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数学与美术
数学与艺术之数学与艺术
艺术的美感是与数学分不开的，比如几何中一些数量比例关系-黄金分割必，又如数学中分形学-局部与整体相似也体现了局部与整体美，中国古代的陶器也体现了古人对美学的认识，让我们一起来研究吧．
一、好题赏析
例1．
1．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边的.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它.巴特农神庙的部分轮廓就是黄金矩形（如下图所示）.则图中的正切值等于（ ）
A． B．
C． D．2
例2．
2．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　）
A． B．
C． D．
二、小试牛刀
3．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的儿何图形一八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形的边长为2，是正八边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点D为线段的黄金分割点（），，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议.第十四届大会于2021年7月11日~18日在上海市华东师范大学成功举办，其会标如图，包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，受疫情影响，第十四届大会在原定的举办时间上有所推迟，已知上述二进制和八进制数转换为十进制，即是第十四届大会原定的举办时间，则第十四届数学教育大会原定于（ ）年举行.
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
6．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为米，则应县木塔的总高度大约是（ ）（参考数据：）
A．米 B．米
C．米 D．米
8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若曲线与在处的曲率分别为，，（ ）
A． B． C．4 D．2
9．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
10．分形理论是一门新的学科，其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当时，该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为（ ）
A．40 B．81 C．121 D．364
11．如图，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．函数是圆O：的一个太极函数
B．函数不是圆O：的太极函数
C．函数不是圆O：的太极函数
D．函数不是圆O：的太极函数
12．某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
13．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为(　　)
A． B． C． D．
14．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量为
15．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2
C．曲线关于直线对称的曲线方程为
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
16．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线．具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为，，，以C为圆心、CB为半径作劣弧交于点；以A为圆心、为半径作劣弧交于点；以B为圆心、为半径作劣弧交于点，依此规律，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线．记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为，，，…，则______．
17．“双纽线”象数字“”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线是“双纽线”，下面是关于曲线的四个结论：
①曲线的方程中；
②曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
③若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是；
④曲线上任意一点到坐标原点的距离不超过．
则上述结论正确的是______．
参考答案：
1．D
【分析】先由题意求出，而，所以再利用正切的二倍角公式可求得结果
【详解】由题意知，
则，
故选:D.
2．D
【分析】由题设可得，法1：求三个弓形的面积，再加上三角形的面积即可；法2：求出一个扇形的面积并乘以3，减去三角形面积的2倍即可.
【详解】由已知得：，则，故扇形的面积为，
法1：弓形的面积为，
∴所求面积为．
法2： 扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为．
故选：D
3．D
【分析】由多边形的外角和定理求得每个三角形的顶角，根据正八边形的特征，可求得在方向上的投影的取值范围，从而可得选项.
【详解】解：因为每个三角形的顶角为．的模为2，根据正八边形的特征，
所以，，
所以如下图所示，在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是．
故选：D.
4．A
【分析】点D为线段的黄金分割点，求出，,再求得解.
【详解】
点D为线段的黄金分割点，
则，
所以，
则.
故选：A.
5．C
【分析】根据给定条件，将八进制数3744转换为十进制数即可.
【详解】.
故选：C
6．A
【分析】设正方形边长为2，根据图形求出小圆的半径，可得黑色部分刚好组成一个小圆，根据面积之比即可求出.
【详解】如图所示，设正方形的边长为2，设小圆的半径为，
由题可得，，
，，解得，
由图可知黑色部分刚好组成一个小圆，
所以黑色部分的面积为，正方形的面积为4，
则该点取自黑色部分的概率为.
故选：A.
7．C
【分析】由题意，木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比为，又，可估计
【详解】设正方形的边长为，圆的半径为，
则，
易知白银比例为．
因为，，
所以，故排除A，B，D．
故选：C
8．B
【分析】求出导函数及导函数的导数，根据曲率定义直接计算，再得出即可．
【详解】（1），，所以，
，，所以，
故；
故选：B
【点睛】本题考查新定义“曲率”，解题关键是理解曲率的定义，实质就是对导函数再求导得，然后根据所给公式求出的曲率．
9．B
【分析】先求出，，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出．
【详解】由题意可得：，且，
，解得：，
解得：，
故选：B
10．C
【分析】由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，
然后依次求出即可得到答案
【详解】由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，
时，时，时，
时，时，
.
故选：C.
11．A
【分析】根据题意分别作出四个选项对应函数的图像，即可判断各个选项的正误.
【详解】解：两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图：
故A正确；同理易知B，C不正确；
函数为奇函数，且，，如图：
所以函数是圆O：的一个太极函数，故D不正确，
故选：A．
12．AC
【分析】根据题意求出两个半椭圆的方程，根据两个椭圆方程分别求出离心率、长短轴之比可得答案.
【详解】由半椭圆的方程和图象可知，，由半椭圆的方程和图象可知，，
因为，所以，，所以半椭圆的焦点在轴上，
所以是半椭圆的焦点，、是半椭圆的焦点；
依题意可知，，所以，
又为等边三角形，所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以半椭圆的方程为，
又，所以，所以，
所以半椭圆的方程为，
对于A，椭圆的离心率是，故A正确；
对于B，椭圆的离心率，所以，故B不正确；
对于C，由可知，椭圆的焦点在轴上，故C正确；
对于D，椭圆的长短轴之比为，
椭圆的长短轴之比为，
因为，所以椭圆的长短轴之比小于椭圆的长短轴之比，故D不正确.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：根据椭圆的几何性质结合图形求出两个半椭圆方程是本题的解题关键.
