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第1章 集合
第01讲 集合的概念与表示
课程标准 重难点
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合． 1．熟练掌握集合的表示及不同表示方法之间的相互转化2．判断集合与元素之间的关系3．集合的相等的时候易出现忽略集合的互异性.4．集合的描述法中，容易出先对点集数集之间的混淆.
一、元素与集合的概念
1.元素与集合的概念
(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
二、元素与集合的关系
1.元素与集合的关系　
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果 ，就说a属于A a∈A “a属于A”
不属于 如果 ，就说a不属于A aA “a不属于A”
2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立.
三、常用数集及表示符号3.
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
四、集合的表示方法
1列举法
把集合的所有元素 出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.
【特别提醒】列举法表示的集合的结构：
2.描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
【特别提醒】描述法表示的集合的结构：
考法01 集合概念的理解
集合是把一些元素组成的总体叫做集合，并且满足确定性、互异性、无序性，对于能否构成集合需要通过以上特性进行判断，满足三个特性则能够组成结合，否则不能组成集合.
(1)（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
A.中国各地的美丽乡村；
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
C.不小于3的自然数；
D.截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．
(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
【名师指点】判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
【跟踪训练】考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2019年在校的所有矮个子同学；
(4)的近似值的全体.
考法02 集合中的元素的性质及应用
求解集合的过程中，首先需要根据集合的确定性确定元素，之后再根据集合的互异性将重复的元素剔除，最后将符合条件的全体元素的取值.
已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
【名师指点】由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
【跟踪训练】
1. （变问法）若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．
2. （变条件）把例2的条件改为“已知集合A中含有两个元素a和a2，且1∈A”求实数a的值。
考法03 集合的表示方法
集合的表示方法有列举法跟描述法等多种表示方法，对于不同的集合要注意选择合适的方法。对于范围等回答时，注意写成集合形式.
用适当的方法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)比1大又比10小的实数组成的集合；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(5)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
【名师指点】
(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.
(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式.
【跟踪训练】用适当的方法表示下列集合：
(1)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
(3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)方程组的解集.
题组A 基础过关练
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
3．下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
5．设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
6．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的（ ）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
题组B 能力提升练
1．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A． B． C． D．
4．由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
5．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.
（1）且；（2）若、，则，且当时，有.
给出以下命题：
①集合是“好集合”；
②是“好集合”；
③是“好集合”；
④是“好集合”；
⑤设集合是“好集合”，若、，则；
其中真命题的序号是________.
6．若集合Z中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是________
7．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
8．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
题组C 培优拔尖练
1．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
2．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
3．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知集合A＝｛（x，y）｜｝，B＝｛（x，y）｜｝，设集合M＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜｝，则集合M中元素的个数为__________．
5．设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为________.
6．已知集合
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）设，求证：；并求满足不等式的的值.
第1章 集合
第01讲 集合的概念与表示答案
课程标准 重难点
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合． 1．熟练掌握集合的表示及不同表示方法之间的相互转化2．判断集合与元素之间的关系3．集合的相等的时候易出现忽略集合的互异性.4．集合的描述法中，容易出先对点集数集之间的混淆.
一、元素与集合的概念
1.元素与集合的概念
(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.
(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
二、元素与集合的关系
1.元素与集合的关系　
知识点 关系 概念 记法 读法
元素与集合的关系 属于 如果 ，就说a属于A a∈A “a属于A”
不属于 如果 ，就说a不属于A aA “a不属于A”
2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立.
三、常用数集及表示符号3.
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法
四、集合的表示方法
1列举法
把集合的所有元素 出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}.
【特别提醒】列举法表示的集合的结构：
2.描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有 的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
【特别提醒】描述法表示的集合的结构：
参考答案：
一、1．（1）集合 （2）确定性、互异性、无序性 （3）相等
二、 是集合A中的元素 不是集合A中的元素
三、N N*或N＋ Z Q R
四、1．一一列举 {　}
2.共同特征P(x) {x∈A|P(x)}
考法01 集合概念的理解
集合是把一些元素组成的总体叫做集合，并且满足确定性、互异性、无序性，对于能否构成集合需要通过以上特性进行判断，满足三个特性则能够组成结合，否则不能组成集合.
(1)（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是(　　)
A.中国各地的美丽乡村；
B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；
C.不小于3的自然数；
D.截止到2019年1月1日，参加一带一路的国家．
【答案】BCD
【解析】A中“美丽”标准不明确，不符合确定性，BCD中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD.
(2)下列说法中，正确的有______．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．
【答案】②
【解析】①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.
②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．
③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
【名师指点】判断一组对象是否为集合的三依据
(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．
(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．
(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．
【跟踪训练】考察下列每组对象能否构成一个集合：
(1)不超过20的非负数；
(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；
(3)某校2019年在校的所有矮个子同学；
(4)的近似值的全体.
【解析】(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；
(2)能构成集合；
(3)“矮个子”无明确的标准，对于某个人算不算矮个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
(4)“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合.
考法02 集合中的元素的性质及应用
求解集合的过程中，首先需要根据集合的确定性确定元素，之后再根据集合的互异性将重复的元素剔除，最后将符合条件的全体元素的取值.
已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．
【解析】∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，
若－3＝a－3，则a＝0，
此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1，
此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；
综上所述，a＝0或a＝－1.
【名师指点】由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤
【跟踪训练】
1. （变问法）若将“－3∈A”换成“a∈A”，求实数a的值．
【解析】∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，
解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，符合题意．
故所求a的值为1.
2. （变条件）把例2的条件改为“已知集合A中含有两个元素a和a2，且1∈A”求实数a的值。
【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.
当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.
