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数学与数学家
数学与数学史之数学与数学家
在数学发展的历史中，有很多著名的中午数学家，他们的数学思想、数学成就等均为大家熟知，他们的一些发现、发明还和我们高中数学相关呢，且听我慢慢道来.
一、好题赏析
1．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
二、小试牛刀
3．费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中．例如．因为．所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（ ）（）
A．240 B．600 C．1200 D．2400
4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）
A． B．， C．，， D．，0，
6．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间、分别均为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（ ）
A． B．
C． D．
7．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”，如18=7+11，在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ）
A．30 B． C． D．
10．1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集.则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ）
A．
B．任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立
C．，，恒成立
D．不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
12．十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（ ）
A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关
C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小
13．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前项和，则______.
14．1765年，伟大的数学家欧拉发现：任意给出一个三角形，它的重心 垂心和外心都是共线的.后人把这条直线称为三角形的欧拉线.已知在平面直角坐标系中，内接于单位圆，且，，逆时针排列，.若的欧拉线所在直线的斜率，则所在直线的倾斜角的取值范围是___________.
15．19世纪德国数学家狄利克雷提出的“狄利克雷函数”，在现代数学的发展过程中有着重要意义，已知狄利克雷函数的表达式为，则___________.
16．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______
17．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是___________.
①，是一个戴德金分割；
②没有最大元素，有一个最小元素；
③有一个最大元素，有一个最小元素；
④没有最大元素，没有最小元素；
18．拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心依次为，，，若，则__________，的最大值为__________.
19．著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
20．阿基米德在他的许许多多的科学发现当中，最为得意的一个发现是：如图所示，圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的．请你试着证明．
21．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.数学与数学家
数学与数学史之数学与数学家
在数学发展的历史中，有很多著名的中午数学家，他们的数学思想、数学成就等均为大家熟知，他们的一些发现、发明还和我们高中数学相关呢，且听我慢慢道来.
一、好题赏析
1．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有某几何体和一个圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是半径为2的一个半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
A． B． C． D．
二、小试牛刀
3．费马数列是以数学家皮埃尔·德·费马（PierredeFermat，1601~1665年）命名的数列，其中．例如．因为．所以的整数部分是1位数；因为，所以的整数部分是2位数；…；则的整数部分位数最接近于（ ）（）
A．240 B．600 C．1200 D．2400
4．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值域为（ ）
A． B．， C．，， D．，0，
6．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的开区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间、分别均为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；．如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”．第三次操作后，从左到右第六个区间为（ ）
A． B．
C． D．
7．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(素数指大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和”，如18=7+11，在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler）发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C，在地球绕太阳运动的过程中，若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，底面，，且，，利用张衡的结论可得球的表面积为（ ）
A．30 B． C． D．
10．1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（ ）
A． B．
C． D．
11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集.则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（ ）
A．
B．任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立
C．，，恒成立
D．不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
12．十七世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P（异于A，B两点）向长轴AB引垂线，垂足为Q，记.下列说法正确的是（ ）
A．M的值与Р点在椭圆上的位置有关 B．M的值与Р点在椭圆上的位置无关
C．M的值越大，椭圆的离心率越大 D．M的值越大，椭圆的离心率越小
13．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：，令，是的前项和，则______.
14．1765年，伟大的数学家欧拉发现：任意给出一个三角形，它的重心 垂心和外心都是共线的.后人把这条直线称为三角形的欧拉线.已知在平面直角坐标系中，内接于单位圆，且，，逆时针排列，.若的欧拉线所在直线的斜率，则所在直线的倾斜角的取值范围是___________.
15．19世纪德国数学家狄利克雷提出的“狄利克雷函数”，在现代数学的发展过程中有着重要意义，已知狄利克雷函数的表达式为，则___________.
16．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多 裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______
17．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是___________.
