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专题04 整式的乘除与因式分解
【专题目录】
技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧
技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型
技巧3：因式分解的六种常见方法
【题型】一、幂的运算法则 【题型】二、运用幂的运算法则比较大小
【题型】三、单项式乘单项式 【题型】四、单项式乘多项式
【题型】五、多项式乘多项式 【题型】六、利用平方差公式求解
【题型】七、利用完全平方公式求解 【题型】八、整式的运算
【题型】九、因式分解
【考纲要求】
1、同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．
2、了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．
3、会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.
【考点总结】一、整式的乘除运算
整 式 运 算 幂 的 运 算 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an
同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝
幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n
积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n
乘法 公式 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b)
完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 a2±2ab＋b2＝(a±b)2
整式 加减 ① 整式的加减其实就是合并同类项； ② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．
整式 乘法 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
整式 除法 ① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
【考点总结】二、因式分解
因式 分解 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形式
因式分解方法 提公因 式法 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． ② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
【注意】
1、因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
2、因式分解的定义注意事项
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
3、提公因式法的注意事项
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
【技巧归纳】
技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧
【类型】一、巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．
2．已知x＋＝3，求x4＋的值．
【类型】二、巧用乘法公式进行简便运算
3．计算：
(1)1982；　　　　(2)2 0042；
【类型】三、巧用乘法公式解决整除问题
4．试说明：(n＋7)2－(n－5)2(n为正整数)能被24整除．
【类型】四、应用乘法公式巧定个位数字
5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．
【类型】五、巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
6．计算的值．
参考答案
1．解：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝7，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4，[]
所以a2＋b2＝×(7＋4)＝×11＝，
ab＝×(7－4)＝×3＝.
2．解：因为x＋＝3，所以＝x2＋＋2＝9.
所以x2＋＝7.所以＝x4＋＋2＝49.
所以x4＋＝47.
3．解：(1)原式＝(200－2)2＝2002－800＋4＝39 204.
(2)原式＝(2 000＋4)2＝2 0002＋16 000＋16＝4 016 016.　
4．解：(n＋7)2－(n－5)2
＝(n＋7＋n－5)·(n＋7－n＋5)
＝(2n＋2)·12
＝24(n＋1)．
因为n为正整数，所以n＋1为正整数．
所以(n＋7)2－(n－5)2能被24整除．
5．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1
＝…
＝(264－1)＋1＝264＝(24)16＝1616.
因此个位数字是6.
6．解：设20 182 017＝m，则原式
＝
＝
＝
＝.
技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型
【类型】一、运用同底数幂的乘法法则计算
题型1： 底数是单项式的同底数幂的乘法
1．计算：
(1)a2·a3·a；(2)－a2·a5；(3)a4·(－a)5.
题型2：底数是多项式的同底数幂的乘法
2．计算：
(1)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；
(2)(a－b)3·(b－a)4；
(3)(x－y)3·(y－x)5.
题型3：同底数幂的乘法法则的逆用
3．(1)已知2m＝32，2n＝4，求2m＋n的值；
(2)已知2x＝64，求2x＋3的值．
【类型】二、运用幂的乘方法则计算
题型1：直接运用幂的乘方法则求字母的值
4．已知273×94＝3x，求x的值．
题型2：逆用幂的乘方法则求字母式子的值
5．已知10a＝2，10b＝3，求103a＋b的值．
题型3：运用幂的乘方解方程
6．解方程：＝.
【类型】三、运用积的乘方法则进行计算
题型1：逆用积的乘方法则计算
7．用简便方法计算：
(1)×0.255××(－4)5；
(2)0.1252 017×(－82 018)．
题型2：运用积的乘方法则求字母式子的值
8．若|an|＝，|b|n＝3，求(ab)4n的值．
【类型】四、运用同底数幂的除法法则进行计算
题型1：运用同底数幂的除法法则计算
9．计算：
(1)x10÷x4÷x4；(2)(－x)7÷x2÷(－x)3；
(3)(m－n)8÷(n－m)3.
