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《子集、全集、补集》重点难点突破
1.子集的概念.
理解子集的概念，应注意以下几点：
（1）“A是B的子集”的含义是：A中任意一个元素都是B中的元素，即由任意，能推出.
（2）任何一个集合是它本身的子集，记作.
（3）空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有；空集是任何非空集合的真子集，即对于任一非空集合B，有.
（4）在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的部分元素”所组成的集合.
（5）注意子集的三种语言.
名称 记号 文字语言 符号语言 图形语言
子集 若集合A的任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集 若，则
真子集 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不在A中，则称A是B的真子集 若且，则
2.有限集合的子集个数.
根据子集的定义，集合A是集合B的子集，即，它可能包含几个方面：（1）；（2）；（3）.
当集合中元素个数是有限个时，其子集、真子集个数必为确定的，下面进行探讨：
当元素个数为0时，即集合为，此时子集个数为1，真子集个数为0；
当元素个数为1时，如集合，此时子集个数为2，真子集个数为1；
当元素个数为2时，如集合，此时子集个数为4，真子集个数为3；
当元素个数为3时，如集合，可采用列举法写出其子集，注意写子集时可按元素从少到多的顺序来写，从而做到不重不漏，集合的所有子集如下：
有0个元素的子集：.
有1个元素的子集：.
有2个元素的子集：.
有3个元素的子集：.
因此集合的所有子集为：.
集合的所有真子集为：.
故当元素个数为3时，其子集个数为8，真子集个数为7；
同样用列举法可得：当元素个数为4时，其子集个数为16，真子集个数为15.
至此，我们不难猜出：真子集个数比子集个数少1，且当元素个数为时，有如下结论：
①含有n个元素的集合有个子集；
②含有n个元素的集合有个真子集；
③含有n个元索的集合有个非空子集；
④含有n个元素的集合有个非空真子集.
特别注意：对于有限集，设集合A中含有n个元素，集合B中含有m个元素（）.若，则C的个数为；若，则C的个数为；若，则C的个数为；若，则C的个数为.
3.集合的图示法.
（1）Venn图.
①用Venn图表示集合间的基本关系如下：
②用venn图表示集合间的基本关系（如图）.
（2）数轴法.
对于由连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法在数轴上，若端点值是集合中的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示.
例如，集合与用数轴表示分别如图所示.
注意：当集合为连续型的无限集时，它们之间是否有包含关系常常利用数轴法来判断，即在数轴上表示出各集合，通过数轴直观地做出判断.
4.全集与补集.
（1）补集是相对全集而言的，它与全集不可分割，一方面，不定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围.
（2）补集既是集合的一种关系，同时也是集合的一种运算，求集合A的补集的前提是A为全集的子集，随着全集的不同，补集也会不同.
（3）若，则，二者必居其一.
（4）符号有三层意思：①A是U的子集，即；②表示一个集合，且；③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即，且.
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