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第1章 集合
第03讲 交集、并集
课程标准 重难点
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合． 1．熟练掌握集合的表示及不同表示方法之间的相互转化2．判断集合与元素之间的关系3．集合的相等的时候易出现忽略集合的互异性.4．集合的描述法中，容易出先对点集数集之间的混淆.
一、交集
【特别提醒】
交集有下列运算性质：A∩B＝ ；A∩A＝ ；A∩ ＝ 。
二、并集
【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
考法01 交集的运算
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　
（1）若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{－3，2} D.{－2，3}
（2）已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x<2}
C．{x|－1【跟踪训练】
（1）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}
（2）若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝(　　)
A.{x|－2C.{x|－1考法02 并集的运算
求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　　　　　　　　 　B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
【跟踪训练】
设集合A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于(　　)
A.{－2} B.{－2，3}
C.{－1，0，－2} D.{－1，0，－2，3}
考法03 集合交、并运算的性质及综合应用
利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝AAB，A∪B＝ABA.
(2)关注点：当集合AB时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的情况，否则易漏解
（易错题）已知集合A＝{x|－3【名师点拨】因为是任何集合的子集，所以当作为子集的集合中含有字母时，要考虑该集合是否可以为。
【跟踪训练】
变式1. （变条件）把例3的条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围。
变式2. （变条件）把例3的条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3考法04 集合交、并、补集的综合运算
解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2【跟踪训练】已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求 U(A∪B)， U(A∩B)，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)．
题组A 基础过关练
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合M，N都是R的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则集合中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
5．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，均为的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
题组B 能力提升练
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．已知是自然数集，集合，，则有（ ）
A． B． C． D．以上都不对
4．已知集合}，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．设集合，且，则实数的取值范围是____.
6．设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是________
7．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数t的取值范围．
8．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
题组C 培优拔尖练
1．设非空集合S R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（ ）
A．有理数集Q是封闭集
B．若S是封闭集，则S一定是无限集
C．一定是封闭集
D．若是封闭集，则一定是封闭集
2．设集合，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设集合,集合有个元素，且，若所有可能的的各个元素之和是，则的所有可能值为________.
4．已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
5．已知全集，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求
6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的实数存在，求的取值范围；若问题中的实数不存在，请说明理由.
已知集合，，是否存在实数，使得________？
第1章 集合
第03讲 交集、并集答案
课程标准 重难点
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合． 1．熟练掌握集合的表示及不同表示方法之间的相互转化2．判断集合与元素之间的关系3．集合的相等的时候易出现忽略集合的互异性.4．集合的描述法中，容易出先对点集数集之间的混淆.
一、交集
【特别提醒】
交集有下列运算性质：A∩B＝ ；A∩A＝ ；A∩ ＝ 。
二、并集
【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？
【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？
参考答案：
一、 B∩A A
二、1.提示： “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示．
2. 提示：不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．
考法01 交集的运算
求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　
（1）若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{2} B.{3}
C.{－3，2} D.{－2，3}
【答案】A
【解析】易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.
（2）已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝(　　)
A．{x|x>－1} B．{x|x<2}
C．{x|－1【答案】C　
【解析】在数轴上标出集合A，B，如图所示，故A∩B＝{x|－1【跟踪训练】
（1）设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝(　　)
A.{2} B.{1，2，4}
C.{1，2，4，6} D.{1，2，3，4，6}
【答案】B
【解析】由题意可得：A∪B＝{1，2，4，6}，∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}.故选B.
（2）若集合A＝{x|－23}，则A∩B＝(　　)
A.{x|－2C.{x|－1【答案】A
【解析】∵A＝{x|－23}，∴A∩B＝{x|－2考法02 并集的运算
求集合并集的方法
(1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集．
(2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集．
(3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集．
(1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　)
A．{0}　　　　　　　　 　B．{0,2}
C．{－2,0} D．{－2,0,2}
【答案】D
【解析】M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，故选D.
(2)已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝(　　)
A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5C．{x|－35}
【答案】A
【解析】在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．
【跟踪训练】
设集合A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于(　　)
A.{－2} B.{－2，3}
C.{－1，0，－2} D.{－1，0，－2，3}
【答案】D
【解析】因为A＝{－1，0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2，3}，
所以A∪B＝{－1，0，－2，3}.故选D.
考法03 集合交、并运算的性质及综合应用
利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点
(1)依据：A∩B＝AAB，A∪B＝ABA.
(2)关注点：当集合AB时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝的情况，否则易漏解
（易错题）已知集合A＝{x|－3【解析】 (1)当B＝ ，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.
(2)当B≠ 时，要使A∪B＝A，只需解得2≤k≤
综合(1)(2)可知k≤.
【名师点拨】因为是任何集合的子集，所以当作为子集的集合中含有字母时，要考虑该集合是否可以为。
【跟踪训练】
变式1. （变条件）把例3的条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围。
【解析】由A∩B＝A可知A B，所以即所以k∈ ，
所以k的取值范围为 。
变式2. （变条件）把例3的条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x|－3【解析】由题意可知解得k＝3，所以k的值为3。
所以k的值为3。
考法04 集合交、并、补集的综合运算
解决集合交、并、补运算的技巧
（1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.
