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数学与物理
数学与科技之数学与物理
各门科学中，物理与数学关系最亲，可以说，数学是物理学最铁的铁哥们，比如牛顿提出了微积分，而数学中的群理论也对理论物理有很好的帮助，下面我们两者之间的亲密关系吧．
一、好题赏析
例1．
1．复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强（单位：表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
例2．
2．航天之父 俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A． B． C． D．
二、小试牛刀
3．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，可近似计算，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，(为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度)，假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为(结果保留整数，参考数据：)（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为10，则其侧面积为（ ）
A． B．
C． D．600
7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
8．我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（ ）位的数.(参考数据：)
A．18 B．19 C．62 D．63
9．“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为：）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）
A．60米 B．100米 C．130米 D．160米
10．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
11．熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1856年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用．在数学中，利用熵可以解决如下问题：有个互不相等的数，需要比较次（表示的阶乘：表示的是向上取整函数，如）就可以将这些数从小到大排序．现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12．哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术 模式匹配和信息检索 同步光电探测器的代码 射电天文学等有广泛的应用，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6，图2的哥隆尺的刻度4到12之间增加一个整数刻度n，使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为，，…，（单位：），其相应的透射系数分别为，，…，，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：）为．已知某墙的透射系数为，面积为，在墙上有一门，其透射系数为，面积为，则组合墙的平均隔声量为（ ）
A． B． C． D．
14．目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中为传感器在静水中行进的速度(单位：)，为行进的时间(单位：)，为常数，如果待测量的河道的水流速度为，则该传感器在水中逆流行进消耗的能量的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
16．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．“，数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限，数列，表示把中每个都变为，，每个都变为，，所得到的新的，数列，例如，则．设是一个有限，数列，定义，、、、．则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．对任意有限，数列、中和的个数总相等
C．中的，数对的个数总与中的，数对的个数相等
D．若，则中，数对的个数为
参考答案：
1．C
【分析】由题设可得，代入函数式，由指对数的关系有，进而求声强级降低的声强，应用指数幂的运算性质求声强的比值.
【详解】由题设，，解得，则，
∴，要使声强级降低，则，
∴.
故选：C
2．A
【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算的值即可求解.
【详解】由题意可知：，，
代入可得，
所以，可得，
可得，即，
所以，
所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，
故选：A.
3．C
【分析】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，再根据题意列出不等式求解即可
【详解】设石片第n次“打水漂”时的速率为vn，
则vn＝100×0.90n－1.
由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，
则(n－1)ln 0.90即n－1>≈≈4.87，则n>5.87，
故至少需要“打水漂”的次数为6.
故选：C
4．A
【分析】根据公式算出当时，，当时，，得频移范围为至，而可测频移范围为（）至（），结合几何概型公式计算即可.
【详解】当时，，
当时，，
该高铁以运行速度（至）经过时频移范围为至，其区间长度为，
因为某次检验中可测频移范围为（）至（）其区间长度为，
所以可测量的概率为.
故选：A.
5．C
【分析】根据已知条件列方程，化简求得的值.
【详解】依题意，，
.
故选：C
6．A
【分析】求出底面的周长后可求曲侧面三棱柱的侧面积.
【详解】曲侧面三棱柱的底面的周长为，
曲侧面三棱柱的侧面积为，
故选：A.
7．A
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
8．B
【分析】根据题意个超导量子比特共有种叠加态，进而两边取以为底的对数化简整理即可得答案.
【详解】根据题意，设个超导量子比特共有种叠加态，
所以当有62个超导量子比特共有种叠加态。
两边取以为底的对数得，
所以，由于，
故是一个19位的数.
故选：B
【点睛】本题考查数学文化，对数运算，考查知识的迁移与应，是中档题.本题解题的关键在于根据材料得个超导量子比特共有种叠加态，进而根据对数运算求解.
9．C
【分析】先求出，再代入球冠的表面积公式，即可得到答案；
【详解】由题意得：，
，,
故选：C.
10．B
【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.
【详解】当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
11．C
【分析】根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，然后进行计算即可得出结果.
【详解】根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，
而，
且，
∴.
故选：C.
12．C
【分析】根据长度与刻度的关系结合选项一一判断即可．
【详解】解：已有刻度0，1，4，12，17，
利用已有刻度可以测量出1，4，12，17，3，8，5，11，16，13共10个长度，
在刻度4到12之间增加一个整数刻度n，尽量与以上刻度不重复，
若加8，可多测量出7，9，
若加9，可多测量出9，3，
若加10，可多测量出10，9，2，7，6，
若加11，可多测量出10，7，6，
故选：C．
13．C
【分析】先根据题意求出，然后再计算隔声量即可．
【详解】由题意知组合墙的透射系数的平均值，
所以组合墙的平均隔声量.
