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专题18 全等三角形
【专题目录】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【题型】一、全等三角形的性质
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
【题型】六、全等三角形的判定（HL）
【题型】七、全等三角形综合问题
【题型】八、角平分线的判定定理
【考纲要求】
1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素
2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等
【考点总结】一、全等三角形及其性质
全等三角形及其性质 全等图形概念 能完全重合的图形叫做全等图形. 特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
【考点总结】二、全等三角形的判定
全等三角形的性质与判定 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
性质 全等三角形的对应边、对应角分别相等．
判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
【技巧归纳】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1：一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
题型2：两次全等型
2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.
【类型】二、已知两边型
题型1：一次全等型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．
题型2：两次全等型
4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.
【类型】三、已知两角型
题型1：一次全等型
5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.
题型2：两次全等型
6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
参考答案
1．证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵∠BDE＝∠CDF，BE＝CF，∴△DBE≌△DCF.
∴BD＝CD.∴D是BC的中点，即AD是△ABC的中线．
2．证明：过点A作AM⊥BC，AN⊥BD，分别交BC，BD的延长线于点M，N.∴∠M＝∠N＝90°.
∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ACM＝∠ADN.
在△ACM和△ADN中，
∴△ACM≌△ADN(AAS)．∴AM＝AN，CM＝DN.
在Rt△ABM和Rt△ABN中，
∴Rt△ABM≌Rt△ABN(HL)．
∴BM＝BN.∴BM－CM＝BN－DN，即BC＝BD.
3．解：BF⊥AE.理由如下：
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
又∵BC＝AC，BD＝AE，∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．
∴∠CBD＝∠CAE.
又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
4．证明：∵AC⊥CE，BD⊥DF，∴∠ACE＝∠BDF＝90°.
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)．∴∠A＝∠B.
∵AE＝BF，∴AE－EF＝BF－EF，即AF＝BE.
在△ACF和△BDE中，
∴△ACF≌△BDE(SAS)．
5．证明：∵∠BDC＝∠CEB＝90°，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°.
∵AO平分∠BAC，∴∠DAO＝∠EAO.
在△ADO和△AEO中，
∴△ADO≌△AEO(AAS)．
∴OD＝OE.
又∵CD＝BE，∴CD－OD＝BE－OE，即OC＝OB.
6．证明：在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(AAS)．∴AC＝DB.
又∵∠BAC＝∠CDB，∴∠FAC＝∠FDB.
在△FAC和△FDB中，
∴△FAC≌△FDB(AAS)．∴CF＝BF.
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
【类型】二、构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.
【类型】三、旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
【类型】四、平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
【类型】五、倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【类型】六、截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
参考答案
1．证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE)
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.
在△ABD和△FBD中，
∴△ABD≌△FBD(ASA)．
∴∠2＝∠DFB.
又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.
2．证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.
∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.
∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.
在△ACD和△CBG中，
∴△ACD≌△CBG(ASA)．
∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.
∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.
又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，
∴△BDF≌△BGF(SAS)．
∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.
点拨：本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG、△BGF是解题的关键．
3．解：如图，延长CB到点H，使得BH＝DF，连接AH.
∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.
在△ABH和△ADF中，
∴△ABH≌△ADF.∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.
∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.
∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.
在△AEH和△AEF中，
∴△AEH≌△AEF.
∴∠EAH＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠HAF＝45°.[]
点拨：图中所作辅助线，相当于将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD边与AB边重合，得到△ABH.
4．证明：过点O作OD∥BC交AB于点D，
∴∠ADO＝∠ABC.∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝80°.∴∠ADO＝80°.
∵BQ平分∠ABC，∴∠QBC＝40°.∴∠AQB＝∠C＋∠QBC＝80°.∴∠ADO＝∠AQB.
易知∠DAO＝∠QAO，OA＝OA，∴△ADO≌△AQO.
∴OD＝OQ，AD＝AQ.
又∵OD∥BP，∴∠PBO＝∠DOB.
又∵∠PBO＝∠DBO，∴∠DBO＝∠DOB.
∴过点D作DM⊥BQ，∴∠DMB＝∠DMO＝90°.
