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专题92 等体积法求点面距离
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
一、单选题
1．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件可得球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，然后利用等体积法算出点到平面的距离，然后可得球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，然后可得答案.
【详解】因为三棱锥的棱，，两两互相垂直，，
所以球与三棱锥的表面的交线均为以点为顶点，半径为，圆心角为的圆弧，其长度为，
设点到平面的距离为，
因为，所以是边长为的等边三角形，
由可得，解得，
所以球与表面的交线为以的中心为圆心，半径为的圆，其长度为，
因为，
所以以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】设点E到平面的距离为h，根据，利用等体积法即可得出答案.
【详解】解：设点E到平面的距离为h，
因为点E是棱的中点，
所以点E到平面的距离等于点B到平面的距离的一半，
又平面过的中点，
所以点B到平面的距离等于点D到平面的距离，
由等体积法，
所以，
，，
在中，，
所以，
则
解得，
即点E到平面的距离为.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，则点到平面的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接和，由等腰三角形的性质得出，可求出和的长，再由平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，进而得到，利用勾股定理即可求出，最后利用等体积法得出，进而可求.
【详解】取中点为,四边形是边长为2的正方形，，
则，，
由题知，平面平面，且交线为，.且平面，
则平面，又平面，所以，
在中，，
是等边三角形，则，
则在中，，
设点到平面的距离为，
则，即，即：，解得：，
即到平面的距离为．
故选：D．
4．（2023·全国·高三专题练习）正方体的棱长为1，点P在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是（ ）
A．若点P在线段上运动，则AP与所成角的范围为
B．若点P在矩形内部及边界上运动，则AP与平面所成角的取值范围是
C．若点P在内部及边界上运动，则AP的最小值为
D．若点P满足，则点P轨迹的面积为
【答案】B
【分析】根据线线角的定义可知：当点与重合时最小，点在的中点时最大即可确定范围.当垂直时，线面角最大，当与重合时,线面角最小；当平面时，此时最小;根据点的运动轨迹为球面的一部分即可求解
【详解】连接,则为等边三角形，当点与重合时，AP与所成角最小为，当点在的中点时，AP与所成角最大为，故A对.
连接交于,故,则平面,故当与重合时，AP与平面所成角最大为，当与重合时,此时长度最大，此时AP与平面所成角最小，最小角为,故 AP与平面所成角的取值范围是，故B错误.
四面体是正四面体，棱长为，等边的中线长为，故四面体的高为，当平面时，此时的最小值为.故C对.点P满足时，此时在以为球心，半径为1的球面上，又因为点P在正方体内部及表面上运动，故点在的球面上运动，故面积为，故D对.
故选:B
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将棱台补全为棱锥，利用等体积法求到面的距离，结合线面角的定义求与平面所成角的大小.
【详解】将棱台补全为如下棱锥，
由，，，易知：，，
由平面，平面，则，，
所以，，故，
所以，若到面的距离为h，又，
则，可得，
综上，与平面所成角，则，即.
故选：A
6．（2022·山东威海·三模）已知圆柱的高和底面半径均为4，为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且，，是圆柱的一条母线，则点P到平面的距离为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据题意易求三棱锥的体积，再求出的面积即可求解.
【详解】由题可得，因为，所以，
因为平面，且，所以，
因为，所以，
所以，
设点P到平面的距离为，则，解得.
故选：D.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，判断得的轨迹为抛物线一部分，建立平面直角坐标系，写出直线和抛物线段的方程，由题意，计算点到线段的最短距离，再由等体积法计算三棱锥最小体积.
【详解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，
连接，由题意可知，，所以，
由抛物线定义可知，的轨迹为抛物线一部分，所以的轨迹为抛物线一部分，
当点到线段距离最短时，三角形面积最小，三棱锥体积最小，
建立如图所示直角坐标系，则直线的方程为，
抛物线的方程为，，
由题意，，得，代入，得，
所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为
，因为，
所以，
所以三棱锥体积的最小值为.
故选：C
【点睛】求解本题的关键是能判断出点的轨迹为抛物线一部分，再建立平面直角坐标系，求解到直线的最短距离，利用等体积法求解三棱锥的最小体积.
8．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，△ABC是边长为2的等边三角形，，，以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线长度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求得，利用等体积法求得以AB为直径的球的球心到平面的距离，设交球于点,交圆于点，由此可找到以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线即为，最后利用弧长公式即可求解.
