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第13讲 三角形 2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）
一、单选题
1．（2022·徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（　　）
A．5 B．6 C． D．
2．（2022·南通）用一根小木棒与两根长分别为的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·南通模拟）在如图的方格中， 的顶点 、 、 都是方格线的交点，则三角形 的外角 的度数等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·泰州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为(　　)
A． B． C． D．
5．（2022·无锡）如图，在 ABCD中， ， ，点E在AD上， ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·无锡）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．12π B．15π C．20π D．24π
7．（2022·扬州）如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点.下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．（2022·宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
9．（2022·海陵模拟）在 ABCD中，对角线AC、BD的长分别为4、6，则边BC的长可能为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2022九下·沭阳模拟）如图①，在△ABC中，点P从点B出发，沿B→C方向以1cm/s的速度匀速运动到点C，图②是点P运动时，线段AP的长y(cm)随时间x(s)变化的关系图象，当△ABP与△APC面积相等时，AP的长为（　　）
A． B．2 C．2 D．4
二、填空题
11．（2022·徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝　 　．
12．（2022·镇江）一副三角板如图放置，，，，则　 　．
13．（2022·南通）平面直角坐标系中，已知点是函数图象上的三点。若，则k的值为　 　．
14．（2022·盐城）《庄子 天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”如图，直线与轴交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为　 　．
15．（2022·常州）如图，在中，，，.在中，，，.用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是　 　.
16．（2022·常州）如图，是的内接三角形.若，，则的半径是　 　.
17．（2022·泰州）如图上，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，则线段CD的长为　 　.
18．（2022·苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为　 　.
19．（2022·扬州）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则　 　°.
20．（2022·连云港）如图，在 中， .利用尺规在 、 上分别截取 、 ，使 ；分别以 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点 .若 ，则 的长为　 　.
三、综合题
21．（2022·徐州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D、E分别为BC、PC的中点，连接DE．过点E作BC的垂线，与BC、AC分别交于F、G两点．连接DG，交PC于点H．
（1）∠EDC的度数为　 　；
（2）连接PG，求△APG 的面积的最大值；
（3）PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；
（4）求的最大值．
22．（2022·南通模拟）如图， 和 相交于点 ， ， ．
（1）求证： ；
（2）求证：
23．（2022·常州）在四边形中，是边上的一点.若，则点叫做该四边形的“等形点”.
（1）正方形　 　“等形点”（填“存在”或“不存在”）；
（2）如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”.已知，，，连接，求的长；
（3）在四边形中，EH//FG.若边上的点是四边形的“等形点”，求的值.
24．（2022·泰州）已知：△ABC中，D 为BC边上的一点.
（1）如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的长；
（2）在图②，用无刻度的直尺和圆规在AC边上做点F，使∠DFA=∠A；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面积等于，以FD为半径作⊙F，试判断直线BC与⊙F的位置关系，并说明理由.
25．（2022·泗洪模拟）如图，在中，，，通过尺规作图，得到直线和射线，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：
（1）直线是线段的　 　线，射线是的　 　线；
（2）求的度数.
26．（2022·苏州）如图
（1）如图1，在△ABC中， ，CD平分 ，交AB于点D， // ，交BC于点E.
①若 ， ，求BC的长；
②试探究 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2， 和 是△ABC的2个外角， ，CD平分 ，交AB的延长线于点D， // ，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为 ，△CDE的面积为 ，△BDE的面积为 .若 ，求 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴.
故答案为：C.
【分析】对图形进行点标注，易证△ABE∽△CDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得S阴影=S△ABC，然后结合三角形的面积公式进行计算.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：设第三根木棒长为x，根据题意得
6-3＜x＜6+3
解之：3＜x＜9
∵3＜4＜9，
∴这根小木棒的长度可以为4cm.
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系定理：两边之差＜第三边＜两边之和；设第三根木棒长为x，可得到关于x的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到符合题意的选项.