又∵DM＝DM，∴△DMB≌△DMO.
∴BD＝OD.∴BD＝OQ.
∵∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，BQ平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP＝30°，∠ABQ＝40°，∴∠BOP＝70°.
∵∠BAP＝30°，∠ABC＝80°，∴∠APB＝70°.
∴∠BOP＝∠APB，过点B作BN⊥OP，
∴∠BNO＝∠BNP＝90°，
又∵BN＝BN，∴△BNO≌△BNP.
∴BO＝BP.∴AB＋BP＝AD＋DB＋BP＝AQ＋OQ＋BO＝AQ＋BQ.
5．(1)证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.
∵D为BC的中点，∴CD＝BD.
又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB.
∴AC＝EB.
∵AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD.
(2)解：∵AB－BE∴AB－AC<2AD∵AB＝5，AC＝3，∴2<2AD<8.∴1点拨：本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题转化为证全等，从而利用全等三角形的性质解决问题．
6．证明：方法一：如图①，在BC上取一点F，使BF＝BA.连接EF.∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠5.
∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.
而∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D.
在△EFC和△EDC中，
∴△EFC≌△EDC(AAS)，
∴FC＝DC.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
方法二：如图②，分别延长BA，CE交于点F.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠BCD.
∴∠2＋∠3＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°.
∴∠BEC＝90°.∴∠BEF＝∠BEC＝90°.
在△BEC和△BEF中，
∴△BEC≌△BEF(ASA)．∴BC＝BF，EC＝EF.
∵AB∥CD，∴∠7＝∠D，∠F＝∠4.
在△EAF和△EDC中，
∴△EAF≌△EDC(AAS)．∴FA＝CD.
∴BC＝BF＝BA＋AF＝AB＋CD.
点拨：本题运用了两种不同的方法解题，方法一是截长法，方法二是补短法，这两种方法都是证明线段和、差或不等关系的常用方法，用这两种方法解题的关键是通过截长法或补短法构造全等三角形，将分散的和差线段转化为同一直线上的和差线段．
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【类型】一、条件充足时直接用判定方法
1．(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法
2．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB.求证：
(1)∠3＋∠4＝180°；
(2)OA＋OB＝2OM.
【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．
参考答案
1．证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD.∴∠A＝∠C.
∴AB∥CD.
2．解：补充条件：EF＝BC，可使得△ABC≌△DEF.
理由如下：
∵AF＝DC，点A，F，C，D在一条直线上，
∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF
∵BC∥EF，∴∠EFD＝∠BCA.
在△DEF和△ABC中，
∴△DEF≌△ABC(SAS)．
点拨：答案不唯一．
3．证明：如图，过C点作CE⊥OB，交OB的延长线于E点．
(1)∵CM⊥OA，CE⊥OE，
∴∠OEC＝∠OMC＝90°，
在△OEC和△OMC中，
∴△OEC≌△OMC(AAS)．
∴CE＝CM，又∵CA＝CB，
∴Rt△BCE≌Rt△ACM(HL)．
∴∠3＝∠CBE，
∴∠3＋∠4＝∠CBE＋∠4＝180°.
(2)由(1)知△OCE≌△OCM，
Rt△BCE≌Rt△ACM，
∴OE＝OM，BE＝AM，
∴OA＋OB＝OM＋AM＋OB＝OM＋BE＋OB＝OM＋OE＝2OM.
4．解：在△DEB和△DFG中，
∵DB＝DG，∠BDE＝∠GDF，DE＝DF，
∴△DEB≌△DFG(SAS)．
∴∠E＝∠F，∴AE∥FH，
∴∠DBA＝∠DGH.
又∵DB＝DG，∠ADB＝∠HDG.
∴△ADB≌△HDG(ASA)，
∴AB＝HG.
