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《9.2.1向量的加减法》课时同步详解
问题情境导入
（1）飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），由物理方面的知识我们知道这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船,它们的牵引力分别是,牵引绳之间的夹角为(如图),如果只用一条拖轮来牵引,也能产生跟原来相同的效果.
思考1从物理学的角度,上面实例中的位移、牵引力说明了什么 体现了向量的什么运算 思考2上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则
新课自主学习
自学导引
1.向量的加法.
(1)如图,已知向量和,在平面内任取一点,作,则向量______叫作与的和,记作______.即______.求两个向量和的运算叫作______.
(2)根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的______.
(3)______.
______.
(4)向量加法的运算律.
交换律：______;结合律:______.
(5)如图,分别作,以为邻边作,则以为起点的对角线表示的向量就是向量与的和.我们把这种方法叫作向量加法的_______.
2.向量的减法.
(1)若,则向量叫作与的______,记为______.
求两个向量差的运算,叫作向量的减法.
(2)当向量起点相同时,从_______的终点指向______的终点的向量就是.
(3)减去一个向量等于加上这个向量的______.
答案
1.(1) 向量的加法
(2)三角形法则
(3)
(4)
（5）平行四边形法则
2.(1)差 (2)
（3）相反向量
预习测评
1.在中,若,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
2.在平行四边形中,是对角线的交点.下列结论正确的是（ ）
A.
3.化简后等于（ ）
B.
C.
D.
4.化简:______.
5.已知正六边形,则______.
答案
1.
答案：D
解析:.
2.
答案：
解析:如图,因为,所以
3.
答案：
解析:
4.
答案：
解析:
5.
答案：n+m
解析:如图.
因为所以
新知合作探究
探究点1 向量的加法及运算律
知识详解
1.向量的加法：已知向量a和,在平面内任取一点,作,则向量叫作与的和,记作.即.
求两个向量和的运算叫作向量的加法.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即.
对于零向量与任意向量,规定.
2.向量加法的运算法则：
(1)三角形法则:根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.
(2)平行四边形法则:如图,分别作,以为邻边作,则以为起点的对角线表示的向量就是向量与的和.我们把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则.
3.一般地,我们有,当且仅当方向相同时等号成立.
4.向量加法的运算律.
(1)交换律:.
(2)结合律:.
5.向量加法的记忆口诀：
(1)三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点.
(2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.
典例探究
例1
(1)如图(1)所示,求作和向量.
(2)如图(2)所示,求作和向量.
解析利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行作图.
答案
首先作向量,然后作向量,则向量.如图所示.
(2)方法一（向量加法的三角形法则):如图所示,首先在平面内任取一点,作向量,再作向量,则得向量.然后作向量,则向量b),即为所求.
方法二(向量加法的平行四边形法则):如图所示,首先在平面内任取一点,作向量,以为邻边作,连接,则.再以为邻边作,连接,则,即为所求.
方法归纳应用向量加法的三角形法则、平行四边形法则作和向量时需注意的问题：
(1)三角形法则可以推广到个向量求和,作图时要求“首尾相连”.即个向量首尾相连,这个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第个向量的终点的向量.
(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,用三角形法则作出的图形是用平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.如本题(2)中方法一比方法二简单.
变式训练1如图，已知向量a，b，求作向量a+b
答案(1),如图所示.
(2),如图所示.
例2如图,四边形为等腰梯形,,为的中点.试求:
(1) ;
(2);
(3).
解析结合给出的图形和向量加法求解.
答案由已知得四边形均为平行四边形.
(1)
(2).
(3)
.
方法归纳解决向量加法运算时应注意以下两点:
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法的运算律,注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
变式训练2化简下列各式：
(1);
(2)
答案(1).
(2)
探究点2向量的减法
知识详解
1.向量的减法:若,则向量叫作与的差,记为.求两个向量差的运算,叫作向量的减法.,即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
2.向量减法的作法:如图,在平面内任取一点,作,则向量.
3.向量减法的几何意义:如果把两个向量的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.
4.向量减法的记忆口诀: 同起点,连终点,指向被减向量.
典例探究
例3(1)在 中,,则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
(2) 如图所示, 为内一点,,,求作向量.
