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数学与数学著作
数学与数学史之数学与数学著作
在数学发展的历史中，有很多的数学著作问世，它们起着数学传播的作用，使得前人的思想和方法得以传承，如中国古代的《九章算术》、欧洲的《圆锥曲线论》等，而且这些书籍中的思想和方法在高中数学中也有所体现，让我们一起来瞅瞅吧．
一、好题赏析
例1．
1．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（ ）
A． B． C． D．
例2．
2．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣．20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（ ）
A．192盏 B．128盏 C．3盏 D．1盏
二、小试牛刀
3．托勒密（C.Ptolemy，约90-168），古希腊人，是天文学家 地理学家 地图学家 数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）
A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.5736
4．《算术书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式相的中当于将圆锥体积公式中的近似取（ ）
A． B． C． D．
5．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（ ）
A．38 B．56 C．62 D．80
6．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
7．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．在华罗庚等著的《数学小丛书》中，由一个定理的推导过程，得出个重要的正弦函数的不等式，若四边形的四个内角为，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点处，乙向东行走到处，甲向南行走到处，甲看到乙，便从走到处，甲乙二人共行走1600步，比长80步，若按如图所示的程序框图执行求，则判断框中应填入的条件为
A． B． C． D．
11．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为(素数即质数，，计算结果取整数)
A．1089 B．1086 C．434 D．145
12．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，，计算结果取整数)
A．768 B．144 C．767 D．145
13．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家 天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )
A． B．
C． D．
14．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
15．（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
……
16．《张丘建算经》是我国北魏时期著名的数学家张丘建所著,共三卷，现存个问题，其中有一个问题是 “今有人举取他绢,重作券；要过限一日,息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何 ”题目的意思是：一个债务人拿绢做抵押品，债务过期一天债主要收尺绢作为利息，过期第二天利息是尺，这样，每天利息比前一天增多尺，若过期天，欠债方共纳利息为____________尺绢.
17．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨” “圆罂测雨” “峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量(水的体积比盆口面积).已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.当盆中积水深九寸(注：1尺=10寸)时，平地降雨量是___________寸.
18．我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）．则宝塔的顶层有______盏灯．
19．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2021项和为_________.
20．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书主要记述了积算（即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数种计算器械的使用方法，某研究性学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人.该小组搜集两仪、三才、五行、八卦、九宫种计算器械的资料.每人搜集一种，每种资料都要有人搜集，其中甲乙不搜集两仪，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宫，则不同的分配方案的种数____.(用数字填写答案）
21．长方、堑堵、阳马、鳖臑、这些名词出自中国古代数学明著《九章算术商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方体，如图长方体，按平面 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体中 ，当阳马体积最大时，堑堵的 体积为 ___________ .
22．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中因剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为_________．数学与数学著作
数学与数学史之数学与数学著作
在数学发展的历史中，有很多的数学著作问世，它们起着数学传播的作用，使得前人的思想和方法得以传承，如中国古代的《九章算术》、欧洲的《圆锥曲线论》等，而且这些书籍中的思想和方法在高中数学中也有所体现，让我们一起来瞅瞅吧．
一、好题赏析
例1．
1．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为和，数系扩充后这两个根分别记为和．若，则复数（ ）
A． B． C． D．
例2．
2．我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣．20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（ ）
A．192盏 B．128盏 C．3盏 D．1盏
二、小试牛刀
3．托勒密（C.Ptolemy，约90-168），古希腊人，是天文学家 地理学家 地图学家 数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表（部分如下图所示），该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）
A．0.0017 B．0.0454 C．0.5678 D．0.5736
4．《算术书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式相的中当于将圆锥体积公式中的近似取（ ）
A． B． C． D．
5．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（ ）
A．38 B．56 C．62 D．80
6．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
7．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．在华罗庚等著的《数学小丛书》中，由一个定理的推导过程，得出个重要的正弦函数的不等式，若四边形的四个内角为，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边三角形，则当线段的长取最大值时，（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点处，乙向东行走到处，甲向南行走到处，甲看到乙，便从走到处，甲乙二人共行走1600步，比长80步，若按如图所示的程序框图执行求，则判断框中应填入的条件为
A． B． C． D．
11．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数个数为(素数即质数，，计算结果取整数)
A．1089 B．1086 C．434 D．145
12．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学届的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为_________(素数即质数，，计算结果取整数)
A．768 B．144 C．767 D．145
13．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家 天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是( )
A． B．
C． D．
14．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条直线为欧拉线.已知△的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
15．（数学文化）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第13个数是______．（用数字作答）
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
……
16．《张丘建算经》是我国北魏时期著名的数学家张丘建所著,共三卷，现存个问题，其中有一个问题是 “今有人举取他绢,重作券；要过限一日,息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何 ”题目的意思是：一个债务人拿绢做抵押品，债务过期一天债主要收尺绢作为利息，过期第二天利息是尺，这样，每天利息比前一天增多尺，若过期天，欠债方共纳利息为____________尺绢.
