资源简介

数学与音乐
数学与艺术之数学与音乐
在信息技术高速发展的今天，数学与音乐的关系非常密切，在音乐理论、编曲、音乐的合成等方面都需和数学打交道，而且音乐家们也往往具有深厚的数学底蕴，同学们是不是应该学好数学呢？
一、好题赏析
1．音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一 三分之一…)也在振动，所以我们听到声音的函数是，则声音函数的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
2．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音．则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）
A． B． C． D．
二、小试牛刀
3．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的.”音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载境创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中，，，表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
半音 （八度）
A． B． C． D．
4．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A． B． C． D．
6．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ）
A． B． C． D．
7．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（ ）
A．函数不具有奇偶性；
B．函数在区间上单调递增；
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大；
D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉．
8．我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图，从左至右依次为：，，，，，，，，，，，，的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（ ）
A． B． C． D．
9．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫 徵(zhǐ)，商 羽 角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（ ）
A．72 B．48 C．54 D．64
11．智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音，已知某噪音的声波曲线（，）的振幅为2，经过点，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A． B．
C． D．
12．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如之各项之和，的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在单调递增
13．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x，则下列结论正确的是________．(填序号)
①2π是f(x)的一个周期；
②f(x)在[0，2π]上有3个零点；
③f(x)的最大值为；
④f(x)在上是增函数．数学与音乐
数学与艺术之数学与音乐
在信息技术高速发展的今天，数学与音乐的关系非常密切，在音乐理论、编曲、音乐的合成等方面都需和数学打交道，而且音乐家们也往往具有深厚的数学底蕴，同学们是不是应该学好数学呢？
一、好题赏析
1．音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一 三分之一…)也在振动，所以我们听到声音的函数是，则声音函数的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
2．曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”可得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”可得羽音．则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）
A． B． C． D．
二、小试牛刀
3．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的.”音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载境创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中，，，表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）
频率
半音 （八度）
A． B． C． D．
4．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（ ）
A． B． C． D．
6．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（ ）
A． B． C． D．
7．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中错误的有（ ）
A．函数不具有奇偶性；
B．函数在区间上单调递增；
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大；
D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉．
8．我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图，从左至右依次为：，，，，，，，，，，，，的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（ ）
A． B． C． D．
9．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．中国古代制定乐律的生成方法是最早见于《管子·地员篇》的三分损益法，三分损益包含两个含义：三分损一和三分益一.根据某一特定的弦，去其，即三分损一，可得出该弦音的上方五度音；将该弦增长，即三分益一，可得出该弦音的下方四度音.中国古代的五声音阶：宫 徵(zhǐ)，商 羽 角(jué)，就是按三分损一和三分益一的顺序交替，连续使用产生的.若五音中的“宫”的律数为81，请根据上述律数演算法推算出“羽”的律数为（ ）
A．72 B．48 C．54 D．64
11．智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音，已知某噪音的声波曲线（，）的振幅为2，经过点，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为（ ）
A． B．
C． D．
12．音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如之各项之和，的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称
D．在单调递增
13．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数y＝Asin ωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f(x)＝sin x＋sin 2x，则下列结论正确的是________．(填序号)
①2π是f(x)的一个周期；
②f(x)在[0，2π]上有3个零点；
③f(x)的最大值为；
④f(x)在上是增函数．
参考答案：
1．C
【分析】首先确定函数的周期，接着在一个周期内函数的最大值即可.
【详解】，周期为，
只需要求y在上最大值.
令，
解得：或或，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以y在
时，；
时，y=0
.
故选：C.
2．C
【分析】根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音律管长度，作比即可.
【详解】解：设以宫音为基音的律管长度为，
则徵音的律管长度为，
商音的律管长度为，
羽音的律管长度为，
∴羽音律管长度与宫音律管长度之比为，
故选：C．
3．C
【分析】根据题意分析出本题的本质是考查等比数列的通项公式的应用，只需要找到公比即可.
【详解】依题意可知，
由于满足，
则，
所以数列为等比数列，其公比，
对应的频率为，题目所求半音对应的频率与对应的频率的比值为，
所以，即对应的半音为.
故选：C.