13．AC
【分析】首先设圆柱的高与半球的半径分别为，，酒杯的容积为，则，再根据和得到，即可得到答案.
【详解】设圆柱的高与半球的半径分别为，，酒杯的容积为，则，
所以，
所以
解得.
又，所以，解得.
所以.
故选：AC.
14．ABD
【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用结合图像求出结果，逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】解：图2中的正八边形，其中，
对于A，故A正确；
对于B，故B正确；
对于C：因为，，，，则，
，所以，故C错误；
对于D：因为，所以向量在向量上的投影向量即为在向量上的投影向量，故D正确．
故选：ABD．
15．BCD
【分析】A，曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0）；
B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，即可判定；
C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程；
D，利用x2≥y2，比较直线y＝kx的斜率即可判定；
【详解】解：对于A，令，解得：或或，当时，无解.所以曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A错；
对于B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；
对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为（x2+y2）2＝4（y2﹣x2），故C正确；
对于D，据据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确；
故选：BCD．
16．
【分析】根据给定条件，确定这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，再利用前n项和公式计算即得.
【详解】依题意，这些劣弧的半径从小到大排成一列得等差数列，首项为1，公差为1，则第n个劣弧的半径长为n，
因每个劣弧的圆心角均为，于是得第n个劣弧的弧长，
所以．
故答案为：
17．①②④
【分析】推导出，可判断④的正误；由④可得出，解该不等式可判断①的正误；求出曲线的整点，分析出当时，关于的方程无解，可判断②的正误；分析出，解此不等式可判断③的正误.
【详解】对于④，因为，则，且，
所以，，即，
所以，曲线上任意一点到坐标原点的距离不超过，④对；
对于①，在曲线的方程中，令，可得，解得或，
且，可得，解得，
所以，曲线的方程中，①对；
对于②，曲线经过点、、，
当时，则有，
令，可得，，
则关于的方程无解，
所以，曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点），②对；
对于③，直线与曲线必有公共点，
联立，可得，
由题意可知，解得或，③错.
故答案为：①②④.数学与美术
数学与艺术之数学与艺术
艺术的美感是与数学分不开的，比如几何中一些数量比例关系-黄金分割必，又如数学中分形学-局部与整体相似也体现了局部与整体美，中国古代的陶器也体现了古人对美学的认识，让我们一起来研究吧．
一、好题赏析
例1．
1．人们一般把边长之比为黄金分割比的矩形称为黄金矩形，即黄金矩形的短边为长边的.黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它.巴特农神庙的部分轮廓就是黄金矩形（如下图所示）.则图中的正切值等于（ ）
A． B．
C． D．2
例2．
2．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　）
A． B．
C． D．
二、小试牛刀
3．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的儿何图形一八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形的边长为2，是正八边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．把一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点D为线段的黄金分割点（），，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议.第十四届大会于2021年7月11日~18日在上海市华东师范大学成功举办，其会标如图，包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，受疫情影响，第十四届大会在原定的举办时间上有所推迟，已知上述二进制和八进制数转换为十进制，即是第十四届大会原定的举办时间，则第十四届数学教育大会原定于（ ）年举行.
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
6．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”．山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木构塔式建筑．该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合．已知木塔顶层檐柱柱头以下部分的高度为米，则应县木塔的总高度大约是（ ）（参考数据：）
A．米 B．米
C．米 D．米
8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若曲线与在处的曲率分别为，，（ ）
A． B． C．4 D．2
9．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
10．分形理论是一门新的学科，其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形.在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当时，该黑色三角形内共去掉小三角形的个数为（ ）
A．40 B．81 C．121 D．364
11．如图，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则（ ）
A．函数是圆O：的一个太极函数
B．函数不是圆O：的太极函数
C．函数不是圆O：的太极函数
D．函数不是圆O：的太极函数
12．某房地产建筑公司在挖掘地基时，出土了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆与半椭圆组成，其中，设点是相应椭圆的焦点， 和是轴截面与轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线为边界， 在宝珠珠面上， 为等边三角形，则以下命题中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是 B．椭圆的离心率大于椭圆的离心率
C．椭圆的焦点在轴上 D．椭圆的长短轴之比大于椭圆的长短轴之比
13．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为(　　)
A． B． C． D．
14．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量为
15．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过2
C．曲线关于直线对称的曲线方程为
D．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
16．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，用以下方法画出了如图所示的螺旋线．具体作法是：先作边长为1的正三角形ABC，分别记射线AC，BA，CB为，，，以C为圆心、CB为半径作劣弧交于点；以A为圆心、为半径作劣弧交于点；以B为圆心、为半径作劣弧交于点，依此规律，就得到了一系列圆弧形成的螺旋线．记劣弧的长，劣弧的长，劣弧的长，…依次为，，，…，则______．
17．“双纽线”象数字“”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线是“双纽线”，下面是关于曲线的四个结论：
①曲线的方程中；
②曲线经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
③若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围是；
④曲线上任意一点到坐标原点的距离不超过．
则上述结论正确的是______．

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