3．【答案】C
【解析】【解答】解，设每个小方格的边长为1，
由勾股定理可得 ， ， ，
，
，且 ，
为等腰直角三角形，
， ，
.
故答案为：C．
【分析】设每个小方格的边长为1，利用勾股定理可得AB、BC、AC，结合勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形且AB=BC，∠ABC=90°，∠BCA=45°，由外角的性质可得∠ACD=∠ABC+∠BAC，据此计算.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接CF、CG、AE，
∵
∴
在和中，
∵
∴
∴
∴
当时，最小，
∴d1＋d2＋d3的最小值为.
故答案为：C.
【分析】连接CF、CG、AE，由正方形的性质得∠ADC=90°，∠EDG=90°，AD=CD，DE=DG，由同角的余角相等得∠ADE=∠CDG，证△ADE≌△CDG，得到AE=CG，则DE+CF+CG=EF+CF+AE，当EF+CF+AE=AC时，取得最小值，然后利用勾股定理计算即可.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∵
∴∠A=75°，
∵∠ABE=60°，
∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°，
∵BF⊥AD，
∴∠BFD=90°，
∴∠EBF=∠AEB=45°，
∴BF=FE，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=75°，
∴∠ADB=30°，
设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF= ，
∴DE=DF-EF=（ -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- ）x，
由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=（2- ）2x2+x2=（8-4 ）x2，
∴
∴ ，
∵AB=CD，
∴ .
故答案为：D.
【分析】过点B作BF⊥AD于F，根据平行四边形的性质可得CD=AB，CD∥AB，由平行线的性质可得∠ADC+∠BAD=180°，结合∠ADC的度数可得∠A的度数，利用内角和定理可得∠AEB=45°，进而推出BF=FE，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠A=75°，则∠ADB=30°，设BF=EF=x，则BD=2x，由勾股定理，得DF=x，DE=DF-EF=( -1)x，AF=(2- )x，由勾股定理可得AB2，据此可得的值，然后结合AB=CD进行求解.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积= ×2π×4×5=20π.
故答案为：C.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的值，然后根据S圆锥的侧面积=×2π·BC·AB进行计算.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，
∴，
，
，
，故①正确；
，
，
，
，
平分，故②正确；
，
，
，
，
，
，
故③正确
故答案为：D.
【分析】根据旋转的性质可得△ADE≌△ABC，则∠E=∠C，根据对顶角的性质可得∠AFE=∠DFC，然后根据相似三角形的判定定理可判断①；根据全等三角形的性质可得AB=AD，∠ADE=∠ABC，由等腰三角形的性质可得∠ABD=∠ADB，则∠ADB=∠ADE，据此判断②；根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAE，则∠BAD=∠CAE，根据相似三角形的性质可得∠CAE=∠CDF，据此判断③.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm.
故答案为：D.
【分析】分腰长为3、腰长为5，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此不难求出周长.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，在 ABCD中，对角线AC、BD的长分别为4、6，
∴，，
∴在中，
，
即．
故答案为：A．
【分析】先求出，，再利用三角形的三边关系求解即可。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，作AD⊥BC
由图象可知，①时，cm；
②时，，cm；
③时，，cm；
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得cm
当△ABP与△APC面积相等时，cm，cm，
∴在Rt△ADP中，由勾股定理得cm.
故答案为：D.
【分析】作AD⊥BC，由图象知：当x=0时，AP=AB=4cm；当x=2时，AP⊥BC，BP=BD=2cm；当x=8时，AP=AC，BP=BC=8cm，由勾股定理可得AD，然后根据△ABP与△APC面积相等可得BP=PC=4cm，DP=2cm，然后利用勾股定理进行计算.
11．【答案】
【解析】【解答】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，
由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，
∵∠D=90°，
∴，
所以，
所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在Rt△AEF中：
，
∴，
解得，
∴
故答案为：.
【分析】由折叠的性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质可得CD=AB=3，BC=AD=5，利用勾股定理可得DF，由AF=AD-DF可得AF，设BE=EF=x，则AE=3-x，利用勾股定理可得x，进而可得AE.
