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专题07 二元一次方程组
【专题目录】
技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法
技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用
技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用
【题型】一、二元一次方程组的有关概念
【题型】二、用代入法解二元一次方程组
【题型】三、用加减法解二元一次方程组
【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组
【题型】五、同解方程组
【题型】六、列二元一次方程组
【考纲要求】
1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；
2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组
二 元 一 次 方 程 组 定义 (1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． (2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)． (3)二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
解法 代入法解二元一次方程组的一般步骤： 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来; 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程; 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值; d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
加减法解二元一次方程组的一般步骤: a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数; b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; c. 解这个一元一次方程; d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.
常见 运用 题型 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程
利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
【注意】
解二元一次方程组的步骤
（1）代入消元法
① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式
② 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值
⑤ 答:写出答案
（2）加减消元法
① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,
② 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值
解二元一次方程组的方法选择
当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法
（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法
【技巧归纳】
技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法
【类型】一、引入参数法解二元一次方程组
1．用代入法解方程组：
【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组
题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
2．解方程组：
题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3．解方程组：
【类型】三、利用换元法解二元一次方程组
4．解方程组
【类型】四、同解交换法解二元一次方程组
5．已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求(a－b)2 018的值．
【类型】五、运用主元法解二元一次方程组
6．已知(x，y，z均不为0)，求的值．
参考答案
1．解：由①，得＝－.
设＝－＝k，则x＝5k，y＝－6k.
将x＝5k，y＝－6k代入方程②，
得3(5k＋6k)－4(－18k＋5k)＝85.
解这个方程得k＝1.
所以x＝5，y＝－6.
所以原方程组的解是
2．解：②－①，得x＋y＝1.③
由③，得x＝1－y.④
把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y＝2 017.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入方程③，得x＝－1.
所以原方程组的解为
点拨：观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便．
3．解：①＋②，得27x＋27y＝81.化简，得x＋y＝3.③
①－②，得－x＋y＝－1.④
③＋④，得2y＝2，解得y＝1.
③－④，得2x＝4，解得x＝2.
所以这个方程组的解是
点拨：方程组中x的系数分别为13，14，y的系数分别为14，13.当两式相加时，x和y的系数相等，化简即可得到x＋y＝3；当两式相减时，x和y的系数互为相反数，化简即可得到－x＋y＝－1.由此达到化简方程组的目的．
4．解：设x＋y＝m，x－y＝n，则原方程组可转化为解得
所以有解得所以原方程组的解为
5．解：依题意有(1)(2)
解方程组(1)，得代入(2)，得
所以(a－b)2 018＝(5－6)2 018＝1.
6．解：将原方程组变形，得
解得
所以＝＝＝.
点拨：本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知数的式子去表示另外两个未知数．
技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用
【类型】一、整体思想
1．先阅读，然后解方程组．
解方程组时，
由①，得x－y＝1，③
然后再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，
从而进一步求得x＝0.所以方程组的解为这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：
2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，求x＋y＋z的值．
【类型】二、化繁为简思想
3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：
解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．
解：①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③
③×16，得16x＋16y＝16，④
②－④，得x＝－1，将x＝－1代入③，得y＝2.
所以原方程组的解是
请用上述方法解方程组
【类型】三、方程思想
4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．
5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求(n＋1)m＋2 018的值．
【类型】四、换元思想
6．解方程组
【类型】五、数形结合思想
7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？
【类型】六、分类组合思想
8．若方程组与有公共解，求a，b的值．
参考答案
1．解：
由①，得2x－3y＝2，③
将③代入②，得1＋2y＝9，解得y＝4.
把y＝4代入③，得x＝7.
所以原方程组的解为
2．解：因为x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，
所以x＋2y＋3z＋4x＋3y＋2z＝5x＋5y＋5z＝5(x＋y＋z)＝25.
所以x＋y＋z＝5.
3．解：
①－②，得2x＋2y＝2，即x＋y＝1，③
③×2 015－②，得－x＝1，即x＝－1.
将x＝－1代入③，得y＝2.
所以原方程组的解为
4．解：因为(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，
所以解得所以x＋y＝2.
