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《子集、全集、补集》课时同步详解
问题情境导入
人有高矮，实数有大小，我们刚刚学习了集合，那么在集合与集合之间存在着怎样的关系呢？本节课将揭开这个面纱.
新课自主学习
自学导引
1.如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若，则），那么集合A称为集合B的_______,记为A______B或B_____A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”.
我们知道A______A.即任何一个集合是它本身的子集.
我们规定，______A，即空集是任何集合的子集.
2.如果，并且，那么集合A称为集合B的_________,记为________或_________，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.
3.设，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的_______，记为_______（读作“A在S中的补集”），即_____________.
4.如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__________,全集通常记作__________.
答案
1.子集
2.真子集
3.补集
4.全集 U
预习测评
1.下列关系式中错误的个数为（ ）
①；②；③；④.
A.0
B.1
C.2
D.3
2.集合的所有子集为___________.
3.，则集合A与B之间的关系为_________.
4.，则集合A与集合B之间的关系为__________.
5.集合，则__________.
答案
1.
答案：C
解析：
2.
答案：
解析：
3.
答案：
解析：可通过在数轴上表示出两个集合观察得解.
4.
答案：
解析：A中的元素是2的倍数，B中的元素是4的倍数.
5.
答案：
解析：可通过在数轴上表示出来求解.
新知合作探究
探究点1 子集
知识详解
1.子集的定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若），那么集合A称为集合B的子集，记为，读作“集合A包含于集合B”
或“集合B包含集合A”.
（1）子集的定义用数学符号表述为：若，则.
（2）用Venn图表示，如图（1）（2）所示：
（3）我们规定空集是任意集合的子集.
（4）书写集合的子集可以按空集、单元素子集、双元素子集、三元素子集的顺序进行，特别要注意集合中的元素是什么，元素有几个.
2.子集的性质：
（1）反身性：任何一个集合都是它本身的子集，即.
（2）传递性：对于集合，如果，那么.
说明：（1）我们可类比实数的大小关系来理解子集的性质；
（2）若，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合，因为若，则A中不含任何元素；若，则A含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.
典例探究
例1 设集合，求集合B.
解析 观察B中元素的来源，知B的元素都来源于A，由此可写出集合B.
答案 B可以是：.
方法归纳 解决此题的关键是理解题意，集合B中的元素都来源于集合A，但须特别注意的是B不能是空集，因为空集不满足其元素来源于A.
变式训练1 设集合，求集合B.
答案 .
点拨 先审清题意，集合B的元素与集合A是子集关系，故集合B的元素x应为一个个集合.
方法归纳 要求一个集合应先明确集合的元素是什么，元素的个数是多少，再按照一定的顺序正确写出来，另外要注意集合的元素也可以是集合.
探究点2 真子集
知识详解
定义：如果，并且，那么集合A称为集合B的真子集，记为或，读作“A真包含于B”或“B真包含A”，用Venn图表示下：
特别提示
（1）当时，有两种可能，.
（2）要求满足两个条件：
①；
②至少存在一个元素，但.
（3）规定：时，，即空集是任何非空集合的真子集.
（4）对于集合，如果，那么.
典例探究
例2 指出下列各集合之间的关系：
（1）；
（2）；
（3）.
解析 （1）利用数轴直接判断.
（2）根据集合中元素的特征或集合的几何意义进行判断.
（3）用列举法表示出A，B，再进行判断.
答案 （1）A，B两个集合在数轴上表示如图所示：
由图可知.
（2），，所以.
（3），，但，其余元素相同，所以.
变式训练2 指出下列各集合之间的关系：
（1）是12的约数；
（2）是等边三角形，是等腰三角形；
（3）是8的正约数；
（4）.
答案 （1）集合A中的元素2，3，6都是12的约数，故它们都属于集合B，所以.更进一步，1也是2的约数，即，但是，故.
（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故.
（3）由题意可得，如图：
由图可得.
（4）用数轴表示集合A，B，如图所示：
由图可得.
方法归纳
1.对真子集概念的理解包括两个方面：首先是某集合的子集，其次不能与原集合相等.
2.判断集合M与N之间的关系时，必须明确指出“”“”“”“”“”哪些成立，最后选择恰当的关系
探究点3 全集与补集
知识详解
1.补集的定义：设，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为（读作“A在S中的补集”）.
数学符号语言表示为：.
用Venn图表示为：
特别提示
（1）补集是相对全集而言的.
（2）符合有三层意思.
①A是S的一个子集，即；
②是一个集合，也是S的一个子集，即；
③是由S中不属于A的所有元素组成的集合，即.
2.如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.
典例探究
例3 设集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.U
解析 因为集合，所以.
答案 A
变式训练3 若全集，则集合的补集为（ ）
A.
B.
C.{
D.
答案 C
点拨 如图，借助数轴易得.
变式训练4 设全集，则____________.
答案
点拨 若，则，与集合中元素的互异性矛盾，故从而，解得或（舍去），故，则.
易错易混解读
例 已知集合，若，则实数a的所有可能取值组成的集合为_________.
错解 因为，所以，因此有，即，所以.
答案为.
错因分析 若，则集合B可能为，错解中显然漏掉了此种情况.
正解 因为，所以当，即时，，因此有,即，所以；
当，即时，满足条件.
综上可得，实数a的所有可能的取值组成的集合为.
纠错心得 由于空集是任何集合的子集，又是任何非空集合的真子集，所以在遇到“”或“且”时，一定要注意讨论和两种情况，的情况易被忽略，应引起足够重视.
课堂快速检测
一、选择题
1.下列表述不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.已知集合，则下列表示不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.已知集合，满足条件的所有集合B的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
4.设是小于9的正整数}，，则_________,_________.
5.已知全集，则_________,_________.
答案
1.
答案：B
解析：由子集的概念知A，C，D表述正确；因为，所以没有子集关系，故选B.
2.
答案：B
解析：由题意可得，因为“”用于表示元素与集合之间的关系，而是一个集合，所以B不正确.
3.
答案：B
解析：，因为x为整数，另一个根舍去，这样集合A中只有一个元素，所以子集个数为2.
4.
答案：
解析：根据题意，可知,所以，.
5.
答案：
解析：如图，由数轴得，.
要点概括整合
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