①，是一个戴德金分割；
②没有最大元素，有一个最小元素；
③有一个最大元素，有一个最小元素；
④没有最大元素，没有最小元素；
18．拿破仑·波拿巴，十九世纪法国伟大的军事家、政治家，对数学很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在中，，以，，为边向外作三个等边三角形，其中心依次为，，，若，则__________，的最大值为__________.
19．著名数学家棣莫佛（De moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式，则______；若，则 ______.
20．阿基米德在他的许许多多的科学发现当中，最为得意的一个发现是：如图所示，圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球．在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的．请你试着证明．
21．阿基米德(公元前287年---公元前212年，古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点是轴上的定点，直线与椭圆交于不同的两点，已知A关于轴的对称点为，点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探究直线是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案：
1．C
【分析】由圆锥底面周长可求得圆锥的底面半径，圆锥的高，利用圆锥的体积公式和祖暅原理，即得解
【详解】圆锥底面周长为，
所以圆锥的底面半径，圆锥的高，
所以圆锥的体积为，
由祖暅原理，该几何体的体积也为.
故选：C
2．D
【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，利用求出圆的方程，可得圆的半径，进而可求出三角形面积的最大值.
【详解】如图，以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建系，如图：
则、，设，
∵，∴，
两边平方并整理得：，
所以圆的半径为，
∴面积的最大值是.
故选：D．
3．D
【分析】先表示出，作近似处理得，再取以10为底的对数化简即可求解
【详解】由于，与1相比都非常大，所以，
所以，故．
又因为，的整数位数为位，
所以的整数部分位数最接近2400位．
故选：D．
4．B
【分析】由题意，，利用基本不等式，即可得出结论．
【详解】解：由题意，
当且仅当时，等号成立，
∴此三角形面积的最大值为．
故选：B.
5．B
【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为，然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定的值域.
【详解】，
，，，
，
或0，
的值域为，.
故选：B.
6．D
【分析】列举出前三次操作后所剩下的区间，由此可得出结果.
【详解】第一次操作剩下的区间为、；
第二次操作剩下的区间为、、、；
第三次操作剩下的区间为、、、、、、、．
即从左到右第六个区间为．
故选：D.
7．B
【分析】确定不超过16的素数，写出任取2上的基本事件，同时得出和为16的基本事件，由概率公式计算概率．
【详解】不超过16的素数有2、3、5、7、11、13，满足“和”等于16的有(3，13)、(5，11)共有2组，
总的有(2，3)、(2，5)、(2，7)、(2，11)、(2，13)、(3，5)、(3，7)、(3，11)、(3，13)、(5，7)、(5，11)、(5，13)、(7，11)、(7，13)、(11，13)，
所以，
故选：B．
8．C
【分析】设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，再由地球与太阳的最远距离与最近距离之比为，列出方程，即可得出答案.
【详解】解：设椭圆C的焦距为2c，长轴长为2a，
根据题意可得地球与太阳的最远距离为，最近距离为，
则，解得，
即C的离心率为.
故选：C.
9．D
【分析】由，底面，将三棱锥放在长方体中，求出外接球的半径以及圆周率的值，再由球的表面积公式即可求解.
【详解】如图所示：
因为，底面，，，
所以将三棱锥放在长、宽、高分别为的长方体中，
三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，
外接球的直径，
利用张衡的结论可得，则，
所以球的表面积为.
故选：D.
10．B
【分析】设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，根据题意，，然后利用两角差的正切值公式求得，进而利用同角三角函数关系求得“最大视角”的正弦值.
【详解】由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为处观察，
设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，
则，则，
故.
故选：B
11．ABD
【分析】直接由解析式计算可判断A；分和两种情况讨论可判断B；举反例取，，可判断C；分中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数讨论，每种情况再分角为直角三种情况讨论可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，，所以，故选项A正确；
对于B，任取一个不为零的有理数，若，则，满足；若，则，满足，故选项B正确；
对于C，取，，则，而，所以，故选项C错误；
对于D，当均为有理数或均为无理数时，三点在一条直线上，不能构成三角形，所以中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数，不妨设是有理数，是无理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，因为，所以，与是无理数矛盾，所以此时不可能为等腰直角三角形，当中有两个无理数一个是有理数时，不妨设是无理数，是有理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，因为，所以，且是有理数，只能是两个互为相反数的无理数，即，即，又因为为等腰直角三角形，所以，，或，与是无理数矛盾，所以不可能为等腰直角三角形，综上所述：不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确；
故选：ABD.