故选：C．
14．B
【分析】（1）由已知条件可求出该传感器在水中逆流行进所用的时间，则所消耗的能量，法一：将原式变形得到，利用基本不等式的方法求出最小值；法二：对原式求导，分析函数的单调性，可求出最值.
【详解】由题意，该传感器在水中逆流行进所用的时间，则所消耗的能量.
方法一：
，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值120.
方法二：
，求导得，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，为.
故选：B.
【点睛】本题考查函数模型的应用.
关键点点睛：函数模型的关键是建立变量之间的关系，从而建立正确的解析式，进而寻找求最值的方法.
15．C
【分析】由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列，即可求得.
【详解】由题可得单位时间内的进光量形成公比为的等比数列，
则F4对应单位时间内的进光量为，F1.4对应单位时间内的进光量为，
从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的倍.
故选：C.
16．C
【分析】连接，已知条件为，，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率．
【详解】易知共线，共线，如图，
设，，则，
由得，，
又，
所以，，
所以，
所以，
由得，
因为，故解得，
则，
在中，，即，所以．
故选：C．
17．BC
【分析】利用题中定义可判断A选项的正误；利用的定义可判断B选项的正误；根据中的，数对与中的，数对的一一对应关系可判断C选项的正误；记中的，数对与，数对的个数分别为，，根据已知条件得出，结合累加法可判断D选项的正误.
【详解】若，则，，A错误；
由的定义知，B正确；
因为中的每一个，数对只能由中的一个，数对变来，且中的每一个，数对必生成一个中的，数对，C正确；
记中的，数对与，数对的个数分别为，，由C选项知．
又因为中的每一个，数对只能由中的一个或者一个，数对变来，
且由B选项知，中有个，从而，所以，故，D错误，
故选：BC．
【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：
（1）通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
（2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.数学与物理
数学与科技之数学与物理
各门科学中，物理与数学关系最亲，可以说，数学是物理学最铁的铁哥们，比如牛顿提出了微积分，而数学中的群理论也对理论物理有很好的帮助，下面我们两者之间的亲密关系吧．
一、好题赏析
例1．
1．复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强（单位：表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
例2．
2．航天之父 俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（ ）倍.
A． B． C． D．
二、小试牛刀
3．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，可近似计算，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，(为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度)，假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过多少分钟水温降为(结果保留整数，参考数据：)（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为10，则其侧面积为（ ）
A． B．
C． D．600
7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
8．我国于2021年5月成功研制出目前国际上超导量子比特数量最多的量子计算原型机“祖冲之号”，操控的超导量子比特为62个.已知1个超导量子比特共有“，”2种叠加态，2个超导量子比特共有“，，，”4种叠加态，3个超导量子比特共有“，，，，，，，”8种叠加态，…，只要增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就呈指数级增长.设62个超导量子比特共有种叠加态，则是一个（ ）位的数.(参考数据：)
A．18 B．19 C．62 D．63
9．“中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为：）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（ ）
A．60米 B．100米 C．130米 D．160米
10．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
11．熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1856年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用．在数学中，利用熵可以解决如下问题：有个互不相等的数，需要比较次（表示的阶乘：表示的是向上取整函数，如）就可以将这些数从小到大排序．现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
12．哥隆尺是一种特殊的尺子，对哥隆尺数码的研究在雷达和声纳技术 模式匹配和信息检索 同步光电探测器的代码 射电天文学等有广泛的应用，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6，图2的哥隆尺的刻度4到12之间增加一个整数刻度n，使得能一次性度量的长度个数最多，则整数刻度n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为，，…，（单位：），其相应的透射系数分别为，，…，，则组合墙的实际隔声量应由各部分的透射系数的平均值确定：，于是组合墙的实际隔声量（单位：）为．已知某墙的透射系数为，面积为，在墙上有一门，其透射系数为，面积为，则组合墙的平均隔声量为（ ）
A． B． C． D．
14．目前，我国的水环境问题已经到了刻不容缓的地步，河道水质在线监测COD传感器针对水源污染等无组织污染源的在线监控系统，进行24小时在线数据采集和上传通讯，并具有实时报警功能及统计分析报告，对保护环境有很大帮助.该传感器在水中逆流行进时，所消耗的能量为，其中为传感器在静水中行进的速度(单位：)，为行进的时间(单位：)，为常数，如果待测量的河道的水流速度为，则该传感器在水中逆流行进消耗的能量的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的（ ）
A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍
16．双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点. 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线的一部分，如图②，其方程为，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
17．“，数列”在通信技术有着重要应用，它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限，数列，表示把中每个都变为，，每个都变为，，所得到的新的，数列，例如，则．设是一个有限，数列，定义，、、、．则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．对任意有限，数列、中和的个数总相等
C．中的，数对的个数总与中的，数对的个数相等
D．若，则中，数对的个数为

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