题型2：运用同底数幂的除法求字母的值
10．已知(x－1)x2÷(x－1)＝1，求x的值．
参考答案
1．解：(1)a2·a3·a＝a6.
(2)－a2·a5＝－a7.
(3)a4·(－a)5＝－a9.
2．解：(1)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)＝(x＋2)9.[]
(2)(a－b)3·(b－a)4＝(a－b)3·(a－b)4＝(a－b)7.
(3)(x－y)3·(y－x)5＝(x－y)3·[－(x－y)5]＝－(x－y)8.　
3．解：(1)2m＋n＝2m·2n＝32×4＝128.
(2)2x＋3＝2x·23＝8·2x＝8×64＝512.
4．解：273×94＝(33)3×(32)4＝39×38＝317＝3x，所以x＝17.
5．解：103a＋b＝103a·10b＝(10a)3·10b＝23×3＝24.
6．解：由原方程得
＝，
所以＝.
所以x－1＝4.
解得x＝5.
7．解：(1)原式＝×××(－4)5
＝×[×(－4)5]
＝×
＝1×(－1)
＝－1.
(2)原式＝×(－82 017×8)
＝×(－82 017)×8
＝－×8
＝－1×8
＝－8.
8．解：因为|an|＝，|b|n＝3，
所以(ab)4n＝a4n·b4n＝(an)4·(bn)4＝(|an|)4·(|b|n)4＝×34＝×81＝.
9．解：(1)x10÷x4÷x4＝x2.
(2)(－x)7÷x2÷(－x)3＝－x7÷x2÷(－x3)＝x2.[]
(3)(m－n)8÷(n－m)3＝(n－m)8÷(n－m)3＝(n－m)5.　[]
10．解：由原方程得(x－1)x2－1＝1，
分三种情况：
①当x2－1＝0且x－1≠0时，(x－1)x2－1＝1，此时x＝－1.
②当x－1＝1时，(x－1)x2－1＝1，此时x＝2.
③当x－1＝－1且x2－1为偶数时，(x－1)x2－1＝1.此种情况无解．
综上所述，x的值为－1或2.
技巧3：因式分解的六种常见方法
【类型】一、提公因式法
题型1：公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是(　　)
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1 D．3y－4x
2．分解因式：2mx－6my＝__________．
3．把下列各式分解因式：
(1)2x2－xy；
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.
题型2：公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.
【类型】二、公式法
题型1：直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2；
(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
题型2：先提再套法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x)；
(2)－3x7＋24x5－48x3.
题型3：先局部再整体法
7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
题型4：先展开再分解法
8．把下列各式分解因式：
(1)x(x＋4)＋4；
(2)4x(y－x)－y2.
【类型】三、分组分解法
9．把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx；
(2)4－x2＋2xy－y2.
【类型】四、拆、添项法
10．分解因式：x4＋.
【类型】五、整体法
题型1：“提”整体
11．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．
题型2：“当”整体
12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．
题型3：“拆”整体
13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．
题型4：“凑”整体
14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【类型】六、换元法
15．分解因式：
(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；
(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.
参考答案
1．B　2.2m(x－3y)
3．解：(1)原式＝x(2x－y)．
(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．
点拨：如果一个多项式第一项含有“－”，一般将“－”一并提出，但要注意括号里面的各项要改变符号．
4．解：(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．
点拨：将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．
5．解：(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．
(2)原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)＝(x＋y)2(x－y)2.
(3)原式＝(x2＋6x＋9)2＝[(x＋3)2]2＝(x＋3)4.
点拨：因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)就结束了．
6．解：(1)原式＝(x－1)－b2(x－1)
＝(x－1)(1－b2)
＝(x－1)(1＋b)(1－b)．
(2)原式＝－3x3(x4－8x2＋16)
＝－3x3(x2－4)2
＝－3x3(x＋2)2(x－2)2.
7．解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3)
＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]
＝(x＋3)(2x＋1)．
点拨：解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式因式分解．
8．解：(1)原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.