当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．
∴a＝－1.
考法03 集合的表示方法
集合的表示方法有列举法跟描述法等多种表示方法，对于不同的集合要注意选择合适的方法。对于范围等回答时，注意写成集合形式.
用适当的方法表示下列集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；
(2)小于8的质数组成的集合B；
(3)比1大又比10小的实数组成的集合；
(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(5)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
【解析】(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．
(3){x∈R|1(4)集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}．
(5){x|x＝3n＋1，n∈N}．
【名师指点】
(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围.
(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示.注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式.
【跟踪训练】用适当的方法表示下列集合：
(1)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；
(2)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
(3)不等式x－2>6的解的集合；
(4)方程组的解集.
【解析】 (1)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，，所以C＝.
(2)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，所以D＝{(1,4)}．
(3){x|x>8}；
(4)解集用描述法表示为，解集用列举法表示为{(4，－1)}.
题组A 基础过关练
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合，所以，故选：D.
2．下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
【答案】D
【解析】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D
3．下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为N*是不含0的自然数，所以①错误;
取a=，则- N， N，所以②错误;
对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;
对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A
4．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【解析】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B
5．设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当，时，；当，时，；
当，或时，；当，时，；
当，或，时，；当，时，；
，故中元素的个数为个.故选：B.
6．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，
所以C={5，6，7,8}.即C中元素的个数为4.故选：B.
7．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．故选：D．
8．下列命题中正确的（ ）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
【答案】C
【解析】①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．故选：C.
题组B 能力提升练
1．集合，用列举法可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵是6的约数，
，
,得
,得
,得
,得
,得,与已知矛盾，故；
,得；
,得, 与已知矛盾，故
得.
故的值只能是，
对应的值依次为即.故选：.
2．定义集合运算：.设，，则集合中的所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，所以中所有元素之和为，故选：A.
3．已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，
则有序集合对的个数为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素
1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；
2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：
（1），；（2），；（3），；（4），．共计4种可能．
3、可以推测集合A中不可能有3个元素；
4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能．
5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可．共1种可能．
综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10．答案选A．
4．由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
5．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”.
（1）且；（2）若、，则，且当时，有.
给出以下命题：
①集合是“好集合”；
②是“好集合”；
③是“好集合”；
④是“好集合”；
⑤设集合是“好集合”，若、，则；
其中真命题的序号是________.
【答案】③④⑤
【解析】对于命题①，，，但，①错误；
对于命题②，，但，②错误；
对于命题③④，显然，集合、均满足（1）（2），所以，、都是“好集合”，③④正确；
对于命题⑤，当时，由于，则，
当，则，⑤正确.
故答案为：③④⑤.
6．若集合Z中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是________
【答案】
【解析】f（x）＝x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，
即x2﹣2x+1＜a（x+1）﹣1，
分别令y＝x2﹣2x+1，
y＝a（x+1）﹣1，易知过定点（﹣1，﹣1），
分别画出函数的图象，如图所示：
∵集合A＝{x∈Z|f（x）＜0}中有且只有一个元素，即点（0，0）和点（2,1）在直线上或者其直线上方，点（1,0）在直线下方，结合图象可得
∴，
解得a
故答案为（，]
7．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【解析】（1）因为若，则，，
所以，，，
所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：， 由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
8．已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【解析】（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
题组C 培优拔尖练
1．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（ ）
（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.
A．（1）（3） B．（1）（2）
C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】由①可知.
对于（1），若，对任意的，，则，
所以，，这与矛盾，（1）正确；
对于（2），若且，则，，，
依此类推可得知，，，，，，（2）正确；
对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，
所以，，（3）正确；
对于（4），由（2）得，，取 ，则，所以（4）错误.
故选：C.
2．设，，为实数，记集合，，，.若，分别为集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【解析】令，则方程至少有个实数根，
当时，方程还有一个根，
只要，方程就有个实数根，
，方程只有个实数根，
当时，方程只有个实数根，
当时，方程有个或个实数根，
当时，且，
当时，且，
当时，且，
若时，有一个解，有两个解，
且的解不是的解，
，即，
的解不是的解，
又有两个解，故，
有两个不等的根，
有3个解，即，
故不可能成立，故选：.
3．对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】集合，，，
对于①，，，
则恒有，
，即，，则，①正确；
对于②，，，
若，则存在，使得，
，
又和同奇或同偶，
若和都是奇数，则为奇数，而是偶数；
若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，
，即，②正确；
对于③，，，
可设，，、；
则
那么，③正确．
综上，正确的命题是①②③．故选．
4．已知集合A＝｛（x，y）｜｝，B＝｛（x，y）｜｝，设集合M＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜｝，则集合M中元素的个数为__________．
【答案】59
【解析】由题意知，，B中有个元素，当时，B中的元素都在M中；当时，M中元素各增加7个；当时，M中元素各增加5个，所以M中元素共有个．
5．设集合，在S上定义运算为：，其中k为被4除的余数，i，，1，2，3，则满足关系式的x（）的个数为________.
【答案】2
【解析】当时，
当时，
当时，
当时，
则满足关系式的的个数为：2个．故答案为：2．
6．已知集合
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）设，求证：；并求满足不等式的的值.
【解析】（1）证明：若，则且.
所以
因为所以原式.
因为.所以偶数.原式得证
（2）因为，且则，所以
设，.
由（1）可知，即
所以或.
当时，代入可得
此时，满足，所以成立
当时，代入解得，
不满足，所以不成立；
综上，可知
（3）证明：因为，所以可设且
则
代入得：
即成立，
原式得证
对于，不等式同时除以可得
由（2）可知，在范围内，
所以，即.
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