理可得AD=13，再根据E是边AD的中点，可得OE=6.5，再证得四边形EFOG为矩形，即可求解．
【详解】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，
∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD= =13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE= AD= ×13=6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO=∠EGO=∠GOF=90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG=OE=6.5．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
3．如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若∠DEF＝70°，则∠1的度数是（　　）
A．70° B．55° C．40° D．35°
【答案】C
【分析】根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质以及平角的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵∠DEF＝70°，
∴，
∵折叠的性质，
∴∠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，平行线的性质，掌握折叠的性质与平行线的性质是解题的关键．
4．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，垂直平分，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得出，，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形的性质，线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，根据矩形的性质得出，是解题的关键．
5．如图，在中，，按以下步骤作图：
（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；
（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连接AG并延长交BC于点F．若AB＝5，BE＝6，则AF的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】设AF交BE于H，证明四边形AEFB是菱形，利用勾股定理求出AH即可．
【详解】解：设AF交BE于H，
由题意得AB=AE，AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴BF=AE，
∵AE∠BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴AB=EF，
∴AB=AE=EF=BF，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AH=FH，BH=HE=3，AF⊥BE，
∴AH=，
∴AF=2AH=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线的作图，菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，正确理解角平分线的作图是解题的关键．
二、填空题
6．如图，在边长为的正方形中，点、分别是边、上的动点．且，连接、，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接AE，利用转化线段BF得到,则通过作点A关于BC的对称点H，连接DH交BC于点E，利用勾股定理求出DH的长即可．
【详解】解：连接，如图，
四边形是正方形，
，，又，
≌．
．
所以最小值等于最小值．
作点关于的对称点点，如图，
连接，则A、B、三点共线，
连接，与的交点即为所求的点．
根据对称性可知，
所以．
在中，，
最小值为．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、最短距离问题，一般求两条线段最短距离问题，都转化为一条线段．
7．如图，在中，，，．点F为射线CB上一动点，过点C作于M，交AB于E，D是AB的中点，则DM长度的最小值是______
【答案】1
【分析】取AC的中点T，连接DT、MT，利用三角形的中位线定理求出DT的值，再由直角三角形斜边上中线的性质求出MT，并确定点M的运动轨迹，然后由即可获得结论．
【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT、MT，
∵D是AB的中点，T是AC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点F为射线CB上一动点， ，即，
∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆，
∴，
∴DM的最小值为1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系、三角形中位线定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识，解题关键是正确作出辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边上的中线解决问题．
三、解答题
8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应
(1)求证：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由相似可得，再由矩形的性质得，从而可求得，则有，即可求得的度数；
（2）结合（1）可求得，再由相似的性质求得，即可求的值．
（1）
∽，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（2）
由（1）得，
，
，
∽，
，
即，
，
由（1）得：，
则，
在中，．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得．
特殊四边形（提升测评）
一、单选题
1．菱形不具备的性质是（　　）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．对角线平分内角 D．是中心对称图形
【答案】B
【分析】根据菱形的性质逐一判断即可．
【详解】解：A、菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
C、菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意；
D、菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（ ）
A．8 B．15 C．16 D．24
【答案】B
【分析】根据矩形的性质得到AO=CO，∠AOE=∠COF,根据平行线的性质得出∠EAO=∠FCO,根据ASA推出△AEO≌△CFO，由全等得到OE=OF，推出四边形是平行四边形，再根据EF⊥AC即可推出四边形是菱形，根据垂直平分线的性质得出AF=CF，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】连接AF，CE，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
,
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴AE=CE，
设AE=CE=x，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE=x，DE=16-x，
在Rt△CDE中，,
，
解得，
∴AE=,
∵,
∴=10,
∴,
∴EF=2OE=15,
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证得四边形AECF是菱形是解题的关键．
3．如图，在菱形ABCD中，下列式子可以求出在菱形ABCD面积的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据菱形的性质求解即可判断．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是AE BC，选项A错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AF⊥CD，
∴菱形ABCD面积的是AF CD，选项B不正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形的对角线，
∴菱形ABCD面积的是AC BD，选项C错误，不符合题意；
∵四边形ABCD是菱形，DG⊥BC，
∴菱形ABCD面积的是DG BC，选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质“菱形对角线相互垂直”是解题的关键．
4．菱形两条对角线的长分别为和，则该菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得到对角线一半的长度，再根据勾股定理即可求出边长．
【详解】因为菱形的对角线互相垂直平分，且两条对角线长分别为2、4，
所以对角线的一半分另为1、2，
边长=，
故选 ：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
5．如图，将矩形沿对角线折叠，使点落在处，交于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用互余计算出，再根据平行线的性质得，接着根据折叠的性质得，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵矩形沿对角线折叠，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的变换—折叠，考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质等知识．理解和掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
6．如图，将一张正方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D'落在∠BAC的内部，若∠CAD'=33°，则∠CAE的度数为_____
【答案】6°##6度
【分析】设∠CAE=α，根据折叠的性质列式α+33°+α=45°，解之可得答案．
【详解】解：设∠CAE=α，
根据折叠的性质知∠DAE=∠D'AE=∠CAE+∠D'AC=α+33°，
∵四边形ABCD是正方形，AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAD=45°，即∠DAE+∠CAE=α+33°+α=45°，
解得：α=6°，
∴∠CAE的度数为6°，
故答案为：6°．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
7．如图，在菱形ABCD中，已知BD＝8，AC＝6，则菱形ABCD的边长为______．
【答案】5
【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：，
∴菱形ABCD的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．
三、解答题
8．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴（SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
9．已知：如图，在□中，点、分别在、上，且平分，//．求证：四边形是菱形．
【答案】见详解
【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得AB＝AE，可得结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBF，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∴平行四边形ABFE是菱形．
【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质等知识，证明AB＝AE是解题的关键．
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