17．最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨” “圆罂测雨” “峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量(水的体积比盆口面积).已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.当盆中积水深九寸(注：1尺=10寸)时，平地降雨量是___________寸.
18．我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）．则宝塔的顶层有______盏灯．
19．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列，，若将数列的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前2021项和为_________.
20．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书主要记述了积算（即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数种计算器械的使用方法，某研究性学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人.该小组搜集两仪、三才、五行、八卦、九宫种计算器械的资料.每人搜集一种，每种资料都要有人搜集，其中甲乙不搜集两仪，丙丁不搜集三才，戊不搜集八卦和九宫，则不同的分配方案的种数____.(用数字填写答案）
21．长方、堑堵、阳马、鳖臑、这些名词出自中国古代数学明著《九章算术商功》，其中阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称呼.取一长方体，如图长方体，按平面 斜切一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称该三棱柱为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中以矩形为底另有一棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑，已知长方体中 ，当阳马体积最大时，堑堵的 体积为 ___________ .
22．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中因剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为_________．
参考答案：
1．C
【分析】利用复数除法运算求得.
【详解】由，
得．
故选：C．
2．A
【分析】设这个塔顶层有盏灯，则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，再结合等比数列前项和公式计算即可.
【详解】设这个塔顶层有盏灯，
则问题等价于一个首项为，公比为2的等比数列的前7项和为381，
所以，解得，
所以这个塔的最底层有盏灯．
故选：A．
3．C
【分析】先看左边列找，再往右找对第一行的即可.
【详解】由题意查表可得的正弦值为0.5678.
故选:C.
4．C
【分析】用表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于和的式子，令，能解出的近似值．
【详解】解：设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长，
∴，
∴.
令，
解得.
故选：C
5．C
【分析】按甲收集资料的种数分类讨论．先确定甲收集资料的种数剩下的分成两组安排给乙丙两人收集．
【详解】由题意甲收集运筹算、成数算、把头算中一种、二种或三种，总方法数是：
．
故选：C．
6．A
【分析】设.由重心坐标公式得的重心为，代入欧拉线方程可得，再求出边的垂直平分线的方程与联立可求出的外心坐标，再由点，到外心的距离相等列出关于的方程，然后解方程组可求得结果
【详解】设.由重心坐标公式得的重心为，
代入欧拉线方程得，整理得①，
边的中点坐标为，，
边的垂直平分线的方程为，即.
由，得
∴的外心坐标为，则，
整理得②，联立①②，解得或.
当时，点B，C重合，舍去.
∴顶点C的坐标是.
故选：A.
7．D
【分析】把各层的铅笔数看出等差数列，利用求和公式得到，由n为264 的因数，且为偶数，把四个选项一一代入验证即可.
【详解】设最上面一层放根，一共放n（n≥2）层，则最下一层放根，
由等差数列前n项和公式得：，
∴，
∵,∴n为264 的因数，且为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得：n=8满足题意.
故选：D
【点睛】(1)数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
（2）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．
8．A
【分析】根据四边形的内角和定理以及正弦函数的不等式可求得结果.
【详解】四边形内角和为，
所以根据正弦函数的不等式
可得.
故选：A.
9．C
【解析】根据已知条件先分析出的最大值并得到之间的关系，由此借助余弦定理求解出的长度，再利用余弦定理即可求解出的大小.
【详解】因为，且为等边三角形，，
所以，所以，所以的最大值为，取等号时，
所以，不妨设，
所以，所以解得，
所以，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.
10．A
【解析】根据题意得， 则 ，所以 ，再根据为直角三角形 求解.