5．解：因为3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，
所以解得
所以(n＋1)m＋2 018＝(－1)2 019＝－1.
6．解：设x＋y＝a，x－y＝b，则原方程组可化为
解得
所以x＋y＝8，x－y＝6.将它们组成新方程组，[]
即解得
所以原方程组的解是
7．解：设每束鲜花的价格为x元，每个礼盒的价格为y元，由题意，得
①＋②，得3x＋3y＝264，
所以x＋y＝88.
所以5x＋5y＝5(x＋y)＝5×88＝440.
答：买5束鲜花和5个礼盒共需440元．
点拨：本题运用了数形结合思想，从图中获取信息，找出等量关系是解题的关键．
8．解：因为方程组与有公共解，
所以方程组的解也是方程组的解．
解方程组得把代入方程组得解得
技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用
【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值
1．若关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值为(　　)
A．1 B．3 C．5 D．2
2．已知和是关于x，y的二元一次方程2ax－by＝2的两组解，求a，b的值．
【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值
3．已知关于x，y的方程组的解也是方程3x＋2y＝17的解，求m的值．
【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值
4．已知m，n互为相反数，关于x，y的方程组的解也互为相反数，求m，n的值．
【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值
5．关于x，y的方程组与有相同的解，求(2a＋b)2 018的值．
【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值
6．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为乙看错了方程组中的b，得解为
(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
参考答案
1．D
2．解：把代入原方程，得4a－3b＝2.
把代入原方程，得－8a－2b＝2，
即4a＋b＝－1，联立得解得
3．解：(方法一)
①－②，得3y＝－6m，即y＝－2m.
把y＝－2m代入方程①，得x－4m＝3m.解得x＝7m.
把x＝7m，y＝－2m代入3x＋2y＝17，
得21m－4m＝17.解得m＝1.
(方法二)
①×3－②，得2x＋7y＝0.
2x＋7y＝0与3x＋2y＝17组成新的方程组为
解这个方程组，得
把代入方程①，得7－4＝3m，解得m＝1.
4．解：由题意得x＋y＝0，解方程组得代入mx＋ny＝60，得m－n＝30.又m，n互为相反数，所以m＋n＝0.联立解得m＝15，n＝－15.
5．解：根据题意，解方程组解得
所以解得
所以(2a＋b)2 018＝(2×1－3)2 018＝1.
6．解：(1)将x＝，y＝－2代入方程组得解得
将x＝3，y＝－7代入方程组，得解得
所以甲把a错看成了1；乙把b错看成了1.
(2)根据(1)得正确的a＝2，b＝3，
则方程组为解得
【题型讲解】
【题型】一、二元一次方程组的有关概念
例1、若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D．，－
【答案】C
【分析】将代入二元一次方程组中解出x和y的值，再计算x＋2y的算术平方根即可．
【详解】解：将代入二元一次方程中，
得到：，解这个关于x和y的二元一次方程组，
两式相加，解得，将回代方程中，解得，
∴，
∴x＋2y的算术平方根为，
故选：C．
【题型】二、用代入法解二元一次方程组
例2、二元一次方程组的解是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
①+②得：3x=6，即x=2，
把x=2代入①得：y=0，
则方程组的解为，
故答案选B.
【题型】三、用加减法解二元一次方程组
例3、由方程组可得出x与y之间的关系是(　　)．
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
【答案】C
【详解】
原方程可化为 ，
①+②得，x+y=7．
故选C．
【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组
例4、若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：令x+1=m，y﹣2=n，∴方程组可化为．∵方程组的解是，∴x+1=2，y﹣2=﹣1，解得：．故选A．
【题型】五、同解方程组
例5、已知关于x，y的方程组 ，与，有相同的解，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】关于x,y的方程组 与,有相同的解,所以,解得,将代入可得,解得,故选B.