(2)原式＝4xy－4x2－y2＝－(4x2－4xy＋y2)＝－(2x－y)2.
点拨：通过观察发现不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法因式分解．
9．解：(1)原式＝(m2－mn)＋(mx－nx)
＝m(m－n)＋x(m－n)
＝(m－n)(m＋x)．
(2)原式＝4－(x2－2xy＋y2)
＝22－(x－y)2
＝(2＋x－y)(2－x＋y)．
10．解：原式＝x4＋x2＋－x2
＝－x2
＝(x2－x＋)．
点拨：此题直接分解因式很困难，考虑到添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x2两项后，便可通过分组使其符合乘法公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
11．解：原式＝a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)＝(x＋y－z)(a＋b－c)．
12．解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4
＝(x＋y－2)2.[]
点拨：本题把x＋y这一整体当作完全平方公式中的字母a.
13．解：原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2
＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)
＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)
＝(bc＋ad)(ac＋bd)．
点拨：本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．
14．解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)
＝(x－2)2－(y－3)2
＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
点拨：这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
15．解：(1)设a2＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m＋4)＋9
＝m2＋4m－2m－8＋9
＝m2＋2m＋1
＝(m＋1)2
＝(a2＋2a＋1)2
＝(a＋1)4.
(2)设b2－b＝n，
则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1
＝n2＋3n＋n＋3＋1
＝n2＋4n＋4
＝(n＋2)2
＝(b2－b＋2)2.
【题型讲解】
【题型】一、幂的运算法则
例1、下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂的运算法则逐一计算可得．
【详解】解： A、，此选项错误；
B、，此选项错误；
C、，此选项错误；
D、，此选项正确；
故选：D．
【题型】二、运用幂的运算法则比较大小
例2、已知则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：
故选A.
【题型】三、单项式乘单项式
例3、计算的结果是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据单项式乘法法则进行计算即可.
【详解】，故选C．
【题型】四、单项式乘多项式
例4、计算的结果是（ ）
A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5
【答案】A
【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可．
【详解】原式=4m2 2m3=8m5，故选A．
【题型】五、多项式乘多项式
例5、计算的结果，与下列哪一个式子相同？（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由多项式乘法运算法则：两多项式相乘时，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，合并同类项后所得的式子就是它们的积．
【详解】解：由多项式乘法运算法则得
．
故选D．
【题型】六、利用平方差公式求解
例6、若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【分析】利用平方差公式变形即可求解．
【详解】
原等式变形得：
．
故选：B．
【题型】七、利用完全平方公式求解
例7、若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝_____．
【答案】1
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【详解】
（a+b）2＝32＝9，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9．
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝2，
ab＝1，
故答案为1．
【题型】八、整式的运算
例8、先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－.
【分析】整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，必须在理解的基础上加强记忆，并在运算时灵活运用法则进行计算．使用乘法公式时，要认清公式中a，b所表示的两个数及公式的结构特征，不要犯类似下面的错误：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.
【详解】
(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab，当a＝3，b＝－时，2ab＝2×3×＝－2.
【题型】九、因式分解
例9、分解因式：－x3－2x2－x＝__________.
【分析】由于多项式中有公因式－x，先提公因式再用公式法．－x3－2x2－x＝－x(x2＋2x＋1)＝－x(x＋1)2.