【详解】设的中点为,连接、,
因为，且, 面，
由已知得,,,
由余弦定理得,
则,所以,
所以,
由已知，,,所以,所以,
设点到平面的距离为，因为,
所以，解得，
以AB为直径的球，球心为AB的中点，则到平面的距离为，
过作平面，则平面与球相交得截面，设交球于点,
截面的半径为,
,
则设交圆于点,即球的表面被△PAC截得的曲线长度为,
在△中，，所以，所以,
则，
故选：.
9．（2022·山西大附中三模（文））已知AB，CM分别为圆柱上 下底面的直径，且AB=2，圆柱的高为，AB⊥CM，则点M到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得出的表达式，运用等体积法求出体积，再利用体积公式求点M到平面ABC的距离即可.
【详解】如图所示，连接AM，BM，设，分别为上 下底面圆的圆心，连接AO，BO，分别过A，B作底面圆的垂线，垂足分别为H，.
因为AB⊥CM，结合圆柱的性质可知CM⊥平面ABNH，且，
而，
故.
在中，.
在等腰△ABC中，由为AB的中点可知，
所以.
设点M到平面ABC的距离为d，
则有，
解得，
即点M到平面ABC的距离为.
故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】应用等体积法求到平面的距离，结合的长，即可求直线与平面所成角的正弦值.
【详解】由题设，且到平面的距离为.
又，，故到上高为，所以.
设到平面的距离为，由得：，解得，
故直线与平面所成角的正弦值为.
故选：D
11．（2023·全国·高三专题练习）直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】作出草图，根据题意易证平面，可得，再根据勾股定理分别求出，，，的值，再根据，即可求出点到平面的距离.
【详解】如图，
在直三棱柱中，连接，
由题知，平面，，
又，
∴
又，所以平面，
所以，
由于，点是棱上的中点，
根据勾股定理，
，
，，
所以，即.
设到平面的距离为，则，设点到平面的距离为，
在四面体中，，
则，解得.
故选：C.
12．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（文））如图所示，在长方体中，，，则该长方体外接球球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接、，设，则为、的中点，连接、，设，设球心为，计算出、、的长，分析可知，利用等体积法计算出点到平面的距离，进而可求得球心到平面的距离.
【详解】设，，，
因为，，则，解得，
连接、，设，则为、的中点，连接、，设，如下图所示：

设长方体的外接球球心为，则为的中点，
在矩形中，为的中点，且，则，
即，故，，
因为，，为的中点，则，
所以，，，
，，
设点到平面的距离为，，解得，
因为，故球心到平面的距离为.
故选：A.
13．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用异面直线的夹角定义转化为求直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，最小值为点到面的距离，再利用等体积法求出距离，进而得解.
【详解】如图，分别取的中点，连接，
取的中点，连接
由三棱台的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角，
要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，
又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离，
设点到面的距离为，利用等体积法知
即，即，
在直角中，，，
又在中，，，，
，又
设直线与AP夹角的最小值为，则
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查异面直线的夹角，解题的关键是通过异面直线夹角定义转化，再将所求夹角正弦值转化为点到AP的距离最小，即点到面的距离，考查学生的转化化归能力与运算求解能力，属于难题。
14．（2021·新疆·克拉玛依市独山子第二中学高三阶段练习）设，分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为定值；
②异面直线与所成的角为；
③平面；
④直线与平面所成的角.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】①根据题意，结合图形求出三棱锥的体积为定值；
②根据，转化为与所成的角；
③利用反证法判与平面不垂直；
④通过等体积法求出点到平面的距离为，即可求出直线与平面所成的角的正弦值，即得出直线与平面所成的角．
【详解】
如图所示，三棱锥的体积为为定值，①正确；
因为，所以是异面直线与所成的角为，②正确；
若平面，则，而，故，
而与所成角为，③错误；
在三棱锥中，设点到平面的距离为，
又，
即有，解得，
所以直线与平面所成的角的正弦值为，即所成角为，④正确．
综上，正确的命题序号是①②④．
故选：C．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知，两点间距离的最小值为，易求外接圆半径，结合等体积法可求出内切圆半径和，进而得解.
【详解】由已知可将该三棱锥补成正方体，
如图所示.设三棱锥内切球球心为，
外接球球心为，内切球与平面的切点为，
易知三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，外接球的半径为，则.
