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《集合的概念与表示》课时同步解
问题情境导入
军训时，教官发出口令：“高一（1）班同学集合”，高一（1）班的全体同学就会从四面八方聚集到教官身边来，不是高一（1）班的同学就会自动走开，这时教官的一声“集合”就把“一些确定的不同对象汇集在一起了”.如果教官高喊：“高一（1）班的高个子同学‘集合’”，高一（1）班的每个同学是否知道自己该不该过去？学习本节课后，你就能非常清晰方便地表述上面的问题了.
新课自主学习
自学导引
1.一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个________.集合中的每一个对象称为该集合的__________，简称__________.
2.如果a是集合A的元素，就说a_________集合A，记作a________A；如果a不是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A，或a________A.
3.数学中一些常用的数集及其记法：全体自然数组成的集合称为自然数集，记作__________；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作_________或_________；全体整数组成的集合称为整数集，记作_________；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作_________；全体实数组成的集合称为实数集，记作_________.
4.将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内，这种方法叫_________.用这种方法表示集合，元素之间要用隔开，但列举时与元素的次序_________.
5.将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的形式，这种方法叫__________.
6.画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合，这种方法叫__________图法.
7.如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么称这两个集合__________.
8.含有有限个元素的集合，称为________，含有无限个元素的集合，称为__________.不含任何元素的集合称为__________，记作_________.
答案
1.集合 元素 元
属于 不属于
3.
4.列举法 逗号 无关
5.描述法
6.Venn
7.相等
8.有限集 无限 集空
预习测评
1.用“”或“”填空：
1_____N，_______Q，________R.
2.小于5的自然数组成的集合可表示为__________.
3.方程的解集为__________.
4.集合与集合相等吗？__________.
5.用列举法表示出__________.
答案
1.
2.
3.
4.相等
5..
新知合作探究
探究点1 集合的概念
知识详解
1.一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合，集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.
2.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征.
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都能说明它是或不是某个集合的元素，两种情况必居其一且仅居其一，不会模棱两可例如“著名科学家”“与接近的数”等都不能组成一个集合.
（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即同一元素在同一集合中，不能重复出现例如：某集合是由这三个元素构成的，是错误说法.
只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是相等的.
（3）无序性：在一个集合中，元素之间都是平等的，它们都充当集合中的一员，无先后次序之说例如，由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是相同的集合.
特别提示
集合中的元素的三个基本特征是集合本质属性的反映，利用集合中元素的三个基本特征，一方面可以判断一些对象是否能构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题.
3.常用的数集
全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作N.
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作或.
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z.
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q.
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.
4.如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），那么称这两个集合相等.
5.集合的分类：
有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.
无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.
空集：不含任何元素的集合称为空集，记为.
典例探究
例1 判断下列每组对象能否构成集合：
（1）美丽的小鸟；
（2）方程在实数范围内的解；
（3）第1章中的所有难题；
（4）高一（2）班的高个子的同学；
（5）所有的平行四边形；
（6）高一（2）班所有高于1.70米的同学.
解析 根据集合中元素的确定性判断.
答案 （1）“美丽的小鸟”没有一个明确的标准去判断某只小鸟是否美丽，不符合集合中元素的确定性，所以“美丽的小鸟”不能构成一个集合；同理（3）中没有一个标准去判断某道题是否是难题，（4）没有一个标准判断某个同学个子高还是矮，故（3）（4）不能构成集合.（2）方程的两根2和是确定的，能构成一个集合，（5）（6）中的对象也是确定的，故也能构成集合.
方法归纳 集合是一组确定的对象的全体.一般地，判断一组对象能否构成集合，关键是看给定对象是否具有一个确定的特征，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合，如本例中的（4），是否是高个子，没有标准去判断，故这一组对象就不能构成集合.
变式训练1 在“①高一数学教材中的中档题；②所有的正三角形；③方程的实数解”中，能够组成集合的是（ ）
A.②
B.③
C.②③
D.①②③
答案 C
点拨 能否组成集合，关键看对给定对象的判断标准是否明确，①的“中档题”没有明确的标准，故不能组成集合.
探究点2 集合与元素的关系
知识详解
我们常用大写拉丁字母等表示集合，用小写拉丁字母等表示集合中的元素.元素与集合之间有两种关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作或.
特别提示
（1）符号“”“”（或“”）是表示元素与集合之间关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系.
（2）与取决于a是不是集合A的元素.根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A，与（或）这两种情况中必有一种且只有一种成立.
典例探究
例2 数集A满足条件：若，则（），若，求集合A中的其他元素.
思路图示
答案 ，且，
,
故集合A中的其他元素为.
方法归纳
1.求集合中的元素，就是求满足集合中元素的特征的值.
2.注意集合中元素的互异.
变式训练2 集合，集合，下列选项中元素与集合的关系都正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
点拨 集合A中的元素y是实数，不是有序实数对，故B，D不正确；集合B中的元素是有序实数对而不是实数，所以A不正确，易知C正确.