【详解】由题意得，
则 ，
所以 ，
符合程序框图所示:
又为直角三角形，且，
所以 .
故选：A
【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
11．B
【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为，计算即可得到答案.
【详解】由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为，
则10000以内的素数的个数为===2500，
故选B.
【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.
12．D
【分析】由题意，根据，得到估计1000以内的素数的个数为为，根据对数的运算，即可求解.
【详解】由题意，小于数字的素数个数大约可以表示为，则估计1000以内的素数的个数为为，故选D.
【点睛】本题主要考查了对数的运算及其应用，同时考查了数学文化的应用，其中解答中认真审题，合理利用对数的换底公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
13．B
【解析】执行给定的程序框图，输入，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入，可得：
第1次循环：；
第2次循环：；
第3次循环：；
第10次循环：，
此时满足判定条件，输出结果，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
14．AD
【分析】设，根据已知写出重心的坐标，由欧拉线的定义及对应的方程可得，结合各选项判断符合要求的点坐标即可.
【详解】设，由已知△重心坐标为，
又重心在上，则，可得，
∴A、D符合要求.
故选：AD
15．455
【分析】对数据进行多角度观察，进而找出每一行的数与数之间，行与行之间的规律，进而求得答案.
【详解】由题图可知，第1行：，，第2行：，，，第3行：，，，，第4行：，，，，，…，
观察可得第n行第r（）个数为，所以第15行第13个数为．
故答案为：455.
16．
【分析】由题意可知，每天要纳绢的尺数构成等差数列，公差，首项，再由等差数列的前项和的公式求解即可.
【详解】解：由题意知，每天的利息构成一个等差数列，
设该等差数列为，则首项，公差，，
所以过期天，欠债方共纳利息为（尺）.
故答案为：.
17．3
【分析】根据描述先求解圆台形盆内水面的半径，然后计算水的体积，最后可得降雨量.
【详解】由已知天池盆上底面半径是14寸，下底面半径是6寸，高为18寸，
由积水深9寸知水面半径为寸，
则盆中水体积为(立方寸)；
所以平地降雨量为 (寸)，
故答案为：3.
18．3
【分析】用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，由等比数列的基本量运算可得．
【详解】用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，
，底层灯盏数为，则，所以，解得．
故答案为：3．
19．1348
【解析】可写出数列的前若干项，找出具有周期性的规律，分组计算即可.
【详解】兔子数列各项为：
可得此数列被2除后的余数为：
由此可知是以3为周期的周期数列，可得
数列的前2021项和为：
故答案为：
【点睛】遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.
20．32
【分析】根据题意，戊不搜集八卦和九宫，则戊可能收集两仪、三才、五行，则分3种情况讨论：①戊收集五行；②戊收集三才；③戊收集两仪；
【详解】根据题意，戊不搜集八卦和九宫，则戊可能收集两仪、三才、五行，
则分3种情况讨论：
①戊收集五行，在甲乙中选出1人收集三才，丙丁中选出1人收集两仪，剩下2人收集其他2种，则有种分配方案；
②戊收集三才，在丙丁中选出1人收集两仪，剩下3人收集其他3种，则有种分配方案；
③戊收集两仪，在甲乙中选出1人收集三才，剩下3人收集其他3种，则有种分配方案；
综上，种分配方案
故答案为：32
21．2
【解析】设，由几何体的结构特征，根据已知线段长度利用勾股定理表示阳马的体积，利用基本不等式求得体积取得最大值时，的值，继而求得堑堵的体积，得到答案.
【详解】如图所示，设，在阳马中，底面为长方形，侧棱⊥底面，且，
又，即，当且仅当取等号.
所以阳马体积，当且仅当时，阳马体积取得最大值.
此时堑堵的 体积为.
故答案为：.
【点睛】本题考查棱柱与棱锥的结构特征，柱体和锥体积的计算，以及运用基本不等式求体积的最值，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，关键在于理解题意，将数学知识融入数学文化中，属于中档题．
22．134
【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被整除余的数，运用等差数列的通项公式，以及解不等式即可得到所求的项数.
【详解】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被整除余的数，
故，
由 ，解得 ，
当时，不符合，
故此数列的项数为，
故答案为：134
【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列通项公式的运用，属于基础题.

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