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数学与文学
数学与艺术之数学与文学
很多文学作品中，都会有关于数学知识的描述，如《春江花月夜》中的“海上明月共潮生”描写的周期性现象-潮汐．而在一些对联中，有回文的形式，这也会与高中数学知识中排列组合相关，那么还有哪些数学知识与文学有联系呢？
一、好题赏析
例1．
1．荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：， （ ）天．
A．200天 B．210天 C．220天 D．230天
例2．
2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是
A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思
二、小试牛刀
3．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
5．中国清代著名小说家蒲松龄创作的文言短篇小说集《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，情归求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”，形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，若具有“穿墙术”，则
A． B． C． D．
6．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数做来言”.题意是把斤绵分给个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分斤绵，则年龄最大的儿子分到的绵是（ ）
A．斤 B．斤 C．斤 D．斤
10．《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（ ）
A．1＋
B．
C．
D．
11．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．不能确定
12．必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（ ）．
A． B． C． D．
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
15．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ）
A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
16．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
17．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（ ）个矩形
A．3025 B．2025 C．1225 D．2525
18．在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
19．学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢死《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃．欲将轻骑逐，大雪满弓刀．”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情．这首诗历代传请，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：北方大雪时，群雁早南归．月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家贵马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数．现设，则表示数列的前项和________．
20．《红楼梦》，中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著.《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者.《红楼梦》三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社.诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉.”诗社成员有8人林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨.若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有________种排列方法.（用数字作答）
21．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀（刀张），该公司按照某种质量指标给宣纸确定等级如表所示：
的范围
质量等级 副牌 正牌 废品
在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸利润为元，废品的利润为元．
（1）试估计该公司的年利润；
（2）市场上有一种售价为万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标如表所示：
的范围
频率
其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
22．古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：
（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求的近似值(结果保留).
（2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：.数学与文学
数学与艺术之数学与文学
很多文学作品中，都会有关于数学知识的描述，如《春江花月夜》中的“海上明月共潮生”描写的周期性现象-潮汐．而在一些对联中，有回文的形式，这也会与高中数学知识中排列组合相关，那么还有哪些数学知识与文学有联系呢？
一、好题赏析
例1．
1．荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：， （ ）天．
A．200天 B．210天 C．220天 D．230天
例2．
2．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士，苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画？观摩诘之画，画中有诗，”这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是
A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷？ D．此物最相思
二、小试牛刀
3．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
5．中国清代著名小说家蒲松龄创作的文言短篇小说集《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，情归求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟”，形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，若具有“穿墙术”，则
A． B． C． D．
6．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（ ）
A．0.63 B．0.7 C．0.9 D．0.567
8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A．必要条件 B．充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
9．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数做来言”.题意是把斤绵分给个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分斤绵，则年龄最大的儿子分到的绵是（ ）
A．斤 B．斤 C．斤 D．斤
10．《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（ ）
A．1＋
B．
C．
D．
11．《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也.”则“有之必然”表述的数学关系一定是（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．不能确定
12．必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，则如图所示的“螺旋蚊香”的总长度为（ ）．
A． B． C． D．
14．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A． B． C． D．
15．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ）
A．167斤 B．184斤 C．191斤 D．201斤
16．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M为OA的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
17．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬……”；意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门；城内纵横各有九条路……；则依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有（ ）个矩形
A．3025 B．2025 C．1225 D．2525
18．在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（ ）
A．9 B．18 C．20 D．24
19．学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢死《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃．欲将轻骑逐，大雪满弓刀．”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情．这首诗历代传请，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：北方大雪时，群雁早南归．月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家贵马于1640年提出了以下猜想是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出不是质数．现设，则表示数列的前项和________．
20．《红楼梦》，中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，一般认为是清代作家曹雪芹所著.《红楼梦》是一部具有世界影响力的人情小说，举世公认的中国古典小说巅峰之作，中国封建社会的百科全书，传统文化的集大成者.《红楼梦》三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社.诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉.”诗社成员有8人林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨.若林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，共有________种排列方法.（用数字作答）
21．中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期．其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸．宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等．某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸刀（刀张），该公司按照某种质量指标给宣纸确定等级如表所示：
的范围
质量等级 副牌 正牌 废品
在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为元，副牌宣纸利润为元，废品的利润为元．
（1）试估计该公司的年利润；
（2）市场上有一种售价为万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标如表所示：
的范围
频率
其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）
22．古希腊数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”，对称美是数学美的一个重要组成部分，比如圆，正多边形……，请解决以下问题：
（1）魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，求的近似值(结果保留).
（2）正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，求证：.
参考答案：
1．D
【分析】根据题意可列出方程，求解即可.
【详解】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则，即，
．
故选：D．
2．A
【解析】根据命题的定义判断可得出结论.
【详解】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句是命题；
对于B选项，“春来发几支”是疑问句，不是命题；
对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题；
对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题.
故选：A.
3．B
【分析】根据诗句的含义及充分条件、必要条件的定义可得正确的选项.
【详解】“不破楼兰终不还”指“不攻破楼兰”不回家，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，
但“返回家乡”一定“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
4．C
【分析】设输入的值为，将循环列举出来，可得出输出的关于的表达式，由输出的值为零，可求得的值，即可得解.
【详解】设出入的值为，第一次循环，，，，不成立；
第二次循环，，，不成立；
第三次循环，，，不成立；
第四次循环，，，成立，跳出循环体.
输出的，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用程序框图计算输入结果，一般要求将程序的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.
