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4.2.2 指数函数的图像和性质 能力提升
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
未命名
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数是定义在上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．的否定“”
B．函数（其中，且）的图象过定点
C．当时，幂函数的图象是一条直线
D．若函数，则
8．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是（ ）
A．， B．的值域为
C．若，则 D．若，且，则
9．已知函数在上单调递增，且关于对称，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．任意且，都有
10．已知函数，记在区间上的最小值为，，则下列说法中不正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递增
C．有最大值 D．有最小值
第II卷（非选择题）
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三、填空题
11．若函数且的图象恒过点，则_______．
12．函数，若存在实数，其中且，使得，则的最大值为________．
13．函数的单调递减区间为________．
14．已知函数，若，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知定义在上的奇函数，当时的解析式为.
(1)求在上的解析式；
(2)求在上的最大值．
16．已知函数．
(1)用定义法证明在上单调递增；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
17．设函数.
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)设，若，求的取值范围.
18．已知（，且）．
(1)解关于x的不等式；
(2)若，且对，，求实数n的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据求函数定义域，列方程组解决即可.
【详解】由题知， ，
所以，解得
所以
所以定义域为，
故选：C
2．D
【分析】首先根据奇函数的性质，求出的值，再结合解析式，判断出单调性，然后利用奇偶性以及单调性即可求解.
【详解】因为是定义在上的奇函数，则必有，代入中，得.
又因为当时，均为减函数，则为上的减函数，
由奇函数对称性可知，当时，也是减函数，则在上为减函数.
由可得，，即，因为
在上为减函数，则有，解得，即.
故选：D
3．C
【分析】对于A，利用完全平方公式即可判断；
对于BD，举反例即可排除；
对于C，利用幂函数的单调性与指数函数的值域即可判断.
【详解】对于A，因为，，
而，所以，则，故A错误；
对于B，令，则，，，即，故B错误；
对于C，因为，所以，故幂函数在上单调递减，所以，
因为指数函数，恒成立，所以上述不等式两边同时乘以，得，故C正确；
对于D，令，则，但，故D错误.
故选：C.
4．B
【分析】根据函数图象知定义域为且为偶函数，确定各选项函数定义域，判断奇偶性，应用排除法确定答案.
【详解】根据函数图象可知，定义域为且为偶函数，
对于A，，即在处有定义，故A错误；
对于C，因为，所以的定义域为，
又，故是奇函数，故C错误；
对于D，因为，所以的定义域为，
又，故是奇函数，故D错误.
对于B，因为，所以定义域为，
又，故是偶函数，
由于选项ACD已然排除，而选项B中的解析式又满足图像的性质，故B正确.
故选：B
5．B
【分析】由题知函数在上单调递减，再利用分段函数的单调性列出不等式组，即可求解.
【详解】对于上任意两个不相等实数，不等式恒成立，
可知函数在上单调递减，
则，解得
所以实数的取值范围为
故选：B
6．A
【分析】令幂指数，求出，再代入计算可得.
【详解】解：对于函数，令，解得，所以，
即函数恒过定点.
故选：A
7．BD
【分析】根据命题的否定；指数型，对数型函数恒过定点；幂函数无意义；换元法求函数解析式解决即可.
【详解】对于A，的否定“”，故A错误；
对于B，函数（其中，且），当，即时，的图象过定点；故B正确；
对于C，当时，因为无意义，所以幂函数的图象不是是一条直线；故C错误；
对于D，因为函数，
令，
所以，
所以
所以，故D正确.
故选：BD
8．AD
【分析】过原点得，由时，，可判断A；由可判断B；画出的图象可判断C；由为偶函数可判断D.
【详解】∵过原点，∴，∴①，
又∵时，，∴时，，
由题知图象无限接近直线，则②，
由①②知，，故A正确；
所以，，，所以B错误；
的图象如下：
由图知，在上单调递减，因为，则，
故C错误；
∵，∴为偶函数，
又∵，且， 在上单调递减，在上单调递增，∴，∴，故D正确.
故选：AD.
9．CD
【分析】由函数在单调递增，且关于对称，可知函数在上单调递减，结合指数函数的性质判断选项正误.