由等体积法可得，得，由等体积法可得，得，
两点间距离的最小值为
故选：D
16．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知正方体的棱长为2，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等体积法有求点面距即可.
【详解】如图，设到平面的距离为，
∵，即，
∴，可得.
故选：B.
17．（2021·云南·昆明一中高三阶段练习（理））三棱柱，侧棱底面，且，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是，的中点，则E到平面BCD的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合以及体积公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知平面.
因为平面，且点为的中点，
所以D到平面的距离为，
又因为，且
所以，可得到平面的距离．
故选：A.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出点面距离，利用，结合几何体的特征，即可用等体积法求得点面距离.
【详解】解：设到平面的距离为.
.
，.
所以.
由得.
故选：B.
19．（2022·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为定值
C． D．的最小值为
【答案】D
【分析】利用直线与平面垂直判定定理，三棱锥体积公式，以及余弦定理与极限位置分别判断选项真假即可。
【详解】由平面，可得，则
由，可得平面
又平面，则，所以A项命题正确；
由于M，N分别为中点，可得∥
因为点P在上，所以点P到平面的距离为定值，
则三棱锥的体积
由于和h都为定值所以三棱锥的体积为定值，所以B项命题正确；
设，由对称性可得，则
当P与C重合时，，此时，达到最小为，
当交于P时，由等面积法可得，此时，达到最大为，所以C项命题正确；
将平面与平面沿展成平面图，当交于P时，可得，此时为最小值，
所以D项命题错误；故选D。
【点睛】本题考查命题真假判断，空间几何体中直线与平面垂直，几何体的体积，以及余弦定理求夹角，以及夹角最值问题，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属于中档题。
20．（2021·全国·高三阶段练习（文））如图，某几何体的三视图为三个全等的等腰直角三角形，其中直角边长为，则该几何体的各个面中，面积最大的面所对的顶点到该面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三视图还原直观图，再利用等体积法求出点到面的距离；
【详解】解：如图，可以借助正方体模型，找到这个三棱锥.
该三棱锥各个面中，面积最大的是面，
该面所对应的顶点是点，设点到面的距离为，
由等体积法，可得，
，
，
解得.
故选：D
二、多选题
21．（2022·广东深圳·高三期中）在棱长为1的正方体中，是线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积恒为定值
B．直线与平面所成角正弦值可以为
C．异面直线与所成角的范围是
D．当时，平面截该正方体所得的截面图形为等腰梯形
【答案】ACD
【分析】对于A选项，根据平面，判断的体积为定值；
对于B选项，设与平面所成的角为，M到平面的距离为d，则，由//平面，且求d，结合正方体性质即可知与平面所成角正弦值的最大值；
对于C选项，根据异面直线所成角的平面角，及正方体性质确定异面直线BM与AC所成角的范围；
对于D选项，过作，分别交于点，连接，根据几何关系即可判断；
【详解】解：对于A选项，根据正方体的特征可得，
因为平面，平面，
所以平面，即线段上的点到平面的距离相等，
又因为△的面积为定值，是线段上一个动点，
所以四面体的体积为定值，故A选项正确；
对于B选项，设直线与平面所成的角为，
到平面的距离为，则，
因为，平面，平面
所以平面，
所以到平面的距离与到平面的距离相等，
连接，由可得，
又，，
所以，易知当为的中点时，最小，为，
此时取得最大值为，故B错误；
对于C选项，设异面直线与所成的角为，
当与或重合时，取得最小值，为，
当为的中点时，取得最大值，为，
所以异面直线与所成角的范围是，故C选项正确；
对于D选项，过作，分别交于点，连接，
设与交点为
由正方体的性质知，，
因为，所以，
所以，，，
所以，，即四边形为等腰梯形，故D正确．
故选：ACD
22．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）如图，正方体中，是线段上的动点，则（ ）
A．平面
B．
C．与所成角的余弦值为
D．三棱锥的体积为定值
【答案】BCD
【分析】利用线面垂直定理、异面直线所成角的求法以及棱锥的体积公式求解判断.
【详解】对于选项A，正方体中，，,又，
所以平面，又，故A不正确；
对于选项B, 正方体中，，,又，
所以平面，又平面，所以，故B正确；

对于选项C, 正方体中，，所以与所成角即为与所成角，
因为是等边三角形，所以与所成角为，即与所成角的余弦值为，
故C正确；
对于选项D, 正方体中，因为，所以无论在线段上怎么移动，
点到平面的距离是定值，又的面积是定值，，
所以即三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：BCD.