【详解】－x(x＋1)2
因式分解的一般步骤：
(1)“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；
(2)“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；
(3)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
整式的乘除与因式分解（达标训练）
一、单选题
1．（2023·河北唐山·二模）若，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】由同底数幂与幂的乘方的含义可得从而可得答案．
【详解】解： ，
解得：
故选B
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的含义，幂的乘方运算，熟练的运用幂的运算法则解决问题是关键．
2．（2022·福建省福州屏东中学三模）下列计算中，正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂的乘方和积的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，原式错误；
B、，原式错误；
C、，原式错误；
D、，原式正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法．幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
3．（2022·山东菏泽·三模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：与不是同类项，不能合并，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式，熟练掌握相关法则是解题的关键．
4．（2022·浙江杭州·二模）分解因式结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
5．（2022·河北唐山·一模）如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据长方形周长和面积分别求出和的值，将代数式因式分解，把和的值分别代入即可求出。
【详解】解：边长为、的长方形周长为，面积为，
，，
，
．
故选： A．
【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，考查了整体思想，整体代入求值是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）若，，则______．
【答案】2022
【分析】根据平方差公式，即可求解．
【详解】解∶∵，，
∴．
故答案为：2022
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
7．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）分解因式：=___________．
【答案】
【分析】根据平方差公式分解即可．
【详解】m2-9
=m2-32
=(m+3)(m-3)
故答案为：（m+3）(m-3)．
【点睛】本题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键．
三、解答题
8．（2020·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，3
【分析】先根据单项式乘以多项式和平方差公式计算，再合并同类项，最后代值计算即可得到答案．
【详解】原式．
当时，原式．
【点睛】此题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）计算：
【答案】
【分析】直接利用平方差公式进行运算即可得到答案．
【详解】解：
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
10．（2022·河南南阳·一模）因式分解：
【答案】
【分析】根据题意综合运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可得出答案.
【详解】解：
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握并运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键.
整式的乘除与因式分解（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东北江实验学校三模）某同学做了四道题：①；②；③；④，其中正确的题号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则可判断①错误，根据积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则可判断②正确，根据单项式除以单项式和同底数幂除法的运算法则可判断③错误，根据单项式乘以单项式和同底数幂乘法的运算法则可判断④正确.
【详解】解：①不是同类项不能合并，错误．
②，正确．
③，错误．
④，正确．
故选：D.
【点睛】本题考查了合并同类项法则，积的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则、平方差公式和多项式除以单项式运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．不能合并，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项法则、平方差公式和多项式除以单项式运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2022·重庆市育才中学三模）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个
①当时，；
②存在实数，使得；
③若，则；
④已知代数式A、B、C满足，，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】利用代数式的值可判断①，利用完全平方公式可判断②，利用公式变形，整体代入求值可判断③，根据，，求出配方得出，然后代入求值可判断④．
【详解】解①当时，，故①正确；
②存在实数，使得，故②不正确；
③若，
∴，当，
∴，
∴，
则；
故③正确；
④已知代数式A、B、C满足，，
∴
则
=
=
=
=18；
故④正确，
∴正确的个数有3个，
故选B．
【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式性质，二次根式的混合运算，掌握完全平方公式及其变形公式，和代数式求值方法是解题关键．
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知，都为实数，则式子的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先提负号，再将3x2拆成，配方，根据平方后完全平方的最小值为，即可得答案．
【详解】解：
=，
=，
=，
∵要求原式的最大值，即求的最小值，
∴，，
解得：x=4，y=6，
∴当x=4，y=6时，取得最小值为-12，
∴式子的最大值是12，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式应用，非负数的性质，解题的关键是掌握完全平方公式，熟练配方．
5．（2022·上海静安·二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【详解】解：∵
∴
故
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·山东淄博·二模）已知，，则______．
【答案】3
【分析】由，计算解题，结合幂的乘方的逆运算、同底数幂的乘法运算法则解答．
【详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查幂的乘方、幂的乘方的逆运算、同底数幂的乘法运算，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．（2022·四川成都·二模）如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要________个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）．
【答案】28
【分析】计算出图1几何体的容积是图2几何体的容积的几倍即可．
【详解】解：图1几何体的容积为：π×（）2×h+π×a2×；
图2几何体的容积为：π×（）2×h=，
则需要杯子的个数：（个），
所以需要这样的杯子28个．
故答案为：28.