【题型讲解】
【题型】一、全等三角形的性质
例1、如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
【答案】C
【分析】通过全等三角形的性质进行逐一判断即可．
【详解】A、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；
B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；
C、∵△ABD≌△CDB，
∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，
∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；
故选：C．
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
例2、如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
【详解】解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
例3、如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先由平行线的性质得∠B=∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB=∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE=∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB=∠DEC，
∴∠AFE=∠DEF，
∴AF∥DE．
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
例4、如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．
【答案】见解析
【分析】
根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE，即可得到结果；
【详解】
证明：∵AC是∠BAE的平分线，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠E，AB＝AD．
∴△BAC≌△DAE（AAS），
∴BC＝DE．
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
例5、如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.
【答案】见解析.
【分析】
先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA证明△ABD≌△ACE，即可解答
【详解】
∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD.
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD＝CE.
【题型】六、全等三角形的判定（HL）
例6、如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明见解析
【分析】
首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．
【详解】
证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【题型】七、全等三角形综合问题
例7、如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）互相垂直，证明见解析
【分析】
（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；
（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．
【详解】
（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
△ACD和△ABE中，
∵
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD=AE．
（2）猜想：OA⊥BC．
证明：连接OA、BC，
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°．
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∵
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）．
∴∠DAO=∠EAO，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC．
【题型】八、角平分线的判定定理
例8、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】
作DE⊥AB于E，
∵AB=10，S△ABD =15，
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故选A.
全等三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，平行四边形中，，点在上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质得出AD//CB，∠ADC+∠C= 180°，得出∠D，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAE的度数．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADC+∠C= 180°，
∴∠D= 180°-∠C= 80°
∴∠D=180°- 100°= 80°
∵AE= AD，
∴∠D=∠AED=80°
∴∠DAE= 180°- 80°× 2= 20°
故答案为：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌握平行四边形对边平行，对角相等．
2．如图，在Rt中，为上一点且于，连结，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ,根据求出FC、BC的长，由此得解.
【详解】解：设，，则AB=5x，
∵,
∴∠AFE=
∵,
∴，
∴x，
在Rt△BCF中，∠C=90，
∴.
故选：D.
【点睛】此题考察三角函数，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，此题根据设未知数是解题的关键.
3．如图，在中，DE垂直平分BC，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴∠BDE=∠CDE=64°，
∴∠ADB=180°-64°-64°=52°，
∵∠A=28°，
∴∠ABD=180°-28°-52°=100°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
4．在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A=（ ）
A．40° B．70° C．50° D．60°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据线段垂直平分线性质定理可得，其次根据等边对等角可得，再根据角的差可得。进而利用互余进行计算即可．
【详解】∵点是的垂直平分线与边的交点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质与判定，根据角的差可得是解本题的关键．
二、填空题
6．如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB4，AO6，那么BC＝_____．
【答案】
【分析】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OG=，∠AOB=∠COG，CG=AB=4，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AG，即可求出AC，再由勾股定理即可求出BC．
【详解】在AC上截取CG=AB=4，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，
∴∠OBA+∠OBC+∠ACB=90°，∠OBC+∠ACB+∠ACO=90°，
∴∠ABO=∠ACO，
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OG=，∠AOB=∠COG，CG=AB=4，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG==12，
即AC=12+4=16，
∴BC＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查对勾股定理、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．
7．已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】连接，，设交于点J，根据等边三角形的性质及中位线的性质得出， ，由三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，，设交于点J，
∵是等边三角形，D、E、F分别为边、、的中点，
∴，，，
∴， ，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及中位线的性质，三角形的三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