解析
根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义,结合所给图形求解.
答案（1)B
(2)如图,以为邻边作,连接,，则,即为所求.
方法归纳：求作两个向量的差向量的两种思路:
(1)用向量减法的几何意义作两向量的差的步骤.
此步骤可以简记为“作平移，共起点，两尾连，指被减.
(2)利用相反向量作两向量差的方法.作向量时,先作向量,再作,则向量.
变式训练3如图,已知向量不共线,求作向量.
答案：方法一:如图,在平面内任取一点 ,作, ,则,再作,则.
方法二:如图(2),在平面内任取一点,作,则,再作,连接,则.
例4化简下列各式：
(1);
(2)；
(3).
解析根据所给向量的形式,观察其始点和终点对应的字母,寻找它们之间的关系, 完成化简.答案(1).
(2)
変式训练4 化简下列各式:
(1);
(2).
答案
.
(2).
探究点3向量加减法的应用
知识详解
向量加减法在实际中的应用十分广泛,比如可以用于飞机、汽车、轮船等交通工具多段位移的求和,根据船速和水速确定船的实际航向和航速等.
特别提示
1.利用平行四边形法则求向量的加法时要注意必须起点相同.
2.向量的减法在化简时要注意起点相同,连终点的时侯箭头要指向被减向量,千万不能弄错.
典例探究
例5在某地抗震救灾中,一架飞机从地按北偏东的方向飞行到达地接到受伤人员,然后又从3地按南偏东的方向飞行将受伤人员送往地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
解析根据题干的描述画出示意图,标出各个已知向量,然后根据向量的加法求解.答案如图,设分别表示飞机从地按北偏东的方向飞行,从地按南偏东的方向飞行,
则飞机飞行的路程指的是,两次飞行的位移的和指的是.
依题意,有.
又,
所以.
其中,所以方向为北偏东.从而这架飞机飞行的路程是,两次飞行的位移和的大小为,方向为北偏东.
方法归纳向量加法应用的关键及技巧.
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据向量加法的三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.
(2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.
变式训练5一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成角,求水流速度和船实际速度的大小.
答案 如图所示,表示水流速度,表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,表示船实际航行的速度,由题意知.
∵四边形为矩形,
,
∴水流速度的大小为,船实际速度的大小为.
例6已知为四边形所在平面外的一点,且向量满足,判断四边形的形状.
解析对已知等式进行变形,得到四边形两条对边对应的向量相等的结论,从而可判断四边形的形状.
答案∵,
∴
∴
∴,且,
∴四边形是平行四边形.
变式训练6如图所示,是三角形的边上两点,且.求证:.
答案∵,
∴
∵与大小相等,方向相反,
∴
故
易错易混解读
例如图,在五边形中,设,用表示
错解
.
错因分析在利用向量的减法表示向量的时候弄错了被减向量和减向量,是错误的,应为.
正解 由五边形可得,
.
纠错心得在用向量减法运算表示向量减法时特别要注意差向量的方向,这是初学向量减法时经常出现的错误之一.要牢记:有公共起点的向量作差,应由减向量的终点指向被用向量的终点.必要时,可画出图象,结合图象观察使问题更为直观.
课堂快速检测
1.如图所示的方格纸中有定点,则等于（ ）
D.
2.如图所示,在四边形中,,则四边形为（ ）
A.矩形
B.正方形
C.平行四边形
D.菱形
3.化简所得的结果是（ ）
B.
C.0
D.
4.在平行四边形中,等于（ ）
B.
C.
D.
5.在边长为1的正三角形中,的值为（ ）
A.1
B.2
C.
D.
6.如图,在平行四边形中,是和的交点.
(1)______;
(2)______.
7.若向量不共线,且,则的取值范围是______.
答案
1.
答案：C
解析:如图所示,取一点,使得,而
2.
答案C
解析:由向量加法的平行四边形法则可得答案为C.也可按如下推导证明:∵,即,
∴四边形为平行四边形.
3.
答案：C
解析:.
4.
答案：C
解析:在平行四边形中,,所以
5.
答案：D
解析:如图,作菱形,且,则
6.
答案：(1)(2)
7.
答案：
解析:因为向量不共线,所以|,即,故
要点概括整合
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