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第二章　分式与分式方程
1　认识分式
第1课时　认识分式
知识梳理：
1.分式的概念
一般地,用A,B表示两个　　　　,A÷B可以表示成　　　　的形式.如果B中　　　　　　,那么称　　　　为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.
2.对于任意一个分式,分母都　　　　　　　.
3.分式有意义的条件为　　　　　　　　;分式无意义的条件为　　　　　　　　;分式为零的条件为　　　　　　　　　　　　.
考点梳理：
考点一、 分式的概念
[典例1]下列式子中,哪些是分式,哪些是整式
①; ②; ③; ④; ⑤;⑥; ⑦.
[变式1]下列各式:(1-x),,,,.其中分式共有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
点睛：对于分式的定义应把握两点:
(1)B中含有字母,即分母中含有字母;
(2)B≠0,即分母不为零.
判断分式时要注意:
(1)π表示圆周率,是常数,如不是分式;
(2)不能先约分再判断,应该根据原式进行判断,如与2的区别,前者是分式,隐含b≠0的条件,后者是整式.
考点二、 分式有、无意义的条件
[典例2]若式子1-在实数范围内有意义,则x的取值范围是　　　　.
[变式2]当x=　　　　时,分式无意义.
[变式3]当x为何值时,式子-有意义
点睛：
分式有、无意义满足的条件:若B≠0,则分式有意义;若B=0,则分式无意义.
考点三、 分式的值
[典例3]当x=2,-3时,分别求分式的值.
[变式4]当x=-2时,分式的值是4,那么a=　　　　.
考点四： 分式值为零的条件
[典例4]若分式的值为0,则x的值为(　　)
A.-1 B.1
C.-1或1 D.-1或0
[变式5]若分式的值为0,则x的值为(　　)
A.1 B.-1
C.-1或1 D.-1或0
[变式6]当x取何值时,分式的值为零
点睛：
分式值为零的条件:若A=0,B≠0,则分式的值为零.
第2课时　分式的基本性质
知识梳理：
1.分式的基本性质
分式的　　　　　　　　　都乘(或除以)同一个　　　 　　　_的　　　　,分式的值　　　　.
2.分式的约分
把一个分式的分子和分母的　　　 　　约去,这种变形称为分式的约分.
3.最简分式
在化简的结果中,分子和分母已没有　　　　　,这样的分式称为最简分式.
考点梳理：
考点一、 分式的基本性质
[典例1]下列各式是怎样从左边变形到右边的 需要满足的条件是
什么
(1)=;　　　(2)=.
[变式1]下列变形正确的是(　　)
A.= B.=
C.=(a≠0) D.=
[变式2](2022沂源模拟)如果把分式中的m,n都扩大3倍,那么分式的值(　　)
A.扩大9倍 B.扩大3倍
C.扩大6倍 D.不变
点睛：
判断分式的变形是否正确,主要找出分子、分母同乘或同除以的整式是否相同,注意这个整式需满足不为零的条件,尤其注意隐含条件的挖掘.
考点二、 分式的约分与最简分式
[典例2]约分:(1);
(2).
[变式3]分式,,,中是最简分式的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[变式4]当x=2 021时,分式的值是　　　　.
点睛：
分式约分的条件是分子、分母是积的形式,若是多项式的形式,应先分解因式再约分.利用分式的基本性质进行约分,要注意约去分子、分母的最大公因式,结果化成最简分式或整式.
考点三： 分式的符号法则
[典例3](泰山期中)根据分式的基本性质,分式可变形为(　　)
A. B.-
C.-1 D.-
[变式5]不改变分式的值,使下列各分式的分子和分母都不含
“-”号.
(1)=　　　　　;
(2)=　　　　　　;
(3)=　　　　　　;
(4)-=　　　　　　.
点睛：
分式中的符号法则:一个分式的分子、分母、分式本身同时改变两处的符号,分式的值不变.
2　分式的乘除法
第1课时　分子、分母为单项式的分式的乘除法
知识梳理：
1.分式乘除法的法则
两个分式相乘,把　　　　　　　　 　　作为积的分子,把
　　　　　　　　　作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母　　　　　　后再与被除式　　　　.
