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第九章　平面向量
第9.1节　　向量概念
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
1.教学重点：理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.教学难点：理解平面向量的几何表示和基本要素.
老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，猫能否追到老鼠(如图)
问题　猫能否追到老鼠？
提示　猫的速度再快也没用，因为方向错了.
老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有大小、有方向的量.
生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识.
1.向量的定义及表示
(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)表示：
①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
②向量的表示：
2.向量的有关概念
相等向量是平行(共线)向量，但平行(共线)向量不一定是相等向量
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b， 规定：零向量与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b
题型一　向量的概念
【例1】　下列说法正确的是(　　)
A.向量与向量的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.若a∥b，b∥c，则a∥c
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【训练1】　下列说法中正确的是(　　)
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
题型二　相等向量与共线向量
【例2】　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量.
【训练2】　如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
(1)与向量相等的向量为______；
(2)若||＝3，则向量的模等于________.
题型三　向量的表示及应用
【例3】　在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务.它首先从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点.此时，它完成了此片海域的巡逻任务.
(1)作出，，；
(2)求||.
【训练3】　一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)作出，，，；
(2)求B地相对于A地的位置.
1.下列结论正确的个数是(　　)
①温度含零上和零下，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是(　　)
A.＝ B.||＝||
C.> D.<
3.有下列说法：
①向量和向量长度相等；
②向量0＝0；
③向量大于向量；
④单位向量都相等.
其中，正确的说法是________(填序号).
4.在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
参考答案
1、解析　①错，温度只有大小，没有方向，是数量不是向量；②错，0的模等于0；③正确；④错，向量不能比较大小.
答案　B
2、解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等.
答案　B
3、解析　
序号 正误 原因
① √ ||＝||＝CB
② × 0是一个向量，而0是一个数量
③ × 向量不能比较大小
④ × 单位向量的模均为1，但方向不一定相同
答案　①
4、解　(1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等方向相同(作图略).
(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆(作图略).
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