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专题22 相似三角形
【专题目录】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【题型】一、相似图形的概念和性质
【题型】二、平行线分线段成比例定理
【题型】三、相似三角形的判定
【题型】四、相似三角形的性质
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
【题型】六、位似图形的概念与性质
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
【考纲要求】
1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．
2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．
3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【考点总结】一、相似图形及比例线段
解直角三角形的应用 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例线段的性质 (1)基本性质：＝ad＝bc； (2)合比性质：＝＝； (3)等比性质： 若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
【考点总结】二、相似三角形
相似三角形 定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
【技巧归纳】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．
【类型】一、平行线型
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
【类型】二、相交线型
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
【类型】三、子母型
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：＝.
【类型】四、旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)＝.
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP?PQ?QD.
【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF?AF＝3?2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求的值．
【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：＝.
【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【类型】一、构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
求证：AB·DF＝BC·EF.
【类型】二、三点定型法
3．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：＝.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
【类型】三、构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【类型】四、等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
【类型】五、两次相似法
8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：＝.
9．如图，在 ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；
(2)＝.
【类型】六、等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：＝.
【类型】七、等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
【题型讲解】
【题型】一、相似图形的概念和性质
例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【题型】二、平行线分线段成比例定理
例2、如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【题型】三、相似三角形的判定
例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【题型】四、相似三角形的性质
例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于(　 　)
A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m
【题型】六、位似图形的概念与性质
例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
相似三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，已知，，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（ ）
A．： B．： C．： D．；
二、填空题
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
7．如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）
三、解答题
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE=4，求BC的长．
相似三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，在平面直角坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，D是的边上的一点，过点D作的平行线交于点E，连接，过点D作的平行线交于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m．
6．如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．
三、解答题
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应
(1)求证：．
(2)若，求的值．
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专题22 相似三角形
【专题目录】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【题型】一、相似图形的概念和性质
【题型】二、平行线分线段成比例定理
【题型】三、相似三角形的判定
【题型】四、相似三角形的性质
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
【题型】六、位似图形的概念与性质
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
【考纲要求】
1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．
2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．
3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【考点总结】一、相似图形及比例线段
解直角三角形的应用 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形 若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。 特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义 在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例线段的性质 (1)基本性质：＝ad＝bc； (2)合比性质：＝＝； (3)等比性质： 若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
【考点总结】二、相似三角形
相似三角形 定义 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
【技巧归纳】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．
【类型】一、平行线型
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
【类型】二、相交线型
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且＝，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
【类型】三、子母型
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：＝.
【类型】四、旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)＝.
参考答案
1．(1)证明：∵ED∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC.
又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.
∵ED∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DE＝BD.∴＝.
即AE·BC＝BD·AC.
(2)解：设h△ADE表示△ADE中DE边上的高，
h△BDE表示△BDE中DE边上的高，
h△ABC表示△ABC中BC边上的高．
∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，
∴＝＝＝.[]
∴＝.
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝.
∵DE＝6，∴BC＝10.
2．解：相似．理由如下：因为＝，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB.所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO.因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO，∠ABC＝∠EBO＋∠CBO，所以∠ADE＝∠ABC.又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC.
3．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°.
又∵∠CBA＝∠ABD(公共角)，
∴△ABC∽△DBA.
∴＝，∠BAD＝∠C.
∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，
∴DE＝EC.
∴∠BDF＝∠CDE＝∠C.
∴∠BDF＝∠BAD.
又∵∠F＝∠F，
∴△DBF∽△ADF.
∴＝.∴＝.
　(第3题)
点拨：当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥”，称为“等比替换法”，有时还可用“等积替换法”，例如：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AE·AB＝AF·AC.可由两组“射影图”得AE·AB＝AD2，AF·AC＝AD2，∴AE·AB＝AF·AC.
4．证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠BAC.
又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，∴＝.
∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC.∴＝.
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP?PQ?QD.
【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF?AF＝3?2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求的值．
【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：＝.
【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.
参考答案
1．解：如图，连接DF，∵E，F是边BC上的两个三等分点，
∴BE＝EF＝FC.
∵D是AC的中点，∴AD＝CD.
∴DF是△ACE的中位线．
∴DF∥AE，且DF＝AE.
∴DF∥PE.
