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第1章 集合
第02讲 子集、全集、补集
课程标准 重难点
1、了解集合之间包含关系的意义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、了解全集的意义，理解补集的概念． 1．根据集合关系求解集合或参数2．判断集合间的关系3. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集
一、Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用 的 代表集合．
二、子集、真子集、集合相等的相关概念
【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？
【特别提醒】
符号“∈”与“ ”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“ ”表示集合与集合之间的关系．
三、全集
1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为 ．
2.记法：全集通常记作 .
【思考】全集一定是实数集R吗？
四、补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作
符号语言 UA＝
图形语言
【特别提醒】
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
(3)符号 UA有三层意思：
①A是U的子集，即A U；
② UA表示一个集合，且( UA) U；
③ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
(4)若x∈U，则x∈A或x∈ UA，二者必居其一．
考法01 子集
集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断.
判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1【名师指点】
判断集合关系的方法.
1观察法：一一列举观察.
2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
3数形结合法：利用数轴或Venn图.
提醒：若A B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.
【跟踪训练】
下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ {0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
考法02 子集、真子集个数
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
(1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
(2)写出满足{3，4}P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
【名师指点】求集合子集、真子集个数的3个步骤
【跟踪训练】
已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
考法03 补集的基本运算
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
（2）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则 UA等于(　　)A．{x|0C．{x|0【跟踪训练】
（1）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM等于(　　)
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则 UA＝________.
考法04 与补集有关的参数值的求解
由集合的补集求解参数的问题
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．　　
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【跟踪训练】
变式1. （变条件）将例3中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
变式2. （变条件）将例3中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
题组A 基础过关练
1．集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，，则（ ）
A． A B．A C． D．
6．设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
7．若集合，，满足，则下面选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
题组B 能力提升练
1．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
2．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，，则___________.(填“” “” “”或“”)
5．已知集合U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若满足，则实数a的取值范围为__.
6．已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．
7．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠ 且B A，求a，b.
8．（1）已知集合，当，求的值；
（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．
题组C 培优拔尖练
1．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A． B．AB=C C．ABC D．BCA
2．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数一定为偶数；
④若，则.
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．，非空集合，是的子集，且，使得都有，则满足条件的集合对共___________对.
4．已知集合关于的方程有整数解}，集合A满足条件：①A是非空集合且；②若，则．则所有这样的集合A的个数为______．
5．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
6．已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若且，求实数的取值范围.
第1章 集合
第02讲 子集、全集、补集答案
课程标准 重难点
1、了解集合之间包含关系的意义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、了解全集的意义，理解补集的概念． 1．根据集合关系求解集合或参数2．判断集合间的关系3. 理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集
一、Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用 的 代表集合．
二、子集、真子集、集合相等的相关概念
【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？
【特别提醒】
符号“∈”与“ ”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“ ”表示集合与集合之间的关系．
三、全集
1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为 ．
2.记法：全集通常记作 .
【思考】全集一定是实数集R吗？
四、补集
自然语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作
符号语言 UA＝
图形语言
【特别提醒】
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
(3)符号 UA有三层意思：
①A是U的子集，即A U；
② UA表示一个集合，且( UA) U；
③ UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．
(4)若x∈U，则x∈A或x∈ UA，二者必居其一．
参考答案：
一、封闭曲线 内部
二、 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．
三、1.所有元素 全集 2. U
提示：全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
四、不属于集合A UA {x|x∈U，且x A}
考法01 子集
集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断.
判断下列各组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；
(3)A＝{x|－1【解析】 (1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB.
(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAC.
(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2 A，故AB.
【名师指点】
判断集合关系的方法.
1观察法：一一列举观察.
2元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.
3数形结合法：利用数轴或Venn图.
提醒：若A B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系.
【跟踪训练】
下列各式中，正确的个数是(　　)
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2} {2,1,0}；③ {0,1,2}；④ {0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；
对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；
对于③，空集是任何集合的子集；
对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}；
对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；
对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．
考法02 子集、真子集个数
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个．
(2)A的非空子集的个数有2n－1个．
(3)A的真子集的个数有2n－1个．
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
(1)集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
【答案】　，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7
【解析】集合{a，b，c}的子集有：，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.
(2)写出满足{3，4}P {0，1，2，3，4}的所有集合P.
【解析】由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.
【名师指点】求集合子集、真子集个数的3个步骤
【跟踪训练】
已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
【解析】因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
所以A的子集有： ，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
考法03 补集的基本运算
求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；
②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
【答案】{2,3,5,7}
【解析】法一：∵A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
法二：借助Venn图，如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
（2）若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则 UA等于(　　)
A．{x|0C．{x|0【答案】C
【解析】∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴ UA＝{x|0【跟踪训练】
（1）设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则 UM等于(　　)
A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
【答案】C
【解析】∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴ UM＝{3,5,6}．
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则 UA＝________.