23．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
【答案】BC
【分析】对于A，假设直线与直线垂直，然后进行推理，得出矛盾，对于B，的中点，连接，利用面面平行的判定可得平面∥平面，再由面面平行的性可得结论，对于C，连接，延长，交于，可得四点共面，从而可得梯形为截面，进而可求出其面积，对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，然后分别利用等体积法求解判断即可.
【详解】对于A，若，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，因为∥，所以，这不成立，所以假设错误，所以A错误，
对于B，的中点，连接，，，因为E，F，G分别为，，的中点，所以∥，∥，∥，，所以∥，因为∥，，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，∥平面，因为平面，，所以平面∥平面，因为平面，所以∥平面，所以B正确，
对于C，如图所示，连接，延长，交于，由选项可知∥，，因为∥，，所以∥，，所以四点共面，所以梯形为截面，因为，，所以，
因为∽，且相似比为，
所以，
所以C正确，
对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，因为，，
所以，所以D错误，
故选：BC
24．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥外接球的表面积为9π
C．点C到平面AEF的距离为
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
【答案】BCD
【分析】假设，推出，又不可能有即可判断A选项；先求出外接球球心，进而求得外接球半径，求出表面积即可判断B选项；由等体积法即可判断C选项；先判断出截面形状，再求截面面积即可判断D选项.
【详解】
对于A，取中点，连接，由于是的中点，，而平面，则平面，
又平面，，若，又，平面，平面，
又平面，则，但正方形中，是中点，不可能有，则A错误；
对于B，连接交于点，则是的外心，取中点，连接，则，
又底面，则底面，又底面，则，则，
又可得，则即为三棱锥外接球的球心，又，
则外接球半径为，则外接球表面积为，B正确；
对于C，连接，，则，
则，则，，底面，
设点C到平面AEF的距离为，由可得，解得，C正确；
对于D，连接，易得，则，又，
则平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形，，
则等腰梯形的高为，则等腰梯形的面积为，即截面面积为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
25．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为___________.
【答案】##
【分析】由条件确定球心位置，再由等体积法求球心到四棱锥侧面的距离.
【详解】如图所示，该四棱锥为，底面中心为，外接球球心为，
设，由题意，所以
所以，解得，
因为是等腰三角形，，边上的高为，
所以，
又，，
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，即，解得，
故答案为：.
26．（2022·湖南·高三开学考试）三棱锥中，，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为___________.
【答案】##
【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解；
【详解】为边长为2的等边三角形，
为正三棱锥，
，又分别为中点，
，
，又
平面平面，
为正方体一部分，
故，即，
∵为三棱锥外接球上的动点，
∴当位于正方体的如图所示的顶点处，点到平面距离最大，设为，
∴可求得三棱锥的体积为：，
∴，
解得：
故答案为：
【点睛】求解立体几何外接球问题，根据题目特征作出辅助线，找到球心，求出半径，或补形为长方体或正方体，进而求出表面积或体积.
27．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据三棱锥的体积求出点到平面的距离，由此确定点的轨迹，结合图形即可得出答案.
【详解】设点到平面的距离为，
则，所以，
如图在上取点，使得，过点作平面平面，分别在上，
故点在四边形的边上，
则当点在点的位置时，最小，为，
当点在点的位置时，最大，为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
28．（2023·全国·高三专题练习）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，给出下列四
个命题：
①上底边的中点在平面内
②直线与平面不平行
③平面截正方体所得的截面面积为
④点与点到平面的距离相等．
错误的命题是________．
【答案】①②④
【分析】对于①：根据题意得，，所以，所以，，，四点共面，分析即可判断；对于②：取的中点，连接，，由条件可知，，分析判断即可；对于③：因为，，求出，再求解即可；对于④：记点与点到平面的距离分别为，，，，分析即可判断.
【详解】在①中，如图所示，连接，，延长，交于点，因为，为，的中点，
所以，，所以，所以，，，四点共面，
所以截面即为梯形，所以上底边的中点不在平面内，故①错误；
在②中，如图所示，取的中点，连接，，由条件可知，，
且，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，故②错误；
在③中，由①可知，因为，，
所以，所以，故③正确；
在④中，记点与点到平面的距离分别为，，
因为，所以，
又因为，
所以，故④错误．
故答案为：①②④ .
