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第九章　平面向量
第9.2.2节　　向量的数量积
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义.
2.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
3.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.
1.教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.
2.教学难点：理解平面向量数量积的概念及其几何意义.
1.向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则 叫做向量a与b的夹角.
(2)显然，当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
如果a与b的夹角是，我们说a与b ，记作
2.向量的数量积及其几何意义
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作 ，即a·b＝ .
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)投影
如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1得到，我们称上述变换为向量a向向量b ，叫做向量a在向量b上的 向量.
3.向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝ (2)a⊥b
(3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ，特别地，a·a＝ 或|a|＝ 　
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
4.平面向量数量积的运算律
平面向量数量积的运算律与运算性质与实数的运算律及运算性质类似，可类比记忆
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba a·b＝b·a
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c)
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c
消去律 ab＝bc(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) a＝c
题型一　求向量的夹角
【例1】　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
题型二　向量数量积的几何意义
【例2】　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影.
题型三　求向量的数量积
【例3】　已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
题型四　向量数量积的运算性质
【例4】　对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是(　　)
A.|a·b|＝|a||b| B.|a＋b|＝|a|＋|b|
C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝
题型五　求向量的模与夹角
【例5】　(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为.求|a＋b|，|a－b|.
(2)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
1.在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于(　　)
A.－2 B.2 C.－2 D.2
2.已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A.4 B.－4 C.2 D.－2
3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为(　　)
A.2 B.2 C.6 D.12
4.已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________.
参考答案
1、解析　·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2.
答案　B
2、解析　向量b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
答案　D
3、解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2
＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2.
答案　B
4、解析　∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
设a与b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案　
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