【题型】六、列二元一次方程组
例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组．
【详解】解：设有x人，y辆车，依题意得： ，故选B．
二元一次方程组（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据“购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元”建立方程组即可．
【详解】解：由题意，可列方程组为，
故选：A．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，正确找出等量关系是解题关键．
2．（2022·天津河北·一模）方程组的解是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用消元法，直接将方程y=2x代入方程中，即可求解．
【详解】利用消元法，直接将方程y=2x代入方程，
解得x=2，
则有y=2x=4，
则方程组的解为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握消元法是解答本题关键．
3．（2022·天津红桥·三模）方程组的解是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据加减消元解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
①×2-②得，x=-2，
将x=-2代入①式得，2×(-2)+y=-1，
解得y=3，
∴方程组的解为．
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组．解题的关键在于熟练运用加减消元法解二元一次方程组．
4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．
【详解】解：A．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
B．含有1个未知数，未知数的项的最高次数是2的整式方程，不属于二元一次方程，不符合题意；
C．含有2个未知数，未知数的项的最高次数是1的整式方程，属于二元一次方程，符合题意；
D．是分式方程，不属于二元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
5．（2022·山东威海·一模）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把代入方程组，得出关于、的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：把代入方程组得：，
解得：，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组是解此题的关键．
二、填空题
6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．
【答案】35
【分析】设索长x尺，竿子长y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设索长x尺，竿子长y尺，
依题意，得：，
解得：，
∴x+y=35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组，则的值为______．
【答案】9
【分析】解方程组，求得x、y的值，进而求得答案．
【详解】解：由方程组，解得
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查求方程组的解，熟练掌握相关知识是解题的关键．
三、解答题
8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
【详解】解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
二元一次方程组（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
2．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入，得到关于，的方程组，再用代入消元法求解方程组，得到，的值，即可求得的值，再根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：是二元一次方程组的解
由得，
将代入，得，
解得，
将代入，得，
，
的立方根为，
的立方根为，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、立方根的求法是解题的关键．
3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先仿照已知方程组的解建立一个新的方程组，再解新的方程组即可．
【详解】解：∵ 的解是 ，
∴由方程组可得：，
解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，利用了类比的方法，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键．
4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等量关系：总人数不变，列方程即可．
【详解】依题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】B
【分析】先将看作已知量，解二元一次方程组，用表示出，再结合，为整数，得出的整数解，然后把的整数解代入，得出的解，再把方程组的整数解代入，即可得出的值．
【详解】解：，
由，可得：，
∵，为整数，
∴当为时，为整数，
∴把的值代入，可得：，，，，，，，，
∴把的整数解代入，可得：，，，，，，，，
∴方程组的整数解为，，，，
把方程组的整数解代入，可得：，，，．
故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解本题的关键是用含m的代数式表示y．
二、填空题
6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x人，库绢有y匹，则可列方程组为______．
【答案】
【分析】根据“如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹”列出方程组即可．
【详解】解：设现在有x人，有绢y匹，根据题意得
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
三、解答题
7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先把每个方程去分母变形，再用加减消元法消去n，解得m的值，再代入可得n的值；
（2）设x+y=m，x-y=n，先解得m、n的值，再解x、y的方程组求出x、y的值；
（3）用加减消元法消去x，解一元一次方程求出y，再代入可得x的值；
（4）用代入消元法先消去x，即可解出方程组的解．
（1）
①×6得：3m+2n=72③，
②×12得：4m-3n=36④，
③×3+④×2得：17m=288，
∴，
把代入③得：，
∴，
∴
（2）
设x+y=m，x-y=n，则原方程组变为：
①×30+②×2得：23m=184，
∴m=8，
把m=8代入①得：
∴n=6，
∴
∴
（3）
①×30-②×6得：11y=33，
∴y=3，
把y=3代入①得：0.1x+0.9=1.3，
∴x=4，
∴
（4）
由①得：③，
把③代入②得：，
∴y=-9，
把y=-9代入③得：，
∴．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法，把二元转化为一元．
8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．
(1)求排球和篮球的单价．
(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的，如何购买总费用最少．
(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？
【答案】(1)排球单价为18元，篮球45元；
(2)购买120个排球费用最少；
(3)211个
【分析】（1）设排球x元，篮球y元，列出方程组求解即可；
（2）设排球m个，篮球（120-m）个，记总费用为W元，得W=，再根据函数的增减性解答即可；
（3）设购进a个排球，b个篮球，c个足球，列出方程组，再求出符合条件的值．
(1)
解：设排球x元，篮球y元
由题意得：
解得
答：排球单价为18元，篮球45元
(2)
设排球m个，篮球（120-m）个
记总费用为W元，则
W=
∵排球的数量不少于篮球数量的，
∴
∴
∵，
∴
∴120≥
∵k=-27＜0，
∴W随着m的增大而减小.