【点睛】考查圆柱体容积的计算方法，掌握圆柱体容积的计算公式是正确计算的前提．
三、解答题
8．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】根据多项式乘以多项式运算法则、完全平方公式将原式进行化简，然后将，代入，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当，时，
原式＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式加减乘除混合运算法则以及完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．
9．（2022·河北·育华中学三模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M；
(2)请将整式N分解因式；
(3)若P＝﹣4，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据整式加减法即可求出，注意去括号法则的应用；
（2）先根据整式加法算出，再利用公式法、提公因式法分解即可；
（3）把带入，利用十字相乘即可求的值．
（1）
解 ∶
．
（2）
解：
．
（3）
解：根据题意，得
即
．
【点睛】本题考查了整式加减运算、因式分数、解一元二次方程等知识点，解题的关键是①熟练掌握去括号法则：当括号前面是负号时，去掉括号和负号，括号里面各项都要变号；②熟练掌握各种因式分解的方法．
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专题04 整式的乘除与因式分解
【专题目录】
技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧
技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型
技巧3：因式分解的六种常见方法
【题型】一、幂的运算法则 【题型】二、运用幂的运算法则比较大小
【题型】三、单项式乘单项式 【题型】四、单项式乘多项式
【题型】五、多项式乘多项式 【题型】六、利用平方差公式求解
【题型】七、利用完全平方公式求解 【题型】八、整式的运算
【题型】九、因式分解
【考纲要求】
1、同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．
2、了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．
3、会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.
【考点总结】一、整式的乘除运算
整 式 运 算 幂 的 运 算 同底数幂乘法 am·an＝am＋n（a≠0） am＋n＝am·an
同底数幂除法 ＝am－n(m，n是正整数) am－n＝
幂的乘方 (am)n＝amn（a≠0） amn＝(am)n
积的乘方 (ab)n＝anbn anbn＝(ab)n
乘法 公式 平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 a2－b2＝(a＋b)(a－b)
完全平方公式 (a±b)2＝a2±2ab＋b2 a2±2ab＋b2＝(a±b)2
整式 加减 ① 整式的加减其实就是合并同类项； ② 整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．
整式 乘法 ① 单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ② 单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC． ③ 多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb．
整式 除法 ① 单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ② 多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.
【考点总结】二、因式分解
因式 分解 概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。和的形式变积的形式
因式分解方法 提公因 式法 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)（乘法分配律的运用）
公式法 ① 运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)． ② 运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
【注意】
1、因式分解的一般步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
2、因式分解的定义注意事项
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
3、提公因式法的注意事项
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
【技巧归纳】
技巧1：活用乘法公式进行计算的五种技巧
【类型】一、巧用乘法公式的变形求式子的值
1．已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝4.求a2＋b2和ab的值．
2．已知x＋＝3，求x4＋的值．
【类型】二、巧用乘法公式进行简便运算
3．计算：
(1)1982；　　　　(2)2 0042；
【类型】三、巧用乘法公式解决整除问题
4．试说明：(n＋7)2－(n－5)2(n为正整数)能被24整除．
【类型】四、应用乘法公式巧定个位数字
5．试求(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1的个位数字．
【类型】五、巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)
6．计算的值．
技巧2：运用幂的运算法则巧计算的常见类型
【类型】一、运用同底数幂的乘法法则计算
题型1： 底数是单项式的同底数幂的乘法
1．计算：
(1)a2·a3·a；(2)－a2·a5；(3)a4·(－a)5.
题型2：底数是多项式的同底数幂的乘法
2．计算：
(1)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；
(2)(a－b)3·(b－a)4；
(3)(x－y)3·(y－x)5.
题型3：同底数幂的乘法法则的逆用
3．(1)已知2m＝32，2n＝4，求2m＋n的值；
(2)已知2x＝64，求2x＋3的值．
【类型】二、运用幂的乘方法则计算
题型1：直接运用幂的乘方法则求字母的值
4．已知273×94＝3x，求x的值．
题型2：逆用幂的乘方法则求字母式子的值
5．已知10a＝2，10b＝3，求103a＋b的值．
题型3：运用幂的乘方解方程
6．解方程：＝.
