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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
教学目标
能对全称量词命题与存在量词命题进行否定（重点、难点）
01
02
03
04
全称量词命题和存在量词命题的否定
学科素养
数学抽象
直观想象
对全称量词命题与存在量词命题进行否定
逻辑推理
全称量词命题与存在量词命题的应用
数学运算
数据分析
数学建模
全称量词命题和存在量词命题的否定
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
全称量词与存在量词
全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，
并用符号“ ”表示．
全称量词命题的表述形式：全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)” .
存在量词：短语“存在一个”“至少一个”在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示．
存在量词命题的表述形式：全称量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，
可用符号简记为“ x∈M，p(x)”.
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定．
例如：
“56是7的倍数”的否定是：“56不是7的倍数”；
“空集是集合A={1，2，3}的真子集”的否定是：“空集不是集合A={1，2，3}的真子集”．
注：一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
写出下列命题的否定
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；
（3） x∈R，x+|x|≥0．
它们与原命题在形式上有什么变化？
探究
（1）的否定：“并非所有的矩形都是平行四边形”，
即“存在一个矩形不是平行四边形”；
（2）的否定：“并非每一个素数都是奇数”；
即“存在一个素数不是奇数”；
全称量词命题的否定
（3）的否定： x∈R，x+|x|<0．
全称量词命题的否定变成了存在量词命题.
（1）的否定：“存在一个矩形不是平行四边形”；
（2）的否定：“存在一个素数不是奇数”；
全称量词命题的否定
写出下列命题的否定
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；
（3） x∈R，x+|x|≥0．
它们与原命题在形式上有什么变化？
探究
全称量词命题：
的否定为：
即“ x∈M， p(x)．”
对任意的x∈M，p(x)成立．
存在x∈M，p(x)不成立，即存在x∈M，p(x)的对立面成立．
“ x∈M，p(x)．”
p(x)
全称量词命题的否定：
全称量词命题的否定
【例3】写出下列全称量词命题的否定．
(1)所有能被3整除的整数都是奇数；
存在一个能被3整除的整数不是奇数.
(2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.
(3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
存在x∈Z，x2的个位数字等于3.
全称量词命题的否定
写出下列命题的否定
（1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形；
（3） x∈R，x2－2x+3=0．
它们与原命题在形式上有什么变化？
探究
（1）的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，
即“所有实数的绝对值都不是正数”；
（2）的否定：“每一个平行四边形都不是菱形”；
存在量词命题的否定
写出下列命题的否定
（1）存在一个实数的绝对值是正数； （2）有些平行四边形是菱形；
（3） x∈R，x2－2x+3=0．
它们与原命题在形式上有什么变化？
探究
（3）的否定： x∈R，x2－2x+3≠0．
存在量词命题的否定变成了全称量词命题.
（1）的否定：“所有实数的绝对值都不是正数”；
（2）的否定：“每一个平行四边形都不是菱形”；
存在量词命题的否定
存在量词命题的否定：
存在量词命题：
的否定为：
即“ x∈M， p(x)．”
存在x∈M，p(x)成立．
不存在x∈M，p(x)成立，即任意x∈M，p(x)不成立
任意x∈M，p(x)的对立面 p(x)成立．
“ x∈M，p(x)．”
存在量词命题的否定
存在量词命题的否定
【例4】写出下列全称量词命题的否定.
(1) x∈R，x+2≤0；
x∈R，x+2＞0；
(2)有的三角形是等边三角形；
所有的三角形都不是等边三角形；
(3)有一个偶数是素数.
任意一个偶数都不是素数.
【例5】写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)任意两个等边三角形都相似；
(2) x∈R，x2－x+1=0；
命题的否定： x∈R，x2-x+1≠0.
因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.
因为对于任意x∈R，x2-x+1= ,所以这是一个真命题.
命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
【例3】已知 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5，
因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，
所以只要m<－5即可.
所以m的取值范围是{m|m<－5}.
【例】已知命题：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”为真命题，求实数m的取值范围.
【解析】令y＝－x2＋4x－1，
因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3，
又因为 x∈R，－x2＋4x－1>m有解，
所以只要m小于函数的最大值即可，
所以m的取值范围是{m|m<3}.
求解含有量词的命题中参数范围的策略
（1）对于全称量词命题“ x∈M，a>y(或a即a>ymax(或a（2）对于存在量词命题“ x∈M，a>y(或a即a>ymin(或a04
归 纳 总 结
Sum Up
全称量词命题的否定：
“ x∈M，p(x)．”的否定为“ x∈M， p(x)．”
存在量词命题的否定：
“ x∈M，p(x)．”的否定为“ x∈M， p(x)．”
全称量词命题的否定变成了存在量词命题.
存在量词命题的否定变成了全称量词命题.
05
课 后 作 业
Homework After Class
1.(多选)关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（ ）
A. p： x∈R，x2＋1＝0； B. p： x∈R，x2＋1＝0；
C. p是真命题， p是假命题； D. p是假命题， p是真命题
2.若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________.
3.已知命题p： x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且 p是假命题，求实数a的取值范围.

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