∴当x=120时，W的最小值为2160元
∴购买120个排球费用最少；
(3)
设购进a个排球，b个篮球，c个足球，总量为n，
由题意得
解得
∵
∴
∵b为正整数且为20的倍数
∴b可取20、40、60
总量
∴当b最小=20时，n最小=211
∴学校至少可以购进211个球类器材
【点睛】本题考查了一次函数、二元一次方程组的应用，关键是根据题意找出等量关系，列出函数关系式．
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专题07 二元一次方程组
【专题目录】
技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法
技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用
技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用
【题型】一、二元一次方程组的有关概念
【题型】二、用代入法解二元一次方程组
【题型】三、用加减法解二元一次方程组
【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组
【题型】五、同解方程组
【题型】六、列二元一次方程组
【考纲要求】
1、了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；
2、理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
【考点总结】一、二元一次方程组
二 元 一 次 方 程 组 定义 (1)概念：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． (2)一般形式：(a1，a2，b1，b2均不为零)． (3)二元一次方程组的解 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
解法 代入法解二元一次方程组的一般步骤： 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来; 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程; 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值; d. 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.
加减法解二元一次方程组的一般步骤: a. 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数; b. 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; c. 解这个一元一次方程; d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.
常见 运用 题型 解应用题的步骤：①审清题意;②找等量关系;③设未知数;④列方程;⑤解方程;⑥验根;⑦作答.
工作(或工程)问题：工作量=工作效率×工作时间
利息问题：利息=本金×利率×期数;本息和=本金+利息
行程问题：路程=速度×时间;其中,相遇问题:s甲+s乙=s总; 追及问题：(同地异时)前者走的路程=追者走的路程;(异地同时)前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程
利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%.
数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字
【注意】
解二元一次方程组的步骤
（1）代入消元法
① 变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式
② 代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值
⑤ 答:写出答案
（2）加减消元法
① 化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等(互为相反数)的形式,
② 加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数
③ 解：解消元后的一元一次方程
④ 求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值
解二元一次方程组的方法选择
当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法
（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法
【技巧归纳】
技巧1：二元一次方程组的五种特殊解法
【类型】一、引入参数法解二元一次方程组
1．用代入法解方程组：
【类型】二、特殊消元法解二元一次方程组
题型1：方程组中两未知数系数之差的绝对值相等
2．解方程组：
题型2：方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3．解方程组：
【类型】三、利用换元法解二元一次方程组
4．解方程组
【类型】四、同解交换法解二元一次方程组
5．已知关于x，y的方程组与方程组的解相同，求(a－b)2 018的值．
【类型】五、运用主元法解二元一次方程组
6．已知(x，y，z均不为0)，求的值．
技巧2：二元一次方程组中六种类型数学思想的应用
【类型】一、整体思想
1．先阅读，然后解方程组．
解方程组时，
由①，得x－y＝1，③
然后再将③代入②，得4×1－y＝5，解得y＝－1，
从而进一步求得x＝0.所以方程组的解为这种方法被称为“整体代入法”．请用这样的方法解下面的方程组：
2．若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，求x＋y＋z的值．
【类型】二、化繁为简思想
3．阅读下面解方程组的方法，然后解决问题：
解方程组时，我们如果直接考虑消元，会很繁琐，而采用下面的解法则是轻而易举的．
解：①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③
③×16，得16x＋16y＝16，④
②－④，得x＝－1，将x＝－1代入③，得y＝2.