12．【答案】105
【解析】【解答】解：如图，
∵ ，
∴ ，
， ，
，
故答案为：105.
【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得∠2=∠A=45°，由内角和定理可得∠D=60°，由外角的性质可得∠1=∠2+∠D，据此计算.
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
∵点A（m，6m），B（3m，2n），C（ 3m， 2n）是函数y＝kx（k≠0）图象上的三点．
∴k＝6m2＝6mn，
∵m≠0
∴n＝m，
∴B（3m，2m），C（ 3m， 2m），
∴B、C关于原点对称，
∴BO＝CO，
∵S△ABC＝2，
∴S△AOB＝1，
∵S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，
∴|6m＋2m|） |3m m|＝1，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OA，过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，利用点A，B，C的坐标及反比例函数的解析式，可得到n＝m，可推出B、C关于原点对称，可证得BO＝CO；再利用△ABC的面积可得到△AOB的面积；然后根据S△AOB＝S梯形ADEB＋S△AOD S△BOE＝S梯形ADEB，可得到关于m的方程，解方程求出m2的值，即可求出k的值.
14．【答案】2
【解析】【解答】解：直线与y轴的夹角是45°，
，，…都是等腰直角三角形，
，，，…
点A的坐标为(0，1)，点O1的坐标为1，
当时，，点的坐标为，
，
点的横坐标，
当时，，
点的坐标为，
，……
以此类推，得，，，，……，，
，
的最小值为2．
故答案为：2.
【分析】易得△OAO1、△O1A1O2……都是等腰Rt△，则OA=O1A，O1A1=O2A1，O2A2=O3A2，表示出点A1、A2的坐标，推出OA=a1=1，O1A1=a2=，O2A2=a3=，O3A3=a4=，On-1An-1=an=，据此计算.
15．【答案】21
【解析】【解答】解：过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F'如下图：
，，，
，
在中，，，.
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
的外部被染色的区域面积为，
故答案为：21.
【分析】过点F作AB的垂线交于G，同时在图上标出M、N、F′，利用勾股定理可得AB、DE，由AE=AB-DE可得AE，推出四边形AEFF′为平行四边形，得到AE=FF′=10，根据三角形的面积公式可得GF，证明△DFM∽△ACM，△ANF′∽△DNC，根据相似三角形的性质可得DM、DN，由MN=DN-DM可得MN，然后根据Rt△ABC的外部被染色的区域面积为S梯形MNF′F结合梯形的面积公式进行计算.
16．【答案】1
【解析】【解答】解：连接OA、OC，
，
，
，即，
解得：，
故答案为：1.
【分析】连接OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得∠AOC=2∠ABC=90°，然后利用勾股定理进行计算即可.
17．【答案】2或
【解析】【解答】解：①如图，作，，连接OB，则OD⊥AC，
∵，
∴
∵O为的内心，
∴，
∴
∴，
同理，，
∴DE=CD+BE，
∵O为的内心，
∴，
∴
∴
∴
②如图，作，
由①知，，，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：2或.
【分析】作DE∥BC，OF∥BC，OG∥AB，连接OB，则OD⊥AC，由平行线的性质得∠OBF=∠BOE，根据内心的概念可得∠OBF=∠OBE，推出BE=OE，同理可得CD=OD，则DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB，根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD，则BF=BG，AD=AC，AB=BG+AG=6-CD+8-CD=10，据此可得CD的值；作DE⊥AB，则BE=4，AE=6，易证△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质可得AD的值，由CD=AC-AD可得AD，利用勾股定理可得DE，由DE=BE+CD就可求出CD的值.
18．【答案】6
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6.
故答案为：6.
【分析】由等腰三角形的性质可得AB=AC，当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，此时不能构成三角形，据此解答.
19．【答案】105
【解析】【解答】解：，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105.