探究点3..列举法
知识详解
1.将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内，这种表示集合的方法叫作列举法例如，“小于10的所有自然数组成的集合”表示为.
2.一般情况下，对于有限集，在元素不太多的情况下宜采用列举法，它具有直观明了的特点.
3.用列举法表示集合时，应注意：①元素间用“，”分隔；②集合中的元素要具有确定性、互异性、无序性三个特性；③若元素个数较多或无限个且构成集合的这些元素有明显规律，在不发生误解的情况下，也可用列举法，但必须把元素规律显示清楚后才能用省略号.如不超过100的正整数构成的集合可表示为.
典例探究
例3 已知集合是小于6的正整数，是小于10的质数，是24和36的公约数，用列举法表示下列集合：
（1）；
（2）.
解析 要求的集合M与N中的元素与集合有关，先将集合用列举法表示，然后求解.
答案 集合.
（1），且.
（2），且.
方法归纳 解此题的关键是理解M的元素既是A的元素又是C的元素，N的元素是B的元素但不是C的元素，这体现了符号语言和文字语言的互译.
变式训练3 设a，b都是非零实数，所有可能的值组成的集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 D
点拨 因为的结果是1还是，取决于x的正负，所以本题应从a，b的正负来分类讨论，共有四种情况，讨论得出结果，注意集合的元素不能重复.
探究点4 描述法
知识详解
1.将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成的形式，这样的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合的元素的般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
描述法的语言形式有三种：文字语言、符号语言、图形语言.
2.对无限集，一般采用描述法表示.它的优点是形式简洁，能充分体现集合中元素的特征.
3.使用描述法时，应注意六点：
①写清楚集合中元素的代表符号；
②说明该集合中元素的性质；
③不能出现未被说明的字母；
④多层描述时，应当准确使用“且”“或”；
⑤所有描述的内容都要写在括号内；
⑥用于描述的语句力求简明、确切.
典例探究
例4 用描述法表示下列集合：
（1）；
（2）；
（3）正偶数集；
（4）被3除余2的正整数组成的集合；
（5）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；
（6）.
解析 根据描述法的形式要求改写表示方法.
答案 （1）可表示为.
（2）可表示为.
（3）可表示为.
偶数用式子可表示为，但此题要求x为正偶数，故.
（4）可表示为.
设被3除余2的数为x，则，但此题要求x为正整数，故，，也可以写成，，注意此时n从1开始.
（5）可表示为.
此集合是点集，坐标轴上的点的特征是横、纵坐标中至少有一个为0，即.
（6）可表示为.
集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为，也可以写成.
方法归纳 用描述法表示集合的基本步骤：（1）弄清元素的形式；（2）写出代表元素，写在“”前面；（3）确定元素所具有的属性，写在“”的后面；（4）用花括号把它们括起来.
变式训练4 把下列用描述法表示的集合用列举法表示：
（1）；
（2）.
答案 （1），
.
（2）.
，即.
.
点拨 集合M中的代表元素是，集合N中的代表元素是，而不是x，同时要注意（1）中，，（2）中等约束条件.
易错易混解读
例 已知集合，且，则x的值为（ ）
A.
B.3
C.或3
D.
错解 C
错因分析 该题易错选C，原因是忽略了检验集合元素的互异性，导致多选了.
正解 ，
.
当时，，不满足互异性，故；
当时，解得（舍去），当时，集合，符合题意，.
答案 A
纠错心得 当集合中的元素含有字母时，求出参数后，一定要代回检验，确保满足集合元素的互异性.
课堂快速检测
一、选择题
1.下列各组对象能构成集合的有（ ）
①接近于0的实数；②小于0的实数；③与；④1，2，3.
A.1组
B.2组
C.3组
D.4
2.下列集合中与是同一集合的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知，且，则a的值为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
4.已知集合中的三个元素是的三边长，那么一定不是（ ）
A.锐角三角形
B直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
5.下列集合恰有两个元素的是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、解答题
6.用适当的方法表示下列集合
（1）大于小于12.8的整数的全体；
（2）梯形的全体构成的集合；
（3）所有能被3整除的数的集合；
（4）方程的解集；
（5）不等式的解集.
答案
1.
答案：C
解析：①中“接近于0”不是一个明确的标准，不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合；②中“小于0”是个明确的标准，能构成集合；③中与是两个不同的对象，是确定的，能构成集合，该集合有两个元素；④中的对象是确定的，可以构成集合，构成的集合为{1，2，3}.
2.
答案：D
解析：由集合中元素的无序性可知D正确.
3.
答案：D
解析：由元素与集合的关系知，.
4.
答案：D
解析：由集合中元素的互异性知互不相等，故选D.
5.
答案：C
解析：A表示只含有一个方程的集合；B表示函数中自变量的取值集合，有无数个元素；C表示方程的解集，有0，1两个元素；D表示函数的函数值的取值集合，有无数个元素.
6.
答案：见解析
解析：（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
要点概括整合
1.本节知识导图：
2.这节课所涉及的方法有分类讨论和转化的数学思想方法.
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