29．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是________．
【答案】
【分析】利用线面平行，得到面，进而，把问题转化，则A1B1到平面D1EF的距离为到面的距离，进而利用等体积法，则，最后计算即可得到答案.
【详解】因为，且面，所以，面，则A1B1到平面D1EF的距离为到面的距离，且明显可见，面，对于三棱锥，有，设到面的距离为，
由题意得，，，，在中，得到，
，所以，
，化简得
，
进而可得，
故答案为：
30．（2023·上海·高三专题练习）如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，M为内部一动点，过M分别作平面OAB，平面OBC，平面OAC的垂线，垂足分别为P，Q，R．
①直线PR与直线BC是异面直线；
②为定值；
③三棱锥的外接球表面积的最小值为；
④当时，平面PQR与平面OBC所成的锐二面角为45°．
则以上结论中所有正确结论的序号是______．
【答案】②③
【分析】根据，即可判断②；由题意可知两两垂直，由②结合基本不等式求出三棱锥的外接球半径的最小值，即可判断③；当时，为的中心，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可判断④；当为的中心时，，利用向量法证明，即可判断①.
【详解】解：对于②，设，
由题意，
即，
所以，
即为定值，故②正确；
对于③，设三棱锥的外接球的半径为，
由题意可知两两垂直，
则
，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为，
即的最小值为，
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故③正确；
对于④，如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以，
此时，为的中心，
，
因为，
所以平面，
故即为平面的一条法向量，
，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
所以平面PQR与平面OBC所成的锐二面角的余弦值为，故④错误，
由④可知，当为的中心时，，
，则，
所以，
所以直线PR与直线BC共面，故①错误.
故答案为：②③.
四、解答题
31．（2022·江苏南通·高三期中）如图，四棱锥中，是的中点,，且，， ．
(1)求证：平面；
(2)求点到面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明直线垂直于平面内两条相交直线即可.
（2）利用等体积法求点到平面的距离.
【详解】（1）设与交于，连接．
因为，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，
因为，所以平行四边形为菱形，
所以，且
在中，，，所以
因为，，，面，面，
所以面．
（2）因为平行四边形为菱形，，
所以，．
在中，，为的中点，所以，
所以．
同理，．
因为面，面，所以．
因为，，，面，面，
所以面，
所以．
所以点到面的距离．
故：点到面的距离为.
32．（2007·福建·高考真题（文））在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，为的中点．
(1)证明：；
(2)求二面角的大小：
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；
（2）取的中点，连接、，分析可知二面角的平面角为，通过解可求得的大小，进而可求出二面角的大小；
（3）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.
【详解】（1）证明：取的中点，连接、，
因为，为的中点，所以，，
因为为等边三角形，为的中点，所以，，
，、平面，平面，
平面，.
（2）解：取的中点，连接、，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，.
因为，，，故，且，
因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，
、分别为、的中点，则，
所以，，且，
平面，、平面，，，
，、平面，平面，
平面，，
所以，二面角的平面角为，
在中，，则，
因此，二面角为.
（3）解：因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，且，
，，，，
所以，的面积为，
，.
设点到平面的距离为，则，解得.
33．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高三阶段练习（理））如图1，已知直四棱柱，侧棱且垂直于底面，光线沿方向投影得到的主视图是直角梯形（如图2），E，F分别是棱，上的动点，且．
(1)证明：无论点运动到BC的哪个位置，四边形都为矩形；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求CE的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）结合面面平行的性质定理、直棱柱的性质证得四边形都为矩形.
（2）利用等体积法求得点到平面的距离，根据线与平面所成角的正弦值求得的长.
