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数学与生活-数学与休闲
数学与生活之数学与休闲
现代社会中大家都喜欢在业余时间去休闲娱乐，放松心情， 而且随着生活水平的提高，大家在休闲上的消费也水涨船高，其实休闲娱乐也和数学有很大的关系尼．
一、好题赏析
例1．
1．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ）
A． B． C． D．
例2．
2．合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形.改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域.
（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；
（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值.
二、小试牛刀
3．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如之各项之和，的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在单调递增
4．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
5．在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（ ）
A． B． C． D．
6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（ ）
A． B．
C． D．
7．飞车走壁技艺利用圆周运动特点和惯性原理，表演者驾驶飞车在球形大棚的内壁上行走，飞车忽高忽低，斜走横行，甚至直贯球顶，该技艺目前已成为中国国宝级杂技节目．已知球形飞车大棚内有辆飞车、、、，分别飞行于上下平行两个的等圆周上，飞车飞行在上圆周，飞车、、飞行在下圆周，且满足，，则的最大值为______；若三棱锥的最大体积为，则球形飞车大棚的直径约为______．
8．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．
9．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”.“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”（骰子是正方体的六个面上分别写上1，2，3，4，5，6的赌具）.则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是______.
10．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.
11．《扫雷》是一款大众类的益智小游戏，某玩家在点击一次后得到的结果如图所示，小方格中的数字代表其周围区域中的地雷数(一般为8个格子，粗线外面没有地雷)，则该图中地雷的个数为___________.
12．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
（1）如图1，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球的球心运动的直线方程；
（2）如图2，若母球的位置为，目标球的位置为，让母球击打目标球后，能否使目标球向处运动？
参考答案：
1．B
【分析】将恰好局时游戏终止的事件分拆成有平局、无平局的两个互斥事件的和，分别求出这两个事件的概率即可得解.
【详解】恰好局时游戏终止的事件M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前局输局赢局的事件为M2，
则M=M1+M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时可以是输方，也可以是输方，
于是得，，
，
所以恰好局时游戏终止的概率为.
故选：B
2．（1）；（2）.
【分析】（1）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，求出，易得面积；
（2）不妨设，，用余弦定理表示出，用正弦定理表示出，再用余弦定理表示出，然后表示出的面积，利用两角和的正弦公式展开代入，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值．
【详解】解析：（1），∴，
又，∴，易知是锐角，所以，
∴，
，
（2）不妨设，，
于是由余弦定理得①，
②，
③，
∴
，
当且仅当时取等号，∴最大值为.
【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值．
3．ABD
【分析】利用正弦型函数的周期性可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断BC选项的正误，利用导数法可判断D选项的正误.
【详解】对于A：，
设，最小正周期为，
，最小正周期为，
，最小正周期为，
所以的最小正周期为上面所求的三个最小正周期的最小公倍数，
故函数的最小正周期为，故，故A正确；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：，，
所以，，故，故C错误；
对于D：，
当时，，则，
，，
，
所以，，故函数在上单调递增，D选项正确.
故选：ABD.
4．BC
【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.
【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，又高度相等，则关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；
故选:BC.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.
5．A
【解析】设剪下小扇形纸面的半径为，原扇形半径为 ，原扇形的面积为,圆心角为，由可得答案.
【详解】设剪下小扇形纸面的半径为，原扇形半径为 ，原扇形的面积为,圆心角为
则
所以，又
所以
故选：A
6．C
【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.
【详解】数列满足．且，
所以，，，，.
所以解下个环所需的最少移动次数为．
故选：C．
7．
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可求得的最大值，求出的外接圆半径以及三棱锥的高的最大值，利用球的截面圆的性质得出可求出球形飞车大棚的半径，由此可得出结果.
【详解】由余弦定理可得：，
．
设三棱锥的高为，由题中最大体积知，，．
由正弦定理可得：截面圆的直径，所以．
由球的截面性质可知球的半径满足，故，
球形飞车大棚的直径大约为．
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
8．
【分析】根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.
【详解】因为杯口放一个表面积为的玻璃球，所以球的半径为，
又因为杯口宽cm，
所以如图1所示，有，
所以，所以，
所以，
又因为杯深8cm，即
故最小距离为
如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为，
所以将代入得，故抛物线方程为，
当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，
设玻璃球轴截面所在圆的方程为，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即，
则有恒成立，解得，可得.