所以原方程组的解是
请用上述方法解方程组
【类型】三、方程思想
4．已知(5x－2y－3)2＋|2x－3y＋1|＝0，求x＋y的值．
5．若3x2m＋5n＋9＋4y4m－2n－7＝2是二元一次方程，求(n＋1)m＋2 018的值．
【类型】四、换元思想
6．解方程组
【类型】五、数形结合思想
7．如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒共需多少元？
【类型】六、分类组合思想
8．若方程组与有公共解，求a，b的值．
技巧3：二元一次方程(组)的解的五种常见应用
【类型】一、已知方程(组)的解求字母的值
1．若关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值为(　　)
A．1 B．3 C．5 D．2
2．已知和是关于x，y的二元一次方程2ax－by＝2的两组解，求a，b的值．
【类型】二、已知二元一次方程组与二元一次方程同解求字母的值
3．已知关于x，y的方程组的解也是方程3x＋2y＝17的解，求m的值．
【类型】三、已知二元一次方程组的解满足某一关系求字母的值
4．已知m，n互为相反数，关于x，y的方程组的解也互为相反数，求m，n的值．
【类型】四、已知两个二元一次方程组共解求字母的值
5．关于x，y的方程组与有相同的解，求(2a＋b)2 018的值．
【类型】五、已知二元一次方程组的误解求字母的值
6．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为乙看错了方程组中的b，得解为
(1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．
【题型讲解】
【题型】一、二元一次方程组的有关概念
例1、若是二元一次方程组的解，则x＋2y的算术平方根为（ ）
A．3 B．3，－3 C． D．，－
【题型】二、用代入法解二元一次方程组
例2、二元一次方程组的解是　　
A． B． C． D．
【题型】三、用加减法解二元一次方程组
例3、由方程组可得出x与y之间的关系是(　　)．
A．x＋y＝1 B．x＋y＝－1 C．x＋y＝7 D．x＋y＝－7
【题型】四、用整体消元法解二元一次方程组
例4、若方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【题型】五、同解方程组
例5、已知关于x，y的方程组 ，与，有相同的解，则a，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型】六、列二元一次方程组
例6、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二元一次方程组（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广东·深圳外国语学校模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，某地准备购买一些松树和柏树绿化荒山，已知购买2棵松树和3棵柏树需要120元，购买2棵松树比1棵柏树多20元，设每棵松树x元，每棵柏树y元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津河北·一模）方程组的解是( )
A． B． C． D．
3．（2022·天津红桥·三模）方程组的解是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·上海杨浦·二模）下列方程中，二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东威海·一模）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·湖南娄底·二模）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果一托为5尺，那么索长与竿子长之和为______尺．
7．（2022·江苏无锡·二模）已知方程组，则的值为______．
三、解答题
8．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
二元一次方程组（提升测评）
一、单选题
1．（2022·广东·江门市新会东方红中学模拟预测）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
2．（2022·福建·平潭翰英中学一模）已知是二元一次方程组的解，则的立方根为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022··二模）我们知道二元一次方程组的解是．现给出另一个二元一次方程组，它的解是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·福建宁德·二模）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐2人，则9需要步行：若每辆车都坐3人，则两辆车是空的，问：车与人各多少？设有x辆车，y人，根据题意，列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）如果关于，的方程组的解是整数，那么整数的值为（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
二、填空题
6．（2022·江苏南通·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，原文：今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问人、绢各几何？注释：（娟）纺织品的统称；（人得）每人分得；（匹）量词，用于纺织品等，（盈）：剩下．若设贼有x人，库绢有y匹，则可列方程组为______．
三、解答题
7．（2022·广东·华南师大附中三模）解下列方程组：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
8．（2022·浙江温州·二模）为促进学生体育活动，学校计划采购一批球类器材，当每班购进5个排球和6个篮球时花费360元；购进10个排球和2个篮球时花费270元．
(1)求排球和篮球的单价．
(2)为扩充器材室储备，现还需购买120个排球和篮球，其中排球的数量不少于篮球数量的，如何购买总费用最少．
(3)经调查，为满足不同学生的需要，学校准备新增购进进价为每个60元的足球，篮球和排球的仍按需购进，进价不变，排球是篮球的4倍，共花费9000元，则学校至少可以购进多少个球类器材？
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