【详解】（1）在直四棱柱中，．
又∵，∴．
∵平面平面，平面平面，平面平面，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∵侧棱底面，平面，∴，
∴平行四边形为矩形．
（2）设点到平面的距离为，，
则．
∵，，
，
∴，∴．
设直线与平面所成的角为．
∵，∴，
化简得，∴，即CE的长为1.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，DD1分别交于Q，R，且BQ＝．
(1)求异面直线PQ与AB所成角的大小；
(2)求C1到平面AQPR的距离．
【答案】(1)90°
(2)
【分析】（1）根据直线与平面垂直的性质定理，确定PQ与AB的位置关系，进而求PQ与AB所成角的大小；
（2）C1到平面AQPR的距离即C到平面AQP的距离，根据等体积法求解即可．
【详解】（1）∵ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，
∴AB⊥平面BCC1B1，
∵PQ 平面BCC1B1，
∴AB⊥PQ，
∴异面直线PQ与AB所成角的大小为90°．
（2）是中点，则C1到平面AQPR的距离等于C到平面AQP的距离，
S△PQC＝＝，AB为三棱锥A﹣PQC的高，
VA﹣PQC＝＝；
P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，DD1分别交于Q，R，且BQ＝，
由面面平行的性质定理得，，即是平行四边形，，
又都与底面垂直，
所以，∴DR＝，从而，四边形AQPR为菱形，
AC＝，AP＝＝，RQ＝BD＝，
S△APQ＝SAQPR＝＝，
设C到平面AQP的距离为d，
∵＝×d＝，
解得：d＝．
∴求C1到平面AQPR的距离为．
35．（2022·全国·高三专题练习）（1）如图1，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小；
（2）如图2，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，|AB|＝2，|AD|＝|AA'|＝1．求顶点B'到平面D'AC的距离．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）连接AC，设，连接PO，交EF于H，连接AH，设平面平面ABCD＝l．可证∠HAO为E﹣l﹣C的平面角，利用解直角三角形可求其大小．
（2）利用等积法可求点到平面的距离．
【详解】（1）连接AC，设，连接PO，交EF于H，连接AH，
设平面平面
因为PF＝FD，PE＝EB，故EFBD，
而平面ABCD，平面ABCD，
故EF平面ABCD，
而平面AEF，平面平面，
故EFl，故BDl，
由正四棱锥P﹣ABCD可得四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD，
即AO⊥BD，所以AO⊥l，
由正四棱锥P﹣ABCD及O为正方形ABCD对角线的交点（即中心）可得：
PO⊥平面ABCD，而平面ABCD，故PO⊥l，
而平面PAO，平面PAO，，
故l⊥平面PAO，而平面PAO，故l⊥AH，
故∠HAO为E﹣l﹣C的平面角．
因为，故|AO|＝|BO|＝2，
因为EF为△PBD的中位线，故，
故在直角三角形△HAO中，，故，
而∠HAO为锐角，故，
故平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小．
（2）如图，连接AD'，AB'，AC，B'D'，AB'，CD'，
，
又，，
故，
设顶点B'到平面D'AC的距离为h，则，故．
36．（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点．
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
(2)已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离．
【答案】(1)4
(2)．
【分析】（1）由直三棱柱体积计算公式能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（2）设点P到平面BCD的距离为d，证明A1到平面BCB1C1的距离为2，由等体积法求出点P到平面BCD的距离．
【详解】（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
（2）设点P到平面BCD的距离为d，
平面，平面，则，又（因为∠ACB＝90°），，平面，所以A1C1⊥平面BCB1C1，即A1到平面BCB1C1的距离为2，
∵点D是线段A1B1的中点，
∴D到平面BCB1C1的距离为1．
在△BB1D中，，
在△CC1D中，，
∴，
又S△BCP＝，
又由，得
∴点P到平面BCD的距离．
37．（2022·全国·高三专题练习）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB上的点，AE＝2EB．
(1)求异面直线AD1与EC所成角的大小；
(2)求点C到平面D1DE的距离．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）首先平移直线找到异面直线所成的角，然后计算其大小即可；
（2）利用等体积法转化顶点即可求得点面距离．
【详解】（1）
在线段CD上取靠近点D的三等分点F，连结，，由平面几何的知识易知，
故或其补角即为异面直线与所成角，
由于 ，故 为等边三角形， ，
即异面直线AD1与EC所成角为；
（2）如图所示，利用等体积法，，
设点C到平面D1DE的距离为h，则 ，
即 ，
解得 ，即点C到平面D1DE的距离为 ；
综上，异面直线AD1与EC所成角为，C到平面D1DE的距离为.
38．（2022·江苏泰州·高三期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABCD，N是CD的中点．
(1)若点M为线段PD上一点，且平面AMN，求的值；
(2)求二面角B－PA－C的正弦值；
(3)求点N到面PAC的距离．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）连接，交于，连接，由线面平行的性质可得，根据等比例关系即可求结果；
（2）根据已知证明两两垂直，构建空间直角坐标系，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值，进而求其正弦值；
（3）利用等体积法，求点面距离.