三、解答题
8．如图，在等边中，点是内一点，点是外一点，连接、、、、，其中，试判断的形状并证明你的结论．
【答案】等边三角形，证明见解析
【分析】由是等边三角形，可得，，利用，即可得出≌，即可得，，结合等边三角形的性质可得，即可得出是等边三角形．
【详解】解：为等边三角形．
证明：是等边三角形，
，．
在和中，
，
(SAS)．
，，
，
．
即．
是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及等边三角形的判定及性质，解题的关键是得出≌．
全等三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上，则∠ADE等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，可得AB=AD，∠BAD=40°，继而求得∠B的度数，然后由旋转的性质，可求得∠ADE的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=40°，
∴∠B=∠ADB=70°，
∴∠ADE=∠B=70°．
故选：D．
【点睛】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是关键．
2．如图，在中，，，BE平分交AD于E，CF平分交AD于F，则EF等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质可得∠AEB=∠CBE，∠CFD=∠BCF，再由BE平分，CF平分，可得∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，从而得到∠ABE=∠AEB，∠CFD =∠DCF，进而得到AE=AB=5，DF=CD=5，进而得到DE=2，即可求解．
【详解】解∶ 在中，AD∥BC，AB=CD=5，
∴∠AEB=∠CBE，∠CFD=∠BCF，
∵BE平分，CF平分，
∴∠ABE=∠CBE，∠BCF=∠DCF，
∴∠ABE=∠AEB，∠CFD =∠DCF，
∴AE=AB=5，DF=CD=5，
∵BC=7，
∴DE=2，
∴EF=DF-DE=3．
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
3．如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO
C．AO＝DO D．∠A＝∠D
【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定条件对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，，
A中，根据边角边，得到，故不符合题意；
B中，则由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；
C中AO＝DO，则，由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；
D中无法证明，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定．解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件．
4．如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值．
【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，
∴AP=3，
如图，连接AM，
∵等边，是边的中点，
∴AM平分∠EAF，
∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，
∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，
∵是等边的边的中点，
∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，
∴PM=AP=，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．
5．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误
【答案】D
【分析】过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，根据三角形内心可得OD=OE，然后证明Rt△DON≌Rt△EOM（HL），得∠DON=∠EOM，因为∠B=60°，所以∠DOE=120°，即可得∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°；根据Rt△DON≌Rt△EOM，可得四边形OMBN的面积=2S△BOD，根据点D的位置固定，可得四边形OMBN的面积是定值；过点O作OF⊥MN于点F，根据ON=OM，∠MON=120°，可得∠ONM=30°，MN=2NF=2ONcos30°=ON，所以△MON的周长=（+2）ON，可得当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，进而可做出判断．
【详解】解：如图，过点O作OD⊥BC，OE⊥AB于点D，E，连接OB，
∴∠ODN=∠OEM=90°，
∵点O为△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，
∴OD=OE，
在Rt△DON和Rt△EOM中，
，
∴Rt△DON≌Rt△EOM（HL），
∴∠DON=∠EOM，
∵∠B=60°，
∴∠DOE=120°，
∴∠MON=∠EOM+∠EON=∠DON+∠EON=∠DOE=120°
所以甲的判断正确；
∵Rt△DON≌Rt△EOM，
∴四边形OMBN的面积=2S△BOD，
∵点D的位置固定，
∴四边形OMBN的面积是定值，
所以乙的判断正确；
如图，过点O作OF⊥MN于点F，
∵ON=OM，∠MON=120°，
∴∠ONM=30°，
∴MN=2NF=2ONcos∠ONM=2ONcos30°=ON，
∴△MON的周长=MN+2ON=ON+2ON=（+2）ON，
∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长取得最小值，
∴丙的判断错误．
综上所述：判断正确的是甲、乙，判断错误的是丙．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短问题，解直角三角形，解决本题的关键是掌握三角形内心定义．
二、填空题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点P；
③作射线BP，交边AC于D点．
则点D到AB的距离为_______．
【答案】
【分析】题目所描述的是角平分线的画法，过点D作于H，证明，得，在中算出CD即可．
【详解】过点D作于H
由
得：
∴
∵
在中，
在中，
故答案为：
【点睛】本题考查角平分线，特殊直角三角形；熟练掌握特殊直角三角形的三边关系是本题关键．
三、解答题
7．如图，在四边形中，点在边上，，，作交线段于点，连接，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质及等腰三角形的性质推出，即可利用证明．
【详解】，，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定，熟记平行四边形的判定与性质是解题的关键．
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专题18 全等三角形
【专题目录】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【题型】一、全等三角形的性质
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
【题型】六、全等三角形的判定（HL）
【题型】七、全等三角形综合问题
【题型】八、角平分线的判定定理
【考纲要求】
1、了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素
2、掌握并能应用“边角边”、“角边角”、“角角边”、“边边边”四种方法判断全等
【考点总结】一、全等三角形及其性质
全等三角形及其性质 全等图形概念 能完全重合的图形叫做全等图形. 特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。
全等三角形概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上。 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。
【考点总结】二、全等三角形的判定
全等三角形的性质与判定 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
性质 全等三角形的对应边、对应角分别相等．
判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)； (2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)； (3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为(ASA)； (4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)； (5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。
【技巧归纳】
技巧1：全等三角形判定的三种类型
【类型】一、已知一边一角型
题型1：一次全等型
1．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.