∴∠BEP＝∠BFD.
又∵∠EBP为公共角，
∴△BEP∽△BFD.∴＝.
∵BF＝2BE，∴BD＝2BP.∴BP＝PD.∴DF＝2PE.
∵DF∥AE，
∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ.
∴△APQ∽△FDQ.∴＝.
设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a.
∴PQ?QD＝AP?DF＝3?2.
∴BP?PQ?QD＝5?3?2.
　　
2．解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.
∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.
又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.[]
在△ADF和△GDC中，
∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.
∵BF?AF＝3?2，∴AB?AF＝5?2.
∵AB∥CG，∴∠CGE＝∠BAE，∠BCE＝∠ABE.
∴△ABE∽△GCE.
∴＝＝＝.
3．证明：如图，过点C作CF∥AB交DP于点F，
∴∠PFC＝∠PDB，∠PCF＝∠PBD.
∴△PCF∽△PBD.∴＝.
∵AD∥CF，∴∠ADE＝∠EFC.
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED.
∵∠AED＝∠CEP，∴∠EFC＝∠CEP.∴EC＝CF.
∴＝.
4．证明：(方法一)如图①，过点C作CF∥AB，交DE于点F，
(第4题①)
∴∠FCD＝∠B.
又∵∠D为公共角，
∴△CDF∽△BDE.
∴＝.
∵点M为AC边的中点，
∴AM＝CM.
∵CF∥AB，
∴∠A＝∠MCF.
又∵∠AME＝∠CMF，
∴△AME≌△CMF.
∴AE＝CF.
∵AE＝AB，BE＝AB－AE，
∴BE＝3AE.∴＝.
∵＝，
∴＝＝，即BD＝3CD.
又∵BD＝BC＋CD，
∴BC＝2CD.
(第4题②)
(方法二)如图②，过点C作CF∥DE，交AB于点F，
∴＝.
又∵点M为AC边的中点，
∴AC＝2AM.
∴2AE＝AF.∴AE＝EF.
又∵＝，∴＝2.
又∵CF∥DE，∴＝＝2.
∴BC＝2CD.
(第4题③)
(方法三)如图③，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∴∠AEF＝∠B.　
又∵∠A为公共角，
∴△AEF∽△ABC.
∴＝＝.
由AE＝AB，知
＝＝＝，
∴EF＝BC，AF＝AC.
由EF∥CD，易证得△EFM∽△DCM，
∴＝.
又∵AM＝MC，∴MF＝MC，
∴EF＝CD.
∴BC＝2CD.
(第4题④)
(方法四)如图④，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于点F，
∴∠F＝∠D，∠FAE＝∠B.
∴△AEF∽△BED.
∴＝.
∵AE＝AB，
∴AE＝BE.∴AF＝BD.
由AF∥CD，易证得△AFM∽△CDM.
又∵AM＝MC，∴AF＝CD.
∴CD＝BD.∴BC＝2CD.
点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【类型】一、构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
求证：AB·DF＝BC·EF.
【类型】二、三点定型法
3．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：＝.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
【类型】三、构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【类型】四、等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
【类型】五、两次相似法
8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：＝.
9．如图，在 ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；
(2)＝.
【类型】六、等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：＝.
【类型】七、等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
参考答案
1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.
∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB.∴△CMF∽△BDF.
∴＝.
又∵CM∥AD，
∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.
∴△ADE∽△CME.∴＝.
∵D为AB的中点，∴BD＝AD.
∴＝.∴＝.
即AE·CF＝BF·EC.
2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，
易知△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC.
∴＝，＝.
∵AD＝CE，∴＝.∴＝.
即AB·DF＝BC·EF.
点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥DC，∠A＝∠C.
∴∠CDF＝∠E.
∴△FCD∽△DAE.∴＝.
4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.
∴∠BAM＝∠D.即∠EAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.
∴△AME∽△DMA.
∴＝.即AM2＝MD·ME.
5．证明：如图，连接PM，PN.
∵MN是AP的垂直平分线，
∴MA＝MP，
NA＝NP.
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.
∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°，
∴∠5＝∠7.∴△BPM∽△CNP.
∴＝.即BP·CP＝BM·CN.