【详解】（1）连接，交于，连接，
因为面，面，且面面，
所以，故.
（2）若为中点，连接，又N是CD的中点，底面ABCD为正方形，
所以，等边三角形中，
因为平面PAB⊥平面ABCD，面面，面，
所以面，而面，则，
综上，两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系，
由，则，，，，
所以，，
若为面的一个法向量，则，令，则，
而为面的一个法向量，
所以，故二面角的正弦值为.
（3）由题设，，而，
又，，，
所以，若N到面PAC的距离为，
则，可得，故N到面PAC的距离为.
39．（2022·浙江浙江·高三期中）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面．
(1)求点到平面的距离；
(2)若，且平面平面， 求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据等积转化法求点到平面的距离；
(2)几何法：由平面平面，可作出二面角的平面角，在直角三角形求解；
空间向量法：先证明两两垂直后建系，用法向量求二面角的余弦值
【详解】（1）设点到平面的距离为．
因为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为，
又由，得，解得.
（2）
由已知设，，则，，取的中点，连接，则，由平面平面知面，故，
又，从而平面.
故，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，
又，
得.
在平面内作于，则，在平面内，作于，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以 平面，又 平面，所以，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
则二面角的平面角为.
在直角中，，故，.即所求二面角的余弦值为.
法二：取的中点，连接，则，由平面平面知面，故，又，从而平面.
故，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，
又，
得，
则，，，
设面的法向量，由得，
设面的法向量，由得，
故，即所求二面角的余弦值为.
40．（2022·河南焦作·高三期中（文））如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，且，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）连接，根据求出三棱锥的体积，设点到平面的距离为，求出的面积，再根据棱锥的体积公式即可得解.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，
所以且，
又因为且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）解：连接，
因为平面，且为的中点，
所以点到平面的距离为，
则，
在直角梯形中，，则，
因为平面，
所以，
则，
在中，边上的高为，
故，
设点到平面的距离为，
则，解得，
即点到平面的距离为.
41．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知正四棱柱中，，、分别是棱、的中点，．
(1)若，求直线与直线所成的角；
(2)若，设点到平面的距离为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长到点，到点，且使、，连接，取的中点、的中点，连接、、，根据正方体的性质得到、，从而得到为异面直线与直线所成的角（或补角），求出线段的长度，再利用余弦定理计算可得；
（2）求出，，，由表示出，再根据函数的性质计算可得.
【详解】（1）解：延长到点，到点，且使、，连接，取的中点、的中点，连接、、，
因为，所以正四棱柱为正方体，
又为的中点，所以且，所以为平行四边形，所以，
因为时的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，
所以为异面直线与直线所成的角（或补角），
由题意知，，
，
所以，
所以，即直线与直线所成的角为；
（2）解：因为为正四棱柱，
所以平面，且为正方形，
所以，，，
设点到平面的距离为，则，
即，
所以，
因为，所以，，，，
所以，
即.
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专题92 等体积法求点面距离
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
一、单选题
1．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知三棱锥的棱，，两两互相垂直，，以顶点为球心，1为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到的交线最长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）将边长为2的正方形沿对角线折起，使得平面⊥平面，则点到平面的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）正方体的棱长为1，点P在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是（ ）
A．若点P在线段上运动，则AP与所成角的范围为
B．若点P在矩形内部及边界上运动，则AP与平面所成角的取值范围是
C．若点P在内部及边界上运动，则AP的最小值为
D．若点P满足，则点P轨迹的面积为
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在三棱台中，平面，，，，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东威海·三模）已知圆柱的高和底面半径均为4，为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且，，是圆柱的一条母线，则点P到平面的距离为（ ）
A．4 B． C．3 D．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，△ABC是边长为2的等边三角形，，，以AB为直径的球的表面被△PAC截得的曲线长度为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·山西大附中三模（文））已知AB，CM分别为圆柱上 下底面的直径，且AB=2，圆柱的高为，AB⊥CM，则点M到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习）直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（ ）
A．1 B． C． D．
12．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（文））如图所示，在长方体中，，，则该长方体外接球球心到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·新疆·克拉玛依市独山子第二中学高三阶段练习）设，分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为定值；
②异面直线与所成的角为；
③平面；
④直线与平面所成的角.