12．BD
【分析】不妨设椭圆方程为，设，，求出和椭圆的离心率后，可得答案.
【详解】不妨设椭圆方程为，
设，，则，
所以，，，
所以，
因为为定值，所以M的值与Р点在椭圆上的位置无关，故A不正确，B正确；
椭圆的离心率，
所以M的值越大，椭圆的离心率越小，故C不正确，D正确.
故选：BD
13．
【分析】由题设关系，应用累加法可得，进而可得的通项公式，再应用裂项相消法求.
【详解】，，，…，，，
将上述各式相加，得，即，
∴，
∴.
故答案为：
14．
【分析】判断出欧拉线为，结合范围求得所在直线的倾斜角的取值范围.
【详解】，
根据向量夹角的取值范围可知.
所以是等边三角形，所以四边形是菱形，
菱形对角线互相垂直平分，三角形的垂心在直线上，结合是三角形的外心可知是三角形的欧拉线.
设直线所在直线的倾斜角为，
由于所以，
当时，点在第四象限，由于，所以，
当时，点在轴的正半轴，，
当时，点在第一象限，由于，所以.
综上所述，直线所在直线的倾斜角的取值范围是.
故答案为：
15．
【分析】根据分段函数的性质，即可求解.
【详解】解：，
原式.
故答案为：1.
16．
【分析】列举出数列{an}的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．
【详解】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，
∴数列{an}的前40项为：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，
10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，
2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，
其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．
∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．
故答案为：
17．②④
【分析】根据题意举出实例依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项①，因为，，，故①错误；
对选项②，设，，满足戴德金分割，则中没有最大元素，有一个最小元素，故②正确；
对选项③，若有一个最大元素，有一个最小元素，则不能同时满足，，故③错误；
对选项④，设，，满足戴德金分割，此时没有最大元素，也没有最小元素，故④正确.
故答案为：②④.
18．
【分析】在中，，由余弦定理可求得的值；同理可得，在中，求出，由余弦定理可求得与的关系，再由基本不等式即可求最大值.
【详解】设，，.如图，连接，.
由拿破仑定理知，为等边三角形.
因为为等边三角形的中心，所以在中，，，设，由余弦定理，得，即，
解得：，即，，同理；
又，，所以，
在中，由余弦定理可得，
即，化简得，
由基本不等式得，解得（当且仅当时取等号），所以.
故答案为：；.
19． 2
【分析】（1）直接代公式得原式为，化简即得解；
（2）直接代公式化简得，解方程即得解.
【详解】（1）；
（2）.
故答案为：；2.
20．证明见解析
【分析】设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球和V柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，根据圆柱和球的表面积和体积公式即可得出结论.
【详解】证明：设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球和V柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，则有V球＝πR3，V柱＝πR2·2R＝2πR3，
∴V球＝V柱．
又S柱＝2πR·2R＋2πR2＝6πR2，
∴S球＝4πR2＝S柱．
21．（1）；（2）直线恒过定点.
【分析】（1）根据椭圆的焦距可求出，由椭圆的面积等于得，求出，即可求出椭圆的标准方程；
（2）设直线，，进而写出为，两点坐标，将直线与椭圆的方程联立，根据韦达定理求，，由三点共线可知，将，代入并化简，得到的关系式，分析可知经过的定点坐标.
【详解】（1）椭圆的面积等于，，
，椭圆的焦距为，，
，
椭圆方程为
（2）设直线，，则，，三点共线，得
，
直线与椭圆交于两点,,，，
由，得，，
，代入中，
，，
当，直线方程为，则重合，不符合题意；
当时，直线,所以直线恒过定点.

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