【详解】对于A，因为函数图象关于对称，所以，A错误；
对于B，因为，所以，又因为函数在单调递增，
所以，B错误；
对于C，因为的图象向左平移一个单位即的图象，函数图象关于对称，则的图象关于y轴对称，是偶函数，C正确；
对于D，函数在单调递增，且关于对称，函数在上单调递减，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上，且，都有，D正确.
故选：CD.
10．BCD
【分析】令，转化为关于的二次函数，讨论对称轴与区间的关系，结合单调性，可得最小值，于是分析的单调性及取值情况即可判断.
【详解】解：令，因为，则，则
则当时，函数在上单调递增，所以；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，函数在上单调递减，所以；
则
所以当时，单调递减，
当时，单调递减，
当时，单调递减，
所以在上单调递减，且的值域为.
故选：BCD.
11．1
【分析】根据来求指数型函数恒过定点.
【详解】因为函数且恒过定点
即即所以.
故答案为：1
12．7
【分析】将化为，利用基本不等式求得，根据题意可得，由此得，即，即可求得答案.
【详解】由题意得，
因为，当且仅当时取等号，
则，
则所以的值域为，
由题意存在实数，其中且，使得，
则，则，
故，即，
所以，的最大值为7，
故答案为：7
13．
【分析】利用复合函数的单调性同增异减，结合二次函数与指数函数的单调性即可解答.
【详解】因为复合函数是由与复合而得，
而在上单调递减，
所以的单调减区间即为的单调增区间，
因为开口向下，对称轴为，
所以的单调增区间.
则答案为：.
14．
【分析】设，证明其为奇函数，减函数，不等式化为，再由奇偶性与单调性变形为，分离参数为，然后求得的最大值，即可得结论．
【详解】令，
则，是奇函数，
设，则，，，
，∴，从而，
所以在上是减函数，又是奇函数，所以它在上也是减函数，
所以在上是减函数，
不等式可化为，
即，，
所以，，
令
设，，
，
当时，，，，递减，
当时，，，，递增，
所以，，∴在上的最大值为，
故答案为：．
【点睛】结论点睛：不等式恒成立与能成立问题：
的定义域是，的定义域是，
（1）对任意，任意，总有成立等价于，
（2）对任意，存在，使得成立等价于，
（3）存在，对任意，使得成立等价于．
15．(1)；
(2)0.
【分析】（1）由题可得，然后根据函数的奇偶性即得；
（2）利用换元法，然后根据二次函数的性质即得.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，即，
所以，时，，
设，则，
，
又，
，
所以，在上的解析式为；
（2）当，，
令，由，可得，
所以，在上单调递减，
当，即时，，
所以，函数在上的最大值为0.
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）任取实数，且，结合指数函数性质证明即可；
（2）利用奇偶性定义可证得为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为，由单调性可求得，由此可得的取值范围.
【详解】（1），任取实数，且，；，根据指数函数性质，，又，，，即，根据单调性的定义可得，在上单调递增.
（2），为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；令，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，，，即实数的取值范围为.
17．(1)函数是奇函数，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义即可证明；
（2）先求出函数的单调性，利用单调性将不等式，转化为，再分类讨论m即可求出的取值范围.
【详解】（1）解：函数是奇函数，证明如下：
函数，，
因为，，且
所以，函数是奇函数.
（2）解：，设，
则，
，，
而，
故，即
在R上是增函数，
若，即
，即，
已知，令
解得或，
①当时，要使，则，
②当时，此时，
要使，则；
③当时，要使，则，
综上，若，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对不等式变形得到，结合恒成立，得到，分与两种情况，求出不等式的解集；
（2）根据函数单调性解不等式，得到，分与两种情况，参变分离结合基本不等式求出实数n的取值范围.
【详解】（1）可化为，即，
因为恒成立，故．
当，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为．
（2）当时，因为，是减函数，
所以是减函数，又因为，
得，即．当时，不等式恒成立，，
当时，不等式两边同除以得：，
因为，当且仅当时等号成立，所以．
综上，实数n的取值范围是．

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