【答案】{x|x＜－3或x＝5}
【解析】将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集定义可得 UA＝{x|x＜－3或x＝5}．
考法04 与补集有关的参数值的求解
由集合的补集求解参数的问题
(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．
(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．　　
设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【解析】法一　(直接法)：由A＝{x|x＋m≥0}＝{x|x≥－m}，得 UA＝{x|x<－m}．
因为B＝{x|－2所以－m≤－2，即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
方法二　(集合间的关系)：由( UA)∩B＝ 可知B A，
又B＝{x|－2结合数轴：
得－m≤－2，即m≥2.
【跟踪训练】
变式1. （变条件）将例3中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
【解析】由已知得A＝{x|x≥－m}，所以 UA＝{x|x<－m}，
又( UA)∩B＝B，所以－m≥4，解得m≤－4.
变式2. （变条件）将例3中条件“( UA)∩B＝ ”改为“( UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
【解析】由已知A＝{x|x≥－m}， UB＝{x|x≤－2或x≥4}．
又( UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.
题组A 基础过关练
1．集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
2．已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为集合，画出如下示意图：
由图可知集合有9个元素，集合的所以子集的个数为，
所以集合的真子集的个数为，故选：A.
3．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，，，故选：．
4．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因，而，
所以时，即，则，此时
时，，则，无解，
综上得，即实数的取值范围是.故选：C
5．设集合，，则（ ）
A． A B．A C． D．
【答案】B
【解析】对于集合A，当，时，，
当，时，,所以或，所以A，故选：B．
6．设全集，且，则满足条件的集合的个数是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由不等式，解得，即
又由，可得满足条件的集合的个数为．故选：D
7．若集合，，满足，则下面选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由知：，即A错误，
∴，即B错误；仅当时，即C错误；，即D正确.故选：D.
8．定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.
题组B 能力提升练
1．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，得，
所以实数m的取值集合为.故选：C
2．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】据题意，所以.故选：C
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A. 为偶数，故，故
B. ，故B错
C. ，故错
D. ,故D错.故选：A
4．设，，则___________.(填“” “” “”或“”)
【答案】
【解析】由可知集合是由的自然数倍减去的数构成的，
即，
可知集合是由的非负偶数倍减去的数构成的，
即，
自然数包括非负偶数，
所以，故答案为：.
5．已知集合U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若满足，则实数a的取值范围为__.
【答案】a≤﹣1
【解析】因为A＝{x|﹣1≤x≤1}，所以 UA＝{x|x＞1或x＜﹣1}，
B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}
若B UA，则a≤﹣1.故答案为：a≤﹣1.
6．已知集合，若A的子集个数为2个，则实数______．
【答案】或1
【解析】A的子集个数为2个，所以集合A只有一个元素，
即关于x的方程只有一个根.
当时，方程只有一个根符合题意；
当时，关于x的方程只有一个根，只需，解得：.
故或1.故答案为：或1.
7．设A={﹣3，4}，B={x|x2﹣2ax+b=0}，B≠ 且B A，求a，b.
【解析】因为B≠ ，B A，
所以B={﹣3}或{4}或{﹣3，4}.
当B={﹣3}时，，解得a=﹣3，b=9；
当B={4}时，，解得a=4，b=16；
当B={﹣3，4}时，，解得a=，b=﹣12.
8．（1）已知集合，当，求的值；
（2）已知集合，，若，求实数的取值范围．
【解析】（1）若，则，，不合题意；
若，则或-2，当时，，当时，，不合题意；
若，则或-2，都不合题意；因此，所以．
（2），，∴借助数轴可得，
的取值范围为．
题组C 培优拔尖练
1．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A． B．AB=C C．ABC D．BCA
【答案】B
【解析】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AB=C．故选B.
2．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数一定为偶数；
④若，则.
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.所以当，则有，，，
进而有：，，，
①若，则，正确；
②若，则，，，能确定4个元素，不正确；
③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；
④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确，
综上：①③④正确.故选C.
3．，非空集合，是的子集，且，使得都有，则满足条件的集合对共___________对.
【答案】70
【解析】根据题意，分3种情况讨论：
①A中最大的元素为2，此时或，共有2种情况，B只有1种情况，则此时集合对有对；
②A中最大的元素为3，此时或或或，A有4种情况，B有4-1=3种情况， 则此时集合对有对；
③A中最大的元素为4，此时或或或或或或或，A有8种情况，B有8-1=7种情况， 则此时集合对有对；则符合题意为集合对有2+12+56 =70对，故答案为：70.
4．已知集合关于的方程有整数解}，集合A满足条件：①A是非空集合且；②若，则．则所有这样的集合A的个数为______．
【答案】15
【解析】设，为方程的两个根，则，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
，
由条件①知且，又由条件②知A是有一些成对的相反数组成的集合．
所以的4对相反数共能组成个不同的非空集合A．故答案为：15.
5．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【解析】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：；
（2）由题，中最多两个元素，对于方程
当集合时：
，即时，方程无解，，符合题意；
当集合中只有一个元素时：
，即时，方程的解为，，符合题意；
当中有两个元素时：
，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素，
此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：；
综上所述：或.
6．已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若且，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得方程有实数解，
，得，
实数的取值范围是.
（2），且，
当，，得；
当时，
当时，，此时，满足，符合题意.
当时，，中有两个元素，
若，则，从而，无解.
综上，实数的取值范围为.
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能力拓展
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