2.分式乘除法的法则用式子表示为:　 ,
　　　　　　　　　　　.
3.在分式的乘方运算中,要把分式的分子、分母分别　　　　.
考点梳理：
考点一、 分子、分母为单项式的分式的乘除运算
[典例1]计算:
(1)·; (2)2x2y÷.
[变式1]下列各式计算正确的是(　　)
A.·=
B.8a2b3÷(-)=-6a3b
C.-·(-)=-ab
D.a3÷a·=a
[变式2]计算:·÷.
点睛：
分式的乘法简单来说就是分子乘分子,分母乘分母;分式的除法与有理数的除法类似,其实质是被除式乘除式的倒数,从而把除法运算转化为乘法运算.
考点二、 分式的乘方运算
[典例2]计算:()3.
[变式3]计算()3·的结果是(　　)
A.a5b5 B.a4b5 C.ab5 D.a5b6
[变式4]计算:÷(-)2=　　　　.
点睛：
进行分式的乘方运算时应注意以下几点:
(1)分式的乘方应把分子、分母中的每一个因式(“-”号可看作因式-1)分别乘方,不能漏项.
(2)运算中含有乘方和乘除时,先算乘方,再算乘除.
第2课时　分子、分母为多项式的分式的乘除法
知识梳理：
1.在进行分式乘除运算时,如果分子或分母是多项式,应该先进行　　　　　　,再进行约分,化成　　　　　或整式.
2.在进行分式的乘除以及乘方混合运算时,应先算　　　　,再算　　　　,乘除混合运算可以统一为　　　　运算,运算结果为　　　　　　　　.
考点梳理：
考点一、 分子、分母为多项式的分式的乘除运算
[典例1]计算:
(1)·;　　　(2)÷; (3)÷·.
[变式1]先化简,再求值:÷·,其中a=2 022.
点睛：
在进行分式的乘除法运算时,如果分子或分母是多项式,应该先进行因式分解.
知识点二、 分式的乘除以及乘方混合运算
[典例2]计算:()2·÷.
[变式2]计算:()2·(-)2·(-)3.
点睛：
在进行分式的乘除以及乘方混合运算时,要注意运算顺序,先乘方,后乘除.
考点二、 分式乘除运算的应用
[典例3]已知x2+3x-1=0,求代数式(x2-9)÷的值.
[变式3]轮船在静水中每小时航行x km,水流的速度为y km/h,则轮船逆流航行50 km所用的时间是顺流航行50 km所用时间的
　　　　倍.
3　分式的加减法
第1课时　同分母分式的加减法
知识梳理：
1.同分母的分式加减法法则
同分母的分式相加减,分母　　　,把分子　　　.
2.同分母的分式加减法法则可以用式子表示为:　　　　　　　　.
3.结果应化为　　　　或　　　　.
考点梳理：
考点一、 同分母分式的加减运算
[典例1]计算:
(1)-; (2)-.
考点二、 分母互为相反数的分式的加减法
[典例2]计算:
(1)+; (2)-.
[变式1]计算-的结果是(　　)
A.1 B.-1
C.-2 D.2
[变式2](东营期末)计算:-.
点睛：
同分母分式加减法的一般步骤:
(1)分母不变,分子相加减,若分子是多项式,则注意括号的添加;
(2)分子去括号时,应按照去括号的法则进行;
(3)分子合并同类项;
(4)约分将结果化成最简分式或整式.
注意:若分母互为相反数可通过符号变换转化为同分母再进行计算.
考点三、 分式的化简求值
[典例3](2021越秀期末)已知A=-.
(1)化简A;
(2)当x满足不等式组且x为整数时,求A的值.
第2课时　异分母分式的加减法
知识梳理：
1.通分
根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为　　　　　的分式,这一过程称为分式的通分.
2.异分母的分式加减法法则
异分母的分式相加减,先　　　　,化为　　　　的分式,然后按同分母分式的加减法法则进行计算.