6．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵DE∥BC，
∴∠ABC＋∠EDB＝180°，∠ACB＋∠FED＝180°.∴∠FED＝∠EDB.
又∵∠EDF＝∠DBE，
∴△DEF∽△BDE.
(2)由△DEF∽△BDE得＝.即DE2＝DB·EF.又由△DEF∽△BDE，得∠GED＝∠EFD.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF.
∴＝.即DE2＝DG·DF.
∴DG·DF＝DB·EF.
7．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，
∴∠AEP＝∠DEB＝∠AGB＝90°.
∴∠P＋∠PAB＝90°，
∠PAB＋∠ABG＝90°.
∴∠P＝∠ABG.∴△AEP∽△DEB.
∴＝.即AE·BE＝PE·DE.
又∵∠CEA＝∠BEC＝90°，
∴∠CAB＋∠ACE＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠CBE＝90°.
∴∠ACE＝∠CBE.∴△AEC∽△CEB.
∴＝.即CE2＝AE·BE.
∴CE2＝DE·PE.
8．证明：由题意得∠BDF＝∠BAE＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABE.
∴△BDF∽△BAE.∴＝.
∵∠BAC＝∠BDA＝90°，
∠ABC＝∠DBA.
∴△ABC∽△DBA.∴＝.
∴＝.
9．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D.
∵AM⊥BC，AN⊥CD，
∴∠AMB＝∠AND＝90°.
∴△AMB∽△AND.
(2)由△AMB∽△AND得＝，∠BAM＝∠DAN.
又AD＝BC，∴＝.
∵AM⊥BC，AD∥BC，
∴∠MAD＝∠AMB＝90°.
∴∠B＋∠BAM＝∠MAN＋∠NAD＝90°.∴∠B＝∠MAN.
∴△AMN∽△BAC.∴＝.
10．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AED＝90°.
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ABD∽△ADE.
∴＝.即AD2＝AE·AB.
同理可得AD2＝AF·AC.
∴AE·AB＝AF·AC.∴＝.
11．证明：连接PC，如图所示．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.
∴BP＝CP.∴∠1＝∠2
∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，
即∠3＝∠4.
∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.
又∵∠CPF＝∠CPE，
∴△CPF∽△EPC.
∴＝，即CP2＝PF·PE.
∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF.
12．证明：如图，连接PA，
∵EP是AD的垂直平分线，
∴PA＝PD.
∴∠PDA＝∠PAD.
∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BPA，
∴△PAC∽△PBA.∴＝.
即PA2＝PB·PC.
∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.
【题型讲解】
【题型】一、相似图形的概念和性质
例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
【详解】
解：∵DE//AB，∴
∴的值为．故答案为A．
【题型】二、平行线分线段成比例定理
例2、如图，在中，，，，，则的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【提示】根据平行线分线段成比例定理，由DE∥BC得，然后利用比例性质求EC和AE的值即可
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∴．
故选C．
【题型】三、相似三角形的判定
例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】利用相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC，
A、若，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；
B、若，且∠DAE=∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项B符合题意；
C、若∠B=∠D，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；
D、若∠C=∠AED，且∠DAE=∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意；
故选：B．
【题型】四、相似三角形的性质
例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（　 　）
A．30 B．25 C．22．5 D．20
【答案】D
【提示】
首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．
【详解】
解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20
故本题选择D
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于(　 　)
A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m
【答案】A
【解析】
∵∠ABE=∠DCE, ∠AEB=∠CED,
∴△ABE∽△DCE,
∴.
∵BE=90m，EC=45m，CD=60m，
∴
故选A.
【物高问题】
【题型】六、位似图形的概念与性质
例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
【答案】C
【提示】
根据位似图形的性质即可得出答案．
【详解】
由位似变换的性质可知，
△ABC与△DEF的相似比为：1∶2
△ABC与△DEF的面积比为：1∶4
故选C．
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）
A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm
【答案】A
【提示】
根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.
【详解】
解：设投影三角尺的对应边长为xcm,
∵三角尺与投影三角尺相似,
∴8：x＝2：5,
解得x＝20.
故选:A.