【分析】根据平行线的性质可得∠FAN=∠B=45°，根据余角的性质可得∠F=90°-∠E=30°，由对顶角的性质可得∠BND=∠ANF，然后结合内角和定理进行计算.
20．【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM⊥CD于点M，
由题意得：BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=+1，AB∥CD，
∴∠CHB=∠ABH=∠CBH，∠C+∠ABC=180°，
∴CH=BC=+1，∠C=180°-150°=30°，
∴BM=BC=，
∴CM==，
∴HM=+1-=，
∴BH==.
故答案案为：.
【分析】过点B作BM⊥CD于点M，由题意得BH平分∠ABC，即得出∠ABH=∠CBH，根据平行四边形的性质得出BC=AD=+1，AB∥CD，从而得出∠CHB=∠ABH=∠CBH，∠C+∠ABC=180°，进而得出CH=BC=+1，∠C=30°，再求出BM和HM的长，最后根据勾股定理即可求得BH的长.
21．【答案】（1）45°
（2）解：如图：连接PG
∵∠EDC=∠ACB=45°，GF⊥DC
∴△EDF和△GFC是等腰直角三角形
∴DF=EF= ，GF=CF= ，
设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE
∴DE=，EF=
∵Rt△APC，
∴PC=
∴CE=
∵Rt△EFC
∴FC=FG=
∴CG=CF=
∴AG=12-CG=12-=
∴S△APG=
所以当x=6时，S△APG有最大值9．
（3）解：DG=PE，DG⊥PE，理由如下：
∵DF=EF，∠CFE=∠GFD，GF=CF
∴△GFD≌△CFE(SAS)
∴DG=CE
∵E是PC的中点
∴PE=CE
∴PE=DG；
∵△GFD≌△CFE
∴∠ECF=∠DGF
∵∠CEF=∠PEG
∴∠GHE=∠EFC=90°，即DG⊥PE．
（4）解：∵△GFD≌△CFE
∴∠CEF=∠CDH
又∵∠ECF=∠DCH
∴△CEF∽△CDH
∴，即
∴
∵FC= ，CE=，CD=
∴
∴的最大值为．
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12
∴∠B=∠ACB=45°
∵D、E分别为BC、PC的中点
∴DE∥BP，DE=
∴∠EDC=∠B=45°．
故答案为：45°；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠B=∠ACB=45°，由题意可得DE为△BCP的中位线，则DE∥BP，DE=BP，然后根据平行线的性质进行解答；
（2）连接PG，易得△EDF和△GFC是等腰直角三角形，则DF=EF=DE，GF=CF=CG，设AP=x，则BP=12-x，BP=12-x=2DE，表示出DE、EF，由勾股定理可得PC、FC，然后表示出CE、CG、AG，根据三角形的面积公式可得S△APG，再利用二次函数的性质进行解答；
（3）易证△GFD≌△CFE，得到DG=CE，根据中点的概念可得PE=CE，则PE=DG，根据全等三角形的性质可得∠ECF=∠DGF，推出∠GHE=∠EFC=90°，据此解答；
（4）根据全等三角形的性质可得∠CEF=∠CDH，证明△CEF∽△CDH，根据相似三角形的性质可得，然后结合不等式的性质进行解答.
22．【答案】（1）证明：在 和 中，
≌ ，
；
（2）证明：由 得 ，
【解析】【分析】（1）根据已知条件可知OA=OC，OB=OD，由对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，证明△AOB≌△COD，据此可得结论；
（2）根据（1）的结论结合平行线的判定定理进行证明.
23．【答案】（1）不存在
（2）解：如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图，
∵O点是四边形ABCD的“等形点”，
∴△OAB≌△OCD，
∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，
∵，OA=5，BC=12，
∴AB=CD=，OA=OC=5，
∴OB=BC-OC=12-5=7=OD，
∵AM⊥BC，
∴∠AMO=90°=∠AMB，
∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，
∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，，
∴，即，
解得：，即，
∴MC=MO+OC=，
∴在Rt△AMC中，，
即AC的长为；
（3）解：如图，
∵O点是四边形EFGH的“等形点”，
∴△OEF≌△OGH，
∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，
∵，
∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，
∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE，
∴OE=OH，
∵OF=OH，OE=OG，
∴OF=OG，
∴.