5．D
【详解】分析：通过归纳法，找到系数、分母、分子间的关系，即可得到n的值．
详解：具有 “穿墙术”的数字特征为 ，因为具有“穿墙术”
所以
所以选D
点睛：本题考查了归纳推理的应用，通过所给示例找到变化的规律特征，从而求出项的值，是简单题．
6．C
【分析】由4位回文数只用排列前两位数字，后面数字随之确定，根据第一位不能为0，第二位任取，得到4位回文数的个数， 由第一位是奇数，第二位数任取，得到奇数的个数，代入古典概型的概率个数求解.
【详解】4位回文数只用排列前两位数字，后面数字可以确定，
但是第一位不能为0，有9种情况，第二位有10种情况，
∴4位回文数有：．
4位回文数的第一位是奇数，有5种情况，第二位有10种情况，
∴四位数的回文数中奇数的个数为：，
∴在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为．
故选：C．
7．B
【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.
【详解】记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，
由题意可知，，所以．
故选：B.
【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力
8．A
【分析】先阅读理解题意，再利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意知，“返回家乡”则可推得“攻破楼兰”，即必要条件成立，
反之“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，即充分条件不成立，
故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：A.
9．A
【分析】首先根据题意设个儿子按年龄从大到小依次分绵斤，斤，斤，…，斤，从而得到数列为公差为的等差数列，再根据求解即可.
【详解】设个儿子按年龄从大到小依次分绵斤，斤，斤，…，斤，
则数列为公差为的等差数列.
因为绵的总数为斤，
所以，解得.
故选：A
10．B
【分析】根据题意得到每天截取的线段长度构成了以为首项，为公比的等比数列，然后用等比数列的前项和公式求和，根据其和小于即可说明命题.
【详解】该命题说明每天截取的线段长度构成了以为首项，为公比的等比数列，
因为，所以能反映命题本质的式子是.
故选：B.
11．A
【分析】读懂古文的含义，根据充分条件和必要条件的定义进行判定，即可求解
【详解】由“小故，有之不必然，无之必不然体也，若有端.大故，有之必然，若见之成见也”
知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，
所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件.
故选：A.
12．B
【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.
【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，
所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，
故选：B.
13．B
【分析】根据三角形ABC为等边三角形，易知每一段弧是圆周长的求解.
【详解】由题意知：“螺旋蚊香”的总长度为，
故选：B
14．B
【分析】求出关于直线的对称点坐标，由到圆心距离减去圆半径可得．
【详解】设点A关于直线的对称点，的中点为
故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短距离，“将军饮马”的最短总路程为.
故选：B．
15．A
【分析】根据题意，利用等差数列模型求解.先确定通项公式，再根据前项和为，求出首项，再利用通项公式求某一项的值.
【详解】记8个儿子按年龄从大到小依次分棉斤，斤，斤，...，斤，
因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，
所以数列为等差数列，且公差为，所以.
因为绵的总数为996斤，所以，解得.
所以第7个儿子分到的绵是斤.
故选：A.
16．B
【分析】根据扇形面积公式计算可得；
【详解】解：扇环的面积为．
故选：B
17．A
【分析】本题可借助组合数以及分步乘法计数原理得出结果.
【详解】要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，
根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为，
故选：A.
18．B
【分析】根据题意得到这个人每日布施的金钱数构成以为首项，为公差的等差数列，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，这个人每日布施的金钱数构成以为首项，公差为的等差数列，
设他布施了日，则，解得或 (舍去).
故选：B.
19．
【分析】依题意可得，从而得到，再利用裂项相消法求和即可；
【详解】解：把代入，
得，
则，
∴．
故答案为：
20．14400
【分析】原问题等价于：含在内的8个不同元素排成一排，其中互不相邻的排列方法有多少种？先将除之外的5个元素排成一排，共有6个空档，将安排到6个空档之中，原来5个元素全排列即可.
【详解】原问题等价于：含在内的8个不同元素排成一排，其中互不相邻的排列方法有多少种？
先将除之外的5个元素（小圆圈）排成一排，共有6个空档（小三角），如图所示.
将安排到6个空档之中，原来5个元素全排列即可.
所以，不同的排列方法共有种.
故答案为：14400.
【点睛】方法点睛：在解决元素“相邻”的排列问题时经常用“捆绑”，在解决元素“不相邻”的排列问题时经常用“插空”.
21．（1）万元；（2）建议该公司购买这种机器，理由见解析.
【分析】（1）计算出一刀宣纸中正牌纸、副牌纸以及废品纸的张数，结合已知条件计算出一刀宣纸的利润的估计值，再乘以可得结果；
（2）计算出该公司改进前后一刀宣纸的利润，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）由频率分布直方图得：一刀宣纸有正牌张，有副牌张，有废品张，
该公司一刀宣纸的利润的估计值为元，
估计该公司的年利润为万元；
（2）由频率分布直方图得：
．
这种机器生产的宣纸的质量指标如下表所示：
的范围
频率
一刀宣纸中有正牌的张数估计为，
废品的张数估计为：，
副牌的张数为：，
一刀宣纸的利润为：元，
公司改进后该公司的利润为：万元，
，建议该公司购买这种机器．
22．（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为，再根据120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积求解；
（2）设O为内切圆的圆心，OA，OB分别为外接圆和内切圆的半径R，r，易知 ，然后在中，利用三角函数的定义求得R，r，利用三角恒等变换证明.
【详解】（1）将一个单位圆分成120个扇形，每个扇形的圆心角为，
因为这120个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，
所以 ；
（2）设O为内切圆的圆心，OA，OB分别为外接圆和内切圆的半径R，r，则 ，
如图所示：
所以，
在中，，即，所以，
，即，所以，
所以，
.

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