相似三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，已知，，则与的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质及相似三角形的判定定理可得：，相似三角形的对应边成比例，且周长比等于相似比，据此即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴，
即与的周长比为1：3．
故选：D．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及其性质是解题关键．
2．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】利用相似三角形的判定方法可得∽，∽，∽，可求解．
【详解】解：，，
∽，
，
又，
∽，
，，
∽，
故选C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】容易证明两个三角形相似，求出相似比，相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【详解】解：由题意得DE为△ABC的中位线，那么DE∥BC，DE：BC=1：2．
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的周长之比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积之比为1：4，即．
故选：B．
【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解决此题关键．
4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由相似三角形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：，，∽，故选项A不符合题意；
，，∽，故选项B不符合题意；
，但无法确定与是否相等，所以无法判定两三角形相似，故选项C符合题意；
即，，∽，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
5．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（ ）
A．： B．： C．： D．；
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质：对应角平分线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
【详解】∽，和是它们的对应角平分线，，，
两三角形的相似比为： ，
则与的面积比是：：．
故选：
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
二、填空题
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
【答案】5
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
【详解】∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴，，
又∵，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
∵BE＝1.5m，AB＝3m，AC＝10m，
∴，
解得，，
即建筑物CD的高是5m，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用、相似比等知识，正确得出相似三角形是解题的关键．
7．如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）
【答案】
【分析】根据已有条件，加上一对角相等就可以证明与相似，依据是：两角对应相等的两个三角形相似．
【详解】解：添加，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定方法，牢记三角形相似的判定方法是做出本题的关键．
三、解答题
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE=4，求BC的长．
【答案】(1)见解析
(2)BC=6．
【分析】（1）直接根据相似三角形的判定方法判定即可；
（2）利用相似三角形的性质即可求解．
（1）
证明：∵∠A=∠A，AD:AB=AE:EC=2:3，即，
∴△ADE∽△ABC；
（2）
解：∵△ADE∽△ABC，
∴，，
∴BC=6．
【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
相似三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质和相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵EF∥CD，
∴EF∥AB，
∴，△DEF∽△DAB，
∴，
∵AB=AD=CD，
∴，，
∴选项A、B、D正确；选项C错误；
故选：C．
【点睛】此题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
2．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据三角形ABC是正三角形，可得∠A=∠B=60°，△AFD∽△BFG，即可求出FG=7，而AD=10，DF=14，BF=8，可得AB=32=AC，故CG=AC-AF-FG=9．
【详解】解：三角形是正三角形，
，
，
，
，即，
，
，，，
，
，
；
故选：．
【点睛】本题考查等边三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明，从而求出的长度．
3．如图，在平面直角坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先过点A作轴于点C，过点B作轴于点，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质列出比例式，计算求解即可．
【详解】解：过点A作轴于点，过点B作轴于点，则，，
，
，
，
∽，
，
又的坐标是，点的横坐标是，
∴AC＝1，CO＝2，OD＝2，
，即，
:B的纵坐标是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，通过作垂线构造相似三角形是解决问题的关键．
4．如图，D是的边上的一点，过点D作的平行线交于点E，连接，过点D作的平行线交于点F，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，找到对应线段成比例或相似三角形对应线段的比相等，判断即可．
【详解】解：，
，
故A选项比例式正确，不符合题意；
，
，
，
故B选项比例式正确，不符合题意；
，
，
故C选项比例式正确，不符合题意；
，
故D选项比例式不正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，解题的关键是找准对应线段．
二、填空题
5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m．
【答案】
【分析】设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出，然后加上墙上的影长即为树的高度．
【详解】解：设地面影长对应的树高为，
由题意得，，
解得，
墙上的影子长为，
树的高度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键．
6．如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．
【答案】##
【分析】根据和，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：，
，
，
与的面积之比，
，
，
，
令，则，
设，
，
，
，
，
与的面积之比是，
与的面积之比是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键．
三、解答题
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，证出，得出比例式求出，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
（1）
解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3，，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2，，
∴，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴，
∴；
（2）
解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=31=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．
8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应
(1)求证：．
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由相似可得，再由矩形的性质得，从而可求得，则有，即可求得的度数；
（2）结合（1）可求得，再由相似的性质求得，即可求的值．
（1）
∽，
，
四边形是矩形，
∴，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
；
（2）
由（1）得，
，
，
∽，
，
即，
，
由（1）得：，
则，
在中，．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得．
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