3.异分母的分式加减法法则可以用式子表示为:　　　　　　　　　.
4.异分母分式通分时,通常取　　　　　　作为它们的共同分母.
考点梳理：
考点一、 分式的通分
[典例1]通分:,,.
[变式1]分式,,-的最简公分母是(　　)
A.24(a+b)(a-b)(a2-b2)
B.12(a-b)(a2-b2)
C.(a+b)(a2-b2)
D.12(a2-b2)
点睛：
最简公分母的确定分为三步:第一步,确定系数,取各分母系数的最小公倍数作为系数;第二步,确定字母及其指数,找到所有字母,分别取它们的最高指数作为指数;第三步,将各分母系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作为最简公分母.
考点二、 异分母分式的加减法
[典例2]计算:+-.
[变式2]计算:-=　　　　.
[变式3](东营)化简求值:++,其中=.
点睛：
进行分式的加减运算时,若分母是多项式,应先分解因式,再通分.注意分式运算的结果要化为最简分式或整式.
考点二、 分式的简单应用
[典例3]甲、乙两个工程队分别承担一条20 km公路的维修任务,甲队有一半时间每天维修公路x km,另一半时间每天维修y km(x≠y);乙队维修前10 km公路时,每天维修x km,维修后10 km公路时,每天维修y km.问:甲、乙两队哪一队先完成任务
第3课时　分式的混合运算
知识梳理：
分式混合运算的顺序
先算　　　　,再算　　　　,最后算　　　　,有括号的,先算　　　　　　.
考点梳理：
考点一、 分式的混合运算
[典例1]计算:÷(1-).
[变式1](滨州)计算:÷.
考点二、 分式的化简求值
[典例2]先化简(-x+1)÷,然后从-1≤x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值.
[变式2]计算:÷(a-),其中2a-2b=5.
[变式3]老师在黑板上出了一道题:“先化简,再求值:÷-x,其中x=2 021.”小敏同学把条件“x=2 021”错抄成“x=2 012”,但她的结果也是正确的,请你通过计算说明理由.
点睛：
分式的化简求值题全都遵循“先化简,再求值”的原则.分式的化简要牢记运算法则和运算顺序,并能灵活应用,注意分式的运算结果应是最简分式或整式,代入求值时应注意字母取值范围的限制条件.
4　分式方程
第1课时　分式方程的解法
知识梳理：
1.分式方程
　　　　　　　　　　　的方程叫做分式方程.
2.增根
在方程变形中如果产生了　　　　　　　　　的根,那么我们称它为原方程的增根.
3.因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须　　　　.
4.解分式方程的三个步骤
(1)去分母:将分式方程的两边同时乘　　　　,约去方程中的分母;
(2)解整式方程;
(3)把求出的根代入原方程各分式的　　　　中,看其是否为0,若为0,则这个根就是原方程的　　　　　.
考点梳理：
考点一、 分式方程的概念
[典例1](岱岳模拟)已知方程:①+=6;②+x=3;③-9=0;④(x+)(x+6)=-1.这四个方程中,分式方程有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[变式1]某工厂计划生产210个零件,由于采用新技术,实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍,因此提前5天完成任务.设原计划每天生产零件x个,依题意列方程为(　　)
A.-=5 B.-=5
C.-=5 D.=1.5+
考点二、 分式方程的解法
[典例2]解方程:+1=.
[变式2](东营模拟)解分式方程+=分以下四步,其中错误的一步是(　　)
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
[变式3]解方程:-1=.
点睛：
解分式方程的思路是通过去分母转化为整式方程,由于转化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,所以可能产生增根,因此解分式方程必须验根.
考点三、 利用分式方程的增根确定字母的取值(或范围)
[典例3]若关于x的方程+=有增根,则增根是多少 并求方程产生增根时m的值.
[变式4]若关于x的分式方程=2-有增根,则a=　　　　.
第2课时　分式方程的应用(1)
知识梳理：
1.列分式方程解应用题的步骤
(1)审:审清题意,准确找出　　　　　;
(2)设:设出　　　　　　;
(3)列:根据题意,列出分式方程;
(4)解:解分式方程;
(5)检:　　　　,既要检验根是否是　　　　　,又要检验根是否　　　　　;
(6)答:写出答案.
