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《交集、并集》课时同步详解
问题情境导入
学校举行数学、物理竞赛，参加数学竞赛的有100人，参加物理竞赛的有80人那么总的参赛人数是多少？能否说是180人？这里把参加数学竞赛的看作集合A，把参加物理竞赛的看作集合B，那么这两个集合会有哪些关系呢？请看下面5个图示.
图（1）给出了两个集合A，B；
图（2）阴影部分是A与B的公共部分；
图（3）阴影部分是由A，B组成；
图（4）集合A是集合B的真子集；
图（5）集合B是集合A的真子集.
你能结合图形说出阴影所表示的含义吗？
新课自主学习
自学导引
1.一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，称为A与B的_________，记作（读作“A交B”），即.
可用下图中的阴影部分来表示：
2.一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为集合A与B的_________，记作___________（读作“A并B”），即.
可用图中的阴影部分来表示：
3.分别叫作_________区间、________区间，叫作__________区间，叫作区间，a，b叫作相应区间的__________.
4.，.
5.,
答案
1.交集
2.并集
3.闭 开 左闭右开 左开右闭 端点
4.
5.
预习测评
1.设，则____________,____________.
2.设集合，则____________,____________.
3.设是小于9的正整数}，，则__________.
4.设集合，则__________,__________.
5.集合化为区间_________.
答案
1.
2.
3.
4.
5.
新知合作探究
探究点1 交集
知识详解
1.定义：（1）自然语言：由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作（读作“A交B”）.
（2）符号语言：.
（3）图形语言：
2.对交集的几点说明：
（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素.
（2）两个集合的交集仍是一个集合不仅表示“中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时还表示“集合A与B的公共元素都属于”，这就是定义中“所有”二字的含义，而不是“部分”公共元素.
（3）简而言之，交集是找公共的元素.
3.性质探究：①；②；③；④若，则；⑤；⑥.
典例探究
例1 已知集合，集合，则_________.
解析 ，
.
作出数轴表示集合A和，如图所示.
由图可知.
答案
变式训练1 （1）已知集合，，则____________；
（2）设集合，则____________.
答案 （1）（2）
点拨 （1）.
（2）集合A表示的函数值组成的集合，故，B表示上的点组成的集合，是点集，故.
例2 已知集合，且，则实数a的所有取值组成的集合为
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知
.
经检验符合题意.
答案 A
方法归纳 解与集合中的元素有关的问题时，最后结果要检验.一方面看是否符合题意，另一方面看是否符合集合的元素的三大特征.
变式训练2 已知集合.若有，求a的值.
答案 ，即或或.经检验知：.
方法归纳
1.求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏.
2.求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素（区间），有必要时可借助于数轴或Venn图解决.
探究点2 并集
知识详解
1定义：（1）自然语言：由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作（读作“A并B”）.
（2）符号语言：.
（3）图形语言：
2.对于并集的理解：
（1）仍是一个集合，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成.
（2）简而言之，并集是找所有的元素，
3.并集的运算性质：①；②；③；④，；⑤.
典例探究
例3 若，则___________.
解析 用数轴表示出A，B，如图.
.
答案
方法归纳 两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合，它们的公共元素在并集中只能出现一次，对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题.
变式训练3 已知集合,，则集合是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案 C
点拨 .
例4 已知，若，写出符合条件的集合B.
解析 由条件可知集合B中必定含有元素2，可能不含集合A中的元素，也可能含有集合A中的元素，但不可能含有0，1，2以外的元素.
答案 因为，所以或.
方法归纳 当集合的元素个数不确定时要有分类讨论的意识.
变式训练4 若集合，若，则满足条件的实数x的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C
点拨 或，且.
若，则，此时或，符合题意；若，则（舍去），此时，符合题意.
综上可得：满足条件的，或，共3个，故选C.
探究点3 区间
知识详解
用区间表示集合表述起来更加简洁清晰，把集合化为区间时，务必注意端点的开闭如果集合为“<”“>”的形式，则化为区间时为开区间，用小括号表示；如果集合为“≤”“≥”的形式，则化为区间时为闭区间，用中括号表示；特别注意无穷时一定用开区间的形式具体如下表：
设a，b为任意实数，且，则有：
典例探究
例5 集合.
先将A，B两个集合化为区间，再求.
解析 先将集合A，B化成区间表示的形式，再借助数轴求解.
答案 如图，，所以.
方法归纳 对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题，在将集合化为区间时，一定要注意端点，如果含等号就用中括号，如果不含等号就用小括号.
变式训练5 集合，则__________,____________.
答案
点拨 借助下列数轴求解.
易错易混解读
例 已知，若，求a的取值范围.
错解 .如图.
则有
解得a.
的取值范围是.
错因分析 若，则集合A可能为，错解中只讨论了集合A非空的情况，故错误原因为讨论不全面.
正解 .
（1）若,则，解得；
（2）若，如图所示:
则有
解得.
综上所述，a的取值范围是.
纠错心得
1.在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现，应转化为，然后用集合间的关系解决问题，并注意的情况，切不可漏掉.
2.集合运算常用的性质：
（1）；（2）；（3）.
课堂快速检测
一、选择题
1.若集合，则集合等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2.若集合，则（ ）
A.
B.{
C.
D.
3.满足条件的所有集合A的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题
4.若集合，则__________,__________.
三、选择题
5.设集合，则（ ）
A.
B.
C.
D.
四、填空题
6.已知集合,.若必，则___________.
答案
1.
答案：D
解析：集合集合.
2.
答案：B
解析：，且.
3.
答案：D
解析：或，故集合A有4种可能.
4.
答案：
解析：如图所示：
.
5.
答案：C
解析：由得所以.故选C.
6.
答案：
解析：.因为，且，所以，.由得，所以或.当时，，与矛盾；当时，，符合题意故a的值为.
要点概括整合
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