其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且，分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则两点间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·河南·高三阶段练习（文））已知正方体的棱长为2，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·云南·昆明一中高三阶段练习（理））三棱柱，侧棱底面，且，底面是边长为2的等边三角形，点D，E分别是，的中点，则E到平面BCD的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）如图，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，点分别为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为定值
C． D．的最小值为
20．（2021·全国·高三阶段练习（文））如图，某几何体的三视图为三个全等的等腰直角三角形，其中直角边长为，则该几何体的各个面中，面积最大的面所对的顶点到该面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
21．（2022·广东深圳·高三期中）在棱长为1的正方体中，是线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．四面体的体积恒为定值
B．直线与平面所成角正弦值可以为
C．异面直线与所成角的范围是
D．当时，平面截该正方体所得的截面图形为等腰梯形
22．（2022·云南·昆明一中高三开学考试）如图，正方体中，是线段上的动点，则（ ）
A．平面
B．
C．与所成角的余弦值为
D．三棱锥的体积为定值
23．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
24．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥外接球的表面积为9π
C．点C到平面AEF的距离为
D．平面AEF截正方体所得的截面面积为
三、填空题
25．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的底面边长为3，高为2，若该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，则球心到四棱锥侧面的距离为___________.
26．（2022·湖南·高三开学考试）三棱锥中，，底面是边长为2的正三角形，分别是的中点，且，若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为___________.
27．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，有边长为2的正方体为正方体表面的一个动点．若三棱锥的体积为，则的取值范围是____________．
28．（2023·全国·高三专题练习）正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，给出下列四
个命题：
①上底边的中点在平面内
②直线与平面不平行
③平面截正方体所得的截面面积为
④点与点到平面的距离相等．
错误的命题是________．
29．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，则A1B1到平面D1EF的距离是________．
30．（2023·上海·高三专题练习）如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且，M为内部一动点，过M分别作平面OAB，平面OBC，平面OAC的垂线，垂足分别为P，Q，R．
①直线PR与直线BC是异面直线；
②为定值；
③三棱锥的外接球表面积的最小值为；
④当时，平面PQR与平面OBC所成的锐二面角为45°．
则以上结论中所有正确结论的序号是______．
四、解答题
31．（2022·江苏南通·高三期中）如图，四棱锥中，是的中点,，且，， ．
(1)求证：平面；
(2)求点到面的距离．
32．（2007·福建·高考真题（文））在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，为的中点．
(1)证明：；
(2)求二面角的大小：
(3)求点到平面的距离．
33．（2022·内蒙古·霍林郭勒市第一中学高三阶段练习（理））如图1，已知直四棱柱，侧棱且垂直于底面，光线沿方向投影得到的主视图是直角梯形（如图2），E，F分别是棱，上的动点，且．
(1)证明：无论点运动到BC的哪个位置，四边形都为矩形；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求CE的长．
34．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是CC1的中点，过AP的平面与BB1，DD1分别交于Q，R，且BQ＝．
(1)求异面直线PQ与AB所成角的大小；
(2)求C1到平面AQPR的距离．
35．（2022·全国·高三专题练习）（1）如图1，在正四棱锥P﹣ABCD中，，E、F分别为PB、PD的中点，平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD所成二面角的大小；
（2）如图2，在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，|AB|＝2，|AD|＝|AA'|＝1．求顶点B'到平面D'AC的距离．
36．（2022·全国·高三专题练习）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1＝2，点D是线段A1B1的中点．
(1)求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；
(2)已知P为侧棱BB1的中点，求点P到平面BCD的距离．
37．（2022·全国·高三专题练习）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E是棱AB上的点，AE＝2EB．
(1)求异面直线AD1与EC所成角的大小；
(2)求点C到平面D1DE的距离．
38．（2022·江苏泰州·高三期中）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PB＝AB＝2，平面PAB⊥平面ABCD，N是CD的中点．
(1)若点M为线段PD上一点，且平面AMN，求的值；
(2)求二面角B－PA－C的正弦值；
(3)求点N到面PAC的距离．
39．（2022·浙江浙江·高三期中）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面．
(1)求点到平面的距离；
(2)若，且平面平面， 求二面角的余弦值．
40．（2022·河南焦作·高三期中（文））如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，且，，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
41．（2022·上海市复兴高级中学高三期中）已知正四棱柱中，，、分别是棱、的中点，．
(1)若，求直线与直线所成的角；
(2)若，设点到平面的距离为，求的取值范围．
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