2.总价=单价×　　　　;
利润=售价—　　　　;
总利润=单个利润×　　　　.
考点梳理：
考点一、 分式方程的应用——销售问题
[典例]某商场在端午节来临之际用 3 000元购进A,B两种粽子1 100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.
(1)求A,B两种粽子的单价.
(2)若计划用不超过7 000元的资金再次购进A,B两种粽子共
2 600个,已知A,B两种粽子的进价不变,A种粽子最多能购进多少个
[变式1]某公司会计欲查询乙商品的进价,发现进货单已被墨水污染.
进货单
商品 进价/(元/件) 数量/件 总金额/元
甲 7 200
乙 3 200
　　 　　
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下:
李阿姨:“我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.”
王师傅:“甲商品比乙商品的数量多40件.”
请你求出乙商品的进价,并帮助他们补全进货单.
[变式2](威海)六一儿童节来临之际,某商店用3 000元购进一批玩具,很快售完;第二次购进时,每件的进价提高了20%,同样用
3 000元购进的数量比第一次少了10件.
(1)求第一次购进玩具每件的进价;
(2)若两次购进的玩具售价均为70元,且全部售完,求两次的总利润.
第3课时　分式方程的应用(2)
知识梳理：
1.路程=速度×　　　　;
速度=路程÷　　　　;
时间=路程÷　　　　.
2.工作量=工作效率×　　　　;
工作效率=工作量÷　　　　;
工作时间=工作量÷　　　　.
考点梳理：
知识点一、 分式方程的应用——行程问题
[典例1](海珠期末)一批学生志愿者去距学校8 km的老人院参加志愿服务活动,一部分学生骑自行车先走,过了15 min后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知学生骑车的速度是汽车速度的一半,求学生骑车的速度.
[变式1](2022安丘模拟)星期天,小明和小芳从同一小区门口同时出发,沿同一路线去离该小区1 800 m的少年宫参加活动,为响应“节能环保,绿色出行”的号召,两人都步行,已知小明的速度是小芳速度的1.2倍,结果小明比小芳早6 min到达,求小芳的速度.
点睛：
列分式方程解应用题的关键是分析题意,特别对于行程问题,可借助图表弄清已知量与未知量之间的关系,从而得到等量关系式,设未知数,列出方程解决问题.利用分式方程解应用题一定要注意检验,找出符合实际问题的答案.
考点二、 分式方程的应用——工程问题
[典例2](陆良一模)大量的水土流失会造成森林、草地、农田等生态系统土层变薄、土质恶化、土壤生产力下降以及物种多样性减少,并且影响范围大、危害持续时间长,因此,水土流失已是人类面临最严重的环境问题之一.为改善生态环境,防止水土流失,某村拟在荒坡地上种植960棵树,由于青年团员的支援,每日比原计划多种20棵,结果在时间相同的情况下多种了240棵树,原计划每天种植多少棵树
[变式2](文登模拟)某市在城市建设过程中需铺设一条长度为900 m的管道.该市决定由甲工程队完成这一工程,为加快施工进程,甲工程队引进了新设备,实际每天铺设管道长度比原计划增加了50%,结果比原计划少用2天完成任务.求甲工程队实际每天铺设管道多少米.
答案：
第二章　分式与分式方程
1　认识分式
第1课时　认识分式
知识梳理：
1.整式　　含有字母　
2.不能为零
3.分母不为0　分母等于0　分子为零,分母不为零
考点梳理：
[典例1] 解:整式有②④⑦;分式有①③⑤⑥.
[变式1] A
[典例2] x≠1
[变式2] 2 020
[变式3] 解:由题意,得x-1≠0且x+2≠0,
解得x≠1且x≠-2,
∴当x≠1且x≠-2时,式子-有意义.
[典例3] 解:当x=2时,==1;
当x=-3时,==.