所以玻璃球的半径的取值范围为.
故答案为：；
【点睛】本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.
9．
【分析】写出夹七或夹八的所有可能后，再得出事件空间的基本事件的总数可计算出概率，
【详解】夹七或夹八的走法有：115,223,331,116,224,332共6种，而总的可能是，
所以概率为．
故答案为：．
10．
【解析】如图，作出月牙湖的示意图，由题意可得，可求的值，进而由图利用扇形的弧长公式可计算得解.
【详解】如图，是月牙湖的示意图，是的中点，
连结，可得，由条件可知， 所以，所以，，
所以月牙泉的周长.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据实际问题抽象出图象，再根据数形结合分析问题.
11．4
【分析】先从右下角的“2”和“1”逐一推导，选择有地雷的情况，再推导左下角的“1”和“3”，最后根据第一行的“2”得到最后结果.
【详解】第一步，根据右下角的“2”和“1”可得到下图两种情况，其中“”代表地雷，“”代表没有地雷.
第二步，根据第一列的两个“1”和第二列的“3”可知第二个图不正确，于是得到下图，
第三步，根据第一行的“2”可得到最后结果，如图.
所以该图中地雷的个数为4.
故答案为：4.
【点睛】思路点睛：解题的关键是按照一定的顺序逐一推导，一般先从限制条件多的地方往限制条件少的地方推导.
12．（1）；（2）不能使目标球向处运动．
【分析】（1）利用，两球碰撞时，球的球心在两点连线上，且球A与球B外切，列出方程组，即可求得两球碰撞时，球的坐标，即得解；
（2）由（1）知球需运动到处，且到达处前不与目标球接触，，过点作于点，分析可得，即得解.
【详解】（1）点，所在的直线方程为，如图，
可知，两球碰撞时，球的球心在直线上，
且在第一象限，设，两球碰撞时，球的球心坐标为，
此时，则，解得，，
即，两球碰撞时，球的球心坐标，
所以母球的球心运动的直线方程为，即．
（2）假设能使目标球向处运动，
则由（1）知球需运动到处，且到达处前不与目标球接触．
如图，设与轴的交点为．
因为的斜率为，所以．
因为的斜率为，所以．
所以为锐角．
过点作于点，因为，所以，
所以球的球心还未到直线上时，就会与目标球接触，
所以不能使目标球向处运动．数学与生活-数学与休闲
数学与生活之数学与休闲
现代社会中大家都喜欢在业余时间去休闲娱乐，放松心情， 而且随着生活水平的提高，大家在休闲上的消费也水涨船高，其实休闲娱乐也和数学有很大的关系尼．
一、好题赏析
例1．
1．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（ ）
A． B． C． D．
例2．
2．合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形.改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域.
（1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积；
（2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值.
二、小试牛刀
3．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如之各项之和，的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在单调递增
4．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
5．在东方设计中，存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.折扇纸面可看作是从一个扇形纸面中剪下小扇形纸面制作而成（如图）.设制作折扇时剪下小扇形纸面面积为，折扇纸面面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，原扇形半径与剪下小扇形半径之比为（ ）
A． B． C． D．
6．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为（ ）
A． B．
C． D．
7．飞车走壁技艺利用圆周运动特点和惯性原理，表演者驾驶飞车在球形大棚的内壁上行走，飞车忽高忽低，斜走横行，甚至直贯球顶，该技艺目前已成为中国国宝级杂技节目．已知球形飞车大棚内有辆飞车、、、，分别飞行于上下平行两个的等圆周上，飞车飞行在上圆周，飞车、、飞行在下圆周，且满足，，则的最大值为______；若三棱锥的最大体积为，则球形飞车大棚的直径约为______．
8．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．
9．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”.“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”（骰子是正方体的六个面上分别写上1，2，3，4，5，6的赌具）.则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是______.
10．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米.
11．《扫雷》是一款大众类的益智小游戏，某玩家在点击一次后得到的结果如图所示，小方格中的数字代表其周围区域中的地雷数(一般为8个格子，粗线外面没有地雷)，则该图中地雷的个数为___________.
12．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
（1）如图1，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球的球心运动的直线方程；
（2）如图2，若母球的位置为，目标球的位置为，让母球击打目标球后，能否使目标球向处运动？

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