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机械振动章末习题课
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机械振动
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热点专题1 简谐运动的对称性及应用
“对称性”表现在以下几个方面。
1．速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
2．加速度的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大、反向的加速度和回复力。
3．时间的对称性：系统在通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点A、B的时间间隔与逆向通过的时间间隔相等。
例题1、一个做简谐运动的质点,先后以同样的速度通过相距10 cm的A、B两点,历时0.5 s(如图所示)。过B点后再经过t=0.5 s质点以大小相等、方向相反的速度再次通过B点,则质点振动的周期是(　　)
A.0.5 s B.1.0 s
C.2.0 s D.4.0 s
解析:根据题意,由振动的对称性可知,AB的中点(设为O)为平衡位置,A、B两点对称分布于O点两侧。质点从平衡位置O向右运动到B的时间应为tOB=×0.5 s=0.25 s。质点从B向右到达右方极端位置(设为D)的时间tBD=×0.5 s=0.25 s。所以,质点从O到D的时间tOD=T=0.25 s+0.25 s=0.5 s,解得T=2 s。
热点专题1 简谐运动的对称性及应用
热点专题1 简谐运动的对称性及应用
例题2.一根自由长度为10 cm的轻弹簧,下端固定,上端连一个质量为m的物块P.在P上再放一个质量m的物块Q,系统静止后,弹簧长度为6 cm,如右图所示,如果迅速向上移去Q,物块P将在竖直方向做简谐运动,此后弹簧的最大长度是( )
A.8 cm B.9 cm
C.10 cm D.11 cm
解析:由题可知物块P在竖直方向上做简谐运动.平衡位置是重力和弹簧弹力相等的位置,由题中条件可得此时弹簧长度为8 cm,P刚开始运动时弹簧长度为6 cm,所以弹簧的最大长度是10 cm,C选项正确.
热点专题2 简谐运动的周期性与多解问题
1．简谐运动最大的特点就是具有周期性，其位移、速度、加速度、动能、势能等都具有周期性。
2．正是因为简谐运动具有周期性，所以简谐运动在好多情况下具有多解性，这是由运动的时间与周期关系不确定造成的。

例题3.如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R ，甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问： (1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
热点专题2 简谐运动的周期性与多解问题
(1)甲球做自由落体运动R＝，所以t1＝
乙球沿圆弧做简谐运动，此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为
所以 t1∶t2＝.

解：
例题3.如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R ，甲球从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问： (1)两球第1次到达C点的时间之比；
(2)若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？
热点专题2 简谐运动的周期性与多解问题
解：
(2)甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间为t甲＝，由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为
t乙＝＋n＝ (2n＋1)(n＝0,1,2…)
由于甲、乙在C点相遇，故 t甲＝t乙
解得 h＝ (n＝0,1,2…)
热点专题3 振动图象与表达式
1.从图象上可知振动的振幅为A;
2.从图象上可知振动的周期为T;
3.从图象上可知质点在不同时刻的位移,t1时刻对应位移x1,t2时刻对应位移x2;
1.通过表达式可以知道振幅为A
2.通过表达式可以计算周期
3.通过表达式可以计算t时刻的位移
4.通过表达式可以知道初相
热点专题3 振动图象与表达式
例题4.一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知(　　)
A．质点振动频率是4 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 m
D．t＝3 s时，质点所受的合外力一定等于零
【解析】　质点振动的周期是4 s，频率是0.25 Hz；t＝2 s时，质点的位移最大，回复力最大，加速度最大；质点的振幅为2 cm；t＝3 s时，质点的位移为零，所受的回复力为零，所受的合外力可能不为零，例如单摆最低点回复力为零，但向心力最大，合外力不为零，选项B正确．
例题5．如图轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是(　　)
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
E．t＝0.6 s时，物块的位移是－0.1 m
热点专题3 振动图象与表达式
y
0
热点专题4 简谐运动的动力学分析
1.受力分析 回复力 加速度
2.平衡位置回复力为零
3.利用好对称关系
小贴士：
热点专题4 简谐运动的回复力
位置
热点专题5 单摆测重力加速度
对于单摆，在摆角很小的情况下，可看作是做简谐运动，其振动的周期T＝2π，与振幅、摆球质量无关，可利用周期公式来测定当地的重力加速度。
热点专题5 单摆测重力加速度
例题7.将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图(甲)所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。

(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺。本实验所需的测量工具有________；
(2)如果实验中所得到的T2－L关系图象如图(乙)所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________；
(3)小筒的深度h＝________m；当地的重力加速度g＝________m/s2。

(1)本实验需要测量筒的下端口到摆球球心之间距离L，用到毫米刻度尺，还要测单摆的周期，需使用秒表，所以测量工具选B、D。
B、D
热点专题5 单摆测重力加速度
例题7.将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图(甲)所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。

(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺。本实验所需的测量工具有________；
(2)如果实验中所得到的T2－L关系图象如图(乙)所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________；
(3)小筒的深度h＝________m；当地的重力加速度g＝________m/s2。

B、D
摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2π得，T2＝L＋h，可知，T2－L关系图象为a
a
热点专题5 单摆测重力加速度
例题7.将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图(甲)所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g。

(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺。本实验所需的测量工具有________；
(2)如果实验中所得到的T2－L关系图象如图(乙)所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________；
(3)小筒的深度h＝________m；当地的重力加速度g＝________m/s2。

B、D
a
(3)将T2＝0，L＝－30 cm，代入T2＝L＋h
可得，h＝30 cm＝0.3 m，
将T2＝1.20 s2，L＝0代入上式可得 g＝9.87 m/s2。
热点专题6 单摆的等效摆长问题
等效摆长:
摆球球心到摆动圆弧圆心的距离。
双线摆
l
直径为d
等效摆长：
摆长(或等效摆长)
热点专题6 单摆的等效摆长问题
例题8.如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°.则：
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
解析:(1)小球以O’为圆心做简谐运动,所以摆长
l=l1+=l0+
振动的周期为T1=2π=2π=2π。
(2)小球以O为圆心做简谐运动,摆长
l'=l1+l2sin α+=l0+l0sin α+
振动周期为T2=2π=2π=2π
热点专题7 共振
受迫振动
(1)周期性驱动力作用下的振动
(2)受迫振动的频率等于驱动力的频率
(3)共振：当f驱＝f固时，振幅最大．
热点专题7 共振
例题9.下列说法中正确的是(　　)
A．某物体做自由振动时，其振动频率与振幅无关
B．某物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关
C．某物体发生共振时的频率就是其自由振动的频率
D．某物体发生共振时的振动就是无阻尼振动
E．当驱动力的频率和物体固有频率相差越大时，物体振幅越大
解析：物体做自由振动时，振动频率为固有频率，与振幅无关，故A对；物体做受迫振动时，振动频率总等于驱动力的频率，故B对；物体发生共振时，说明驱动力的频率等于物体的固有频率，故C对；物体发生共振时，同样会受到阻力作用而发生阻尼振动，故D错；当驱动力的频率和固有频率相等时，振幅最大，E错误．

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