[变式4] 24　
[典例4] A
[变式5] B
[变式6] 解:∵当分子的值为零,分母的值不为零时,分式的值为零,
∴x2-4=0,
解得x=2或x=-2.
又∵2x+4≠0,
即x≠-2,
∴当x=2时,分式的值为零.
第2课时　分式的基本性质
知识梳理：
1.分子与分母　不等于零　整式　不变
2.公因式　3.公因式
考点梳理：
[典例1] 解:(1)分子、分母都乘y,条件是y≠0.
(2)分子、分母都除以(m-n),条件是m-n≠0.
[变式1] C　
[变式2] B
[典例2] 解:(1)==.
(2)
=
=.
[变式3] C　
[变式4]
[典例3] B
[变式5] (1)　(2)-　(3)-　(4)-
2　分式的乘除法
第1课时　分子、分母为单项式的分式的乘除法
知识梳理：
1.分子相乘的积　分母相乘的积　颠倒位置　相乘
2.·=　÷=·=
3.乘方
考点梳理：
[典例1] 解:(1)·==.
(2)2x2y÷=·=-=-.
[变式1] D
[变式2] 解:·÷
=··
=.
[典例2] 解:()3==.
[变式3] A　
[变式4]
第2课时　分子、分母为多项式的分式的乘除法
知识梳理：
1.因式分解　最简分式
2.乘方　乘除　乘法　最简分式或整式
考点梳理：
[典例1] 解:(1)·
=·
=(a-2)(a-3)
=a2-5a+6.
(2)÷
=·
=-.
(3)÷·
=··
=.
[变式1] 解:÷·
=··
=a+1.
当a=2 022时,原式=a+1=2 023.
[典例2] 解:()2·÷
=··
=.
[变式2] 解:()2·(-)2·(-)3
=()2··()3
=··
=
=.
[典例3] 解:(x2-9)÷
=(x+3)(x-3)·
=x(x+3)
=x2+3x,
∵x2+3x-1=0,
∴x2+3x=1,
即(x2-9)÷=1.
[变式3]
3　分式的加减法
第1课时　同分母分式的加减法
知识梳理：
1.不变　相加减　2.±=
3.整式　最简分式
考点梳理：
[典例1] 解:(1)-===-=-.
(2)-===
=a-1.
[典例2] 解:(1)+
=-
=
=x+1.
(2)-
=+
=
=
=.
[变式1] A
[变式2] 解:-
=-
=-
=+
=.
[典例3] 解:(1)A=-
=-
=.
(2)由x-1≥0,得x≥1,
由x-3<0,得x<3,
则不等式组的解集为1≤x<3.
∵x为整数,∴x=1或x=2.
∵x≠±2,∴x=1,
∴A===-2.
第2课时　异分母分式的加减法
知识梳理：
1.同分母　2.通分　同分母
3.±=±=
4.最简公分母
考点梳理：
[典例1] 解:分式的最简公分母为24xyz3,
==,
=-=-,
==.
[变式1] D
[典例2] 解:+-
=+-
=
=
=
=-.
[变式2]
[变式3] 解:++
=++
=
=
=.
∵=,∴n=5m,
∴++==.
[典例3] 解:由题意,得甲队完成任务需要的时间为=;
乙队完成任务需要的时间为+.
甲、乙两队完成任务的时间差为-(+)
==.
∵x>0,y>0,且x≠y,
∴-10(x-y)2<0,xy(x+y)>0,
∴<0,
∴甲队先完成任务.
第3课时　分式的混合运算
知识梳理：
乘方　乘除　加减　括号里面的
考点梳理：
[典例1] 解:÷(1-)
=÷(-)
=÷
=·
=.
[变式1] 解:(-)÷
=[-]·
=·
=·
=·
=-
=-.
[典例2] 解:(-x+1)÷
=[-]·
=·
=-.
∵-1≤x≤2,x≠-1,2且x为整数,
∴x=0或x=1,
∴当x=0时,原式=-=1.(或当x=1时,原式=-=3.答案不
唯一)
[变式2] 解:÷(a-)
=÷
=·
=.
∵2a-2b=5,∴a-b=,
∴原式===.