4．C
【分析】由图1求出、、的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数的解析式．
【详解】解：由图1知，，，
所以，所以；
结合题意知，函数．
故选：．
5．C
【分析】先求出等比数列的公比，再由等比数列的通项公式即可求解.
【详解】用表示这个数列，依题意，，则，，
第四个数即.
故选：C.
6．C
【解析】由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.
【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,
由,可知若,则必有,
故选:C
【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.
7．A
【分析】对A，结合奇偶性的定义判断即可；对B，利用正弦型函数的单调性作出判断；对C，分别判断的振幅大小可得；对D，求出周期，可得频率，即可得出结论.
【详解】对A，的定义域为R，
又，
即为奇函数，故A错误；
对B，时，，，，
故，，，在上均为增函数，
故在区间上单调递增，故B正确；
对C，的振幅为，，则，
所以的振幅大于的振幅，故声音甲的响度一定比纯音响度大，故C正确；
对D，易知的周期为，则其频率为，而的周期为，则其频率为，由，得声音甲比纯音更低沉，故D正确．
故错误的选项为A.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查新定义问题，解题的关键是正确利用正弦函数的性质结合求解.
8．D
【分析】的音频是数列的第10项，然后根据等比数列的知识可得出答案.
【详解】因为的音频是数列的第10项，
所以频率为是该数列的第四项，其音名是
故选：D
9．B
【分析】根据题目首先列出总的事件数，再列出满足条件的基本事件数，进一步求出答案.
【详解】“金、石”为打击乐器共2种，“匏、竹”为吹奏乐器共2种，“丝”为弹拨乐器，共1种，5选2的基本事件有（金、石）（金、匏）（金、竹）（金、丝）（石、匏）（石、竹）（石、丝）（匏、竹）（匏、丝）（竹、丝），共10种情况，其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为（金、匏）（金、竹）（石、匏）（石、竹），共4种，
故所求概率为.
故选：B.
10．B
【分析】按三分损一和三分益一的顺序交替进行计算可得结果
【详解】依题意，将“宫”的律数81三分损一可得“徵”的律数为，
将“徵”的律数三分益一可得“商”的律数为，
将“商”的律数三分损一可得“羽”的律数为.
故选：B
11．B
【解析】由振幅去确定，再由点确定的值，再结合该噪声的声波曲线与反向波叠加后相抵消得出所求解析式.
【详解】因为振幅为，所以
由整理得
因为，所以，故某噪音的声波曲线
由于该噪声的声波曲线与反向波叠加后相抵消，故反向波曲线应为
故选：B
12．ABD
【分析】利用正弦型函数的周期性可判断A选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断BC选项的正误，利用导数法可判断D选项的正误.
【详解】对于A：，
设，最小正周期为，
，最小正周期为，
，最小正周期为，
所以的最小正周期为上面所求的三个最小正周期的最小公倍数，
故函数的最小正周期为，故，故A正确；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：，，
所以，，故，故C错误；
对于D：，
当时，，则，
，，
，
所以，，故函数在上单调递增，D选项正确.
故选：ABD.
13．①②③
【分析】对①，根据正弦函数的周期判断即可；对②，根据正弦的二倍角公式化简，再求解零点即可；对③④，求导分析f(x)的单调性，再求最值即可
【详解】y＝sin x的最小正周期是2π，y＝sin 2x的最小正周期是＝π，
所以f(x)＝sin x＋sin 2x的最小正周期是2π，故①正确；
当f(x)＝sin x＋sin 2x＝0，x∈[0，2π]时，
sin x＋sin xcos x＝0，即sin x(1＋cos x)＝0，
即sin x＝0或1＋cos x＝0，解得x＝0或x＝π或x＝2π，
所以f(x)在[0，2π]上有3个零点，故②正确；
f(x)＝sin x＋sin 2x＝sin x＋sin xcos x，
f′(x)＝cos x＋cos2x－sin2x＝2cos2x＋cos x－1，
令f′(x)＝0，解得cos x＝或cos x＝－1，
当x∈或x∈时，0，则f(x)在，上单调递增，
当x∈时，－1≤cos x<，此时f′(x)≤0但不恒为0，则f(x)在上单调递减，则当x＝时，函数f(x)取得最大值，为f ＝sin＋sin＝＋＝，故③正确，④错误．
故答案为：①②③

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