求证：AD是△ABC的中线．
题型2：两次全等型
2．如图，∠C＝∠D，AC＝AD.求证：BC＝BD.
【类型】二、已知两边型
题型1：一次全等型
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F，试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由．
题型2：两次全等型
4．如图，A，F，E，B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE＝BF，AC＝BD.求证：△ACF≌△BDE.
【类型】三、已知两角型
题型1：一次全等型
5．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，BE＝CD.求证：OB＝OC.
题型2：两次全等型
6．如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠BAC＝∠CDB，∠ACB＝∠DBC，分别延长BA与CD交于点F.求证：BF＝CF.
技巧2：构造全等三角形的六种常用方法
【类型】一、翻折法
1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
【类型】二、构造法
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.
求证：∠ADC＝∠BDF.
【类型】三、旋转法
3．如图，在正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数．
【类型】四、平行线法
4．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于点P，BQ平分∠ABC交AC于点Q，且AP与BQ相交于点O.求证：AB＋BP＝BQ＋AQ.
【类型】五、倍长中线法
5．如图，在△ABC中，D为BC的中点．
(1)求证：AB＋AC>2AD；
(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．
【类型】六、截长补短法
6．如图，AB∥CD，CE，BE分别平分∠BCD和∠CBA，点E在AD上．求证：BC＝AB＋CD.
技巧3：证明三角形全等的四种思路
【类型】一、条件充足时直接用判定方法
1．(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.求证：AB∥CD.
【类型】二、条件不足时添加条件再用判定方法
2．如图，点A，F，C，D在一条直线上，AF＝DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
【类型】三、非三角形问题中构造全等三角形用判定方法
3．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1＝∠2，CA＝CB.求证：
(1)∠3＋∠4＝180°；
(2)OA＋OB＝2OM.
【类型】四、实际问题中建立全等三角形模型用判定方法
4．如图，要测量AB的长，因为无法过河接近点A，可以在AB所在直线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连接ED和BD，并且延长BD到G，使DG＝BD，延长ED到F，使DF＝ED，连接FG，并延长FG到H，使H、D、A在一条直线上，则HG＝AB，试说明理由．
【题型讲解】
【题型】一、全等三角形的性质
例1、如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（　　）
A．△ABD和△CDB的面积相等 B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
【题型】二、全等三角形的判定（SSS）
例2、如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．
【题型】三、全等三角形的判定（SAS）
例3、如图，已知，，．
求证：（1）；
（2）．
【题型】四、全等三角形的判定（AAS）
例4、如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE．
【题型】五、全等三角形的判定（ASA）
例5、如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.
【题型】七、全等三角形综合问题
例7、如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
（1）求证AD=AE；
（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．
【题型】八、角平分线的判定定理
例8、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
全等三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，平行四边形中，，点在上，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt中，为上一点且于，连结，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，DE垂直平分BC，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点是的垂直平分线与边的交点，作于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB4，AO6，那么BC＝_____．
7．已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为______．
三、解答题
8．如图，在等边中，点是内一点，点是外一点，连接、、、、，其中，试判断的形状并证明你的结论．
全等三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，其中点D恰好落在BC边上，则∠ADE等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，BE平分交AD于E，CF平分交AD于F，则EF等于（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
3．如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（ ）
A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO
C．AO＝DO D．∠A＝∠D
4．如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点为的内心，，，点，分别为，上的点，且．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形的面积为定值；丙：当时，的周长有最小值．则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙错误
C．乙、丙都正确 D．只有丙错误
二、填空题
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；
②分别以E、F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点P；
③作射线BP，交边AC于D点．
则点D到AB的距离为_______．
三、解答题
7．如图，在四边形中，点在边上，，，作交线段于点，连接，求证：．
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