[变式3] 解:÷-x
=·-x
=x-x
=0.
∵化简后的结果不含x,
∴小敏同学把条件“x=2 021”错抄成“x=2 012”,她的结果也是正确的.
4　分式方程
第1课时　分式方程的解法
知识梳理：
1.分母中含有未知数　2.不适合原方程
3.检验　4.(1)最简公分母　(3)分母　增根
考点梳理：
[典例1] C　
[变式1] A
[典例2] 解:整理,得+1=.
方程两边都乘x-2,得5+x-2=-x+1.
解得x=-1.
检验:把x=-1代入x-2,得-1-2=-3≠0.
∴x=-1是原方程的根.
[变式2] D
[变式3] 解:方程两边都乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,
化简,得x+2=3,
移项、合并同类项,得x=1.
检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0.
因此x=1是增根,原方程无解.
[典例3] 解:去分母,得m+2(x-3)=x+3,
由分式方程有增根,得x-3=0或x+3=0,
即x=±3.
把x=3代入整式方程,得m=6;
把x=-3代入整式方程,得m=12.
综上所述,方程的增根是x=±3,方程产生增根时m的值为6或12.
[变式4] 4　解析:方程两边同乘(x-4),得
x=2(x-4)+a,
∵关于x的分式方程=2-有增根,
∴x-4=0,
解得x=4.
将x=4代入方程x=2(x-4)+a,得a=4.
故答案为4.
第2课时　分式方程的应用(1)
知识梳理：
1.(1)等量关系　(2)未知数　
(5)检验　原分式方程的根　符合题意
2.销售数量　进价　销售数量
考点梳理：
[典例] 解:(1)设B种粽子单价为x元,
则A种粽子单价为1.2x元.
根据题意,得+=1 100,
解得x=2.5.
经检验,x=2.5是所列方程的解,且符合题意.
1.2x=3.
答:A种粽子单价为3元,B种粽子单价为2.5元.
(2)设购进A种粽子m个,则购进B种粽子(2 600-m)个.
由题意,得3m+2.5(2 600-m)≤7 000,
解得m≤1 000.
答:A种粽子最多能购进1 000个.
[变式1] 解:设乙商品的进价为x元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x元/件.
由题意,得-=40,
解得x=40.
经检验,x=40是原方程的解,且符合题意.
∴乙商品的进价为40元/件,
∴(1+50%)x=60,=80,
=120.
补全进货单如下:
商品 进价/(元/件) 数量/件 总金额/元
甲 60 120 7 200
乙 40 80 3 200
[变式2] 解:(1)设第一次购进玩具每件的进价为x元,则第二次购进玩具每件的进价为(1+20%)x元,
根据题意,得-=10,
解得x=50.
经检验,x=50是原方程的解,且符合题意.
答:第一次购进玩具每件的进价为50元.
(2)×70-6 000=1 700(元).
答:两次的总利润为1 700元.
第3课时　分式方程的应用(2)
知识梳理：
1.时间　时间　速度
2.工作时间　工作时间　工作效率
考点梳理：
[典例1] 解:设学生骑车的速度为x km/h,
则汽车的速度为2x km/h.
依题意,得-=,
解得x=16.
经检验,x=16是原方程的解,且符合题意.
答:学生骑车的速度为16 km/h.
[变式1] 解:设小芳的速度是x m/min,
则小明的速度是1.2x m/min.
根据题意,得-=6,
解得x=50.
经检验,x=50是原方程的解,且符合题意.
答:小芳的速度是50 m/min.
[典例2] 解:设原计划每天种植x棵树,
则实际每天种植(x+20)棵树.
由题意,得=,
解得x=80.
经检验,x=80是原方程的解,且符合题意.
答:原计划每天种植80棵树.
[变式2] 解:设甲工程队原计划每天铺设管道x m,
则实际每天铺设管道(1+50%)x m.
由题意,得-=2,
解得x=150.
经检验,x=150是原方程的解,且符合题意.
∴(1+50%)x=225.
答:甲工程队实际每天铺设管道225 m.
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