（2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2【解析】把集合A，B在数轴上表示如下：
由图知 RB＝{x|x≤2，或x≥10}，A∪B＝{x|2所以 R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．
因为 RA＝{x|x<3，或x≥7}，
所以( RA)∩B＝{x|2【跟踪训练】已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求 U(A∪B)， U(A∩B)，( UA)∩( UB)，( UA)∪( UB)．
【解析】法一　∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∴ U(A∪B)＝{6,7,9}．∵A∩B＝{5,8}，∴ U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
∵ UA＝{1,3,6,7,9}， UB＝{2,4,6,7,9}，∴( UA)∩( UB)＝{6,7,9}，
( UA)∪( UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．
法二　作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．
题组A 基础过关练
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得,,
所以故选：A
2．已知集合M，N都是R的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知：，所以，即.故选：A
3．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以．故选：C
4．已知，，则集合中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，共9个元素．故选：C．
5．下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，
当B为全集时，阴影部分表示的补集，当为全集时，阴影部分表示A的补集，故选：C.
6．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵集合，
，
因为
∴，所以，故选：B.
7．已知，均为的子集，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以.故选：A
8．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵集合，，
∴，故错误；
，故错误；
，故错误；
或，
，故D正确.故选：D.
题组B 能力提升练
1．已知集合，，则的子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，因此，的子集个数为.故选：B.
2．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】∵，，
∴，
∴中元素的个数为：5.
故选：B.
3．已知是自然数集，集合，，则有（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】D
【解析】化简集合、：因为是9的约数，所以，，得，同理时，即ABC错，故选：D.
4．已知集合}，则集合中元素的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由可得, ，即,
N中的满足的整点有：
，共9个点，
其中只有(1,1)这一个点不满足，
故中的元素个数为8个，故选：C.
5．设集合，且，则实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】由题意，可得是集合的子集，
又，
当是空集时，即方程无解，则满足，解得，即，此时显然符合题意；
当中只有一个元素时，即方程只有一个实数根，此时
，解得，则方程的解为或，并不是集合的子集中的元素，不符合题意，舍去；
当中有两个元素时，则，此时方程的解为，，由根与系数之间的关系，可得两根之和为5，故；当时，可解得，符合题意.综上的取值范围为.
故答案为：
6．设为非空实数集满足：对任意给定的（可以相同），都有，，，则称为幸运集.
①集合为幸运集；②集合为幸运集；
③若集合、为幸运集，则为幸运集；④若集合为幸运集，则一定有；
其中正确结论的序号是________
【答案】②④
【解析】①当，，所以集合P不是幸运集，故错误；
②设，则，所以集合P是幸运集，故正确；
③如集合为幸运集，但不为幸运集，如时，，故错误；
④因为集合为幸运集，则，当时，，一定有，故正确；
故答案为：②④
7．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数t的取值范围．
【解析】（1）化简得={x|1＜x＜3}，
当t＝2时，，∴＝；
（2）∵N M，且={x|1＜x＜3}，∴在上恒成立，
参变分离得，令，则在上递增，
∴，∴.∴实数t的取值范围为：．
8．已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，中不等式为，即，
∴或，则
（2）∵，∴，
①当时，，即，此时；
②当时，，即，此时.
综上的取值范围为.
题组C 培优拔尖练
1．设非空集合S R.若x，y∈S，都有x+y，x-y，xy∈S，则称S是封闭集.下列结论正确的是（ ）
A．有理数集Q是封闭集
B．若S是封闭集，则S一定是无限集
C．一定是封闭集
D．若是封闭集，则一定是封闭集
【答案】AC
【解析】对于：有理数集，相加，相减，相乘还为有理数，故正确；
对于：若，则，，此时，故为封闭集，故错误；
对于，任取，，
所以，，
．，故正确；
对于：若，是封闭集，设，，
则，，
但是，不一定属于，所以不一定是封闭集，故错误；
故选：．
2．设集合，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】，
，
当时，为奇数，为偶数，
则，，，.故选：CD.
3．设集合,集合有个元素，且，若所有可能的的各个元素之和是，则的所有可能值为________.
【答案】或
【解析】当时，，元素和为：，不符；
当时，
，每个数字出现次，元素和为：，不符；
当时，
，每个数字出现次，元素和为：，符合；
当时，
，每个数字出现次，元素和为：，符合；
当时，，每个数字出现次，元素和为：，不符合；
综上：或.
4．已知集合为非空数集，定义：
，
（1）若集合，直接写出集合，.
（2）若集合，，且，求证：
（3）若集合，，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【解析】（1）根据题意，由，则，；
（2）由于集合，，且，
所以中也只包含四个元素，
即，
剩下的，
所以；
（3）设满足题意，其中，
则，
，
，
，
，，
中最小的元素为0，最大的元素为，
，
，
，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，即，
故的最小值为674，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值是1347.
5．已知全集，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，，求
【解析】（1）若，则方程无实数解，
，则.
（2）∵，
∴方程的一个根为4，则，方程另一个根为3.
∴.
∵，
∴方程的一个根为2，则，方程另一个根为3.
∴∴
6．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的实数存在，求的取值范围；若问题中的实数不存在，请说明理由.
已知集合，，是否存在实数，使得________？
【解析】集合.
若选①：
或，
由得，
当时，，解得；
当时，或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
综上，存在实数，使得，
且的取值范围为.
若选②：
或，
由，得，
所以，解得，
所以不存在实数，使得.
若选③：
由可知，
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，存在实数，使得，
且的取值范围为.
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