【类型】三、运用积的乘方法则进行计算
题型1：逆用积的乘方法则计算
7．用简便方法计算：
(1)×0.255××(－4)5；
(2)0.1252 017×(－82 018)．
题型2：运用积的乘方法则求字母式子的值
8．若|an|＝，|b|n＝3，求(ab)4n的值．
【类型】四、运用同底数幂的除法法则进行计算
题型1：运用同底数幂的除法法则计算
9．计算：
(1)x10÷x4÷x4；(2)(－x)7÷x2÷(－x)3；
(3)(m－n)8÷(n－m)3.
题型2：运用同底数幂的除法求字母的值
10．已知(x－1)x2÷(x－1)＝1，求x的值．
技巧3：因式分解的六种常见方法
【类型】一、提公因式法
题型1：公因式是单项式的因式分解
1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是(　　)
A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1 D．3y－4x
2．分解因式：2mx－6my＝__________．
3．把下列各式分解因式：
(1)2x2－xy；
(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.
题型2：公因式是多项式的因式分解
4．把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.
【类型】二、公式法
题型1：直接用公式法
5．把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2；
(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
题型2：先提再套法
6．把下列各式分解因式：
(1)(x－1)＋b2(1－x)；
(2)－3x7＋24x5－48x3.
题型3：先局部再整体法
7．分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
题型4：先展开再分解法
8．把下列各式分解因式：
(1)x(x＋4)＋4；
(2)4x(y－x)－y2.
【类型】三、分组分解法
9．把下列各式分解因式：
(1)m2－mn＋mx－nx；
(2)4－x2＋2xy－y2.
【类型】四、拆、添项法
10．分解因式：x4＋.
【类型】五、整体法
题型1：“提”整体
11．分解因式：a(x＋y－z)－b(z－x－y)－c(x－z＋y)．
题型2：“当”整体
12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．
题型3：“拆”整体
13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．
题型4：“凑”整体
14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
【类型】六、换元法
15．分解因式：
(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；
(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.
【题型讲解】
【题型】一、幂的运算法则
例1、下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型】二、运用幂的运算法则比较大小
例2、已知则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【题型】三、单项式乘单项式
例3、计算的结果是(　　)
A． B． C． D．
【题型】四、单项式乘多项式
例4、计算的结果是（ ）
A．8m5 B．-8m5 C．8m6 D．-4m4+12m5
【题型】五、多项式乘多项式
例5、计算的结果，与下列哪一个式子相同？（　　）
A． B． C． D．
【题型】六、利用平方差公式求解
例6、若，则（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【题型】七、利用完全平方公式求解
例7、若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝_____．
【题型】八、整式的运算
例8、先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－.
【题型】九、因式分解
例9、分解因式：－x3－2x2－x＝__________.
整式的乘除与因式分解（达标训练）
一、单选题
1．（2023·河北唐山·二模）若，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2022·福建省福州屏东中学三模）下列计算中，正确的是( )
A． B． C． D．
3．（2022·山东菏泽·三模）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江杭州·二模）分解因式结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河北唐山·一模）如图，边长为、的长方形周长为，面积为，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）若，，则______．
7．（2022·广东·广州市华师附中番禺学校三模）分解因式：=___________．
三、解答题
8．（2020·吉林·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
9．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）计算：
10．（2022·河南南阳·一模）因式分解：
整式的乘除与因式分解（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东北江实验学校三模）某同学做了四道题：①；②；③；④，其中正确的题号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·重庆市育才中学三模）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法正确的有（ ）个
①当时，；
②存在实数，使得；
③若，则；
④已知代数式A、B、C满足，，则．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知，都为实数，则式子的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·上海静安·二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
二、填空题
6．（2022·山东淄博·二模）已知，，则______．
7．（2022·四川成都·二模）如图1中的瓶子盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么一共需要________个这样的杯子（瓶子和杯子的厚度忽略不计）．
三、解答题
8．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值：，其中，．
9．（2022·河北·育华中学三模）如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
(1)求整式M；
(2)请将整式N分解因式；
(3)若P＝﹣4，求x的值．
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