【解析】【解答】解：（1）不存在，
理由如下：
假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，
∵在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴∠ABO=90°，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
∴CD⊥DO，
∵CD⊥BC，
∴，
∵O点在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，
故正方形不存在“等形点”；
故答案为：不存在；
【分析】（1）设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD，由正方形的性质得 ∠ABO=90°，由全等三角形的性质可得∠ABO=∠CDO=90°，则CD⊥DO，结合CD⊥BC可得DO∥BC，而DO与BC交于点O，据此判断；
（2）过A点作AM⊥BC于点M，易得△OAB≌△OCD，则AB=CD=，OA=OC=5，OB=OD，∠AOB=∠COD，OB=BC-OC=7=OD，根据垂直的概念可得∠AMO=90°=∠AMB，设MO=a，则BM=7-a，根据勾股定理可得a的值，由MC=MO+OC可得MC，利用勾股定理可得AM、AC，据此解答；
（3）易得△OEF≌△OGH，则OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，根据平行线的性质可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，结合∠EOF=∠GOH得∠OEH=∠OHE，则OE=OH，结合OF=OH，OE=OG可得OF=OG，据此求解.
24．【答案】（1）解：∵DE∥AB，
∴，
∴，
∵AB=5，BD=9，DC=6，
∴，
∴；
（2）解：作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
如图所示：点F即为所求，
（3）解：直线BC与⊙F相切，理由如下：
作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，如图，
∵∠DFA=∠A，
∴四边形ABRF是等腰梯形，
∴，
∵△FBC的面积等于，
∴，
∴CD⊥DF，
∵FD是⊙F的半径，
∴直线BC与⊙F相切.
【解析】【分析】（1）易证△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出DE的长；
（2）作DT∥AC交AB于点T，作∠TDF=∠ATD，射线DF交AC于点F，则点F即为所求；
（3）作BR∥CF交FD的延长线于点R，连接CR，易得四边形ABRF是等腰梯形，则AB=FR，根据S△CFB=S△CFR可得CD⊥DF，据此证明.
25．【答案】（1）线段垂直平分；角平分
（2）解：∵垂直平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
【解析】【解答】解：（1）解：根据作图痕迹可知，
直线DE是线段AB的线段垂直平分线；
射线AF是∠EAC的角平分线；
故答案为：线段垂直平分，角平分；
【分析】（1）由作图痕迹知直线DE是线段AB的线段垂直平分线； 射线AF是∠EAC的角平分线；
（2） 由DE垂直平分AB，可得AE=BE，利用等边对等角可得，由三角形内角和定理可求出∠BAC=88°，从而由算出∠EAC的度数，根据角平分线的定义，可得 ，继而得解.
26．【答案】（1）解：①∵CD平分 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
②∵ ，
∴ .
由①可得 ，
∴ .
∴ .
∴ 是定值，定值为1.
（2）解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
设 ，则 .
∵CD平分 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
如图，过点D作 于H.
∵ ，
∴ .
∴ .
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的概念可得∠ACD=∠DCB=∠ACB，由已知条件可得∠ACB=2∠B，则∠ACD=∠DCB=∠B，推出CD=BD=，根据平行线的性质可得∠ACD=∠EDC，则∠EDC=∠DCB=∠B，推出CE=DE=1，证明△CED∽△CDB，然后根据相似三角形的性质进行计算；
②根据平行线分线段成比例的性质可得，由①可得CE=DE，则，据此解答；
（2）易证△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质结合三角形的面积公式可得 ，易得，由已知条件知S1·S3=S22，则，设BC=9x，则CE=16x，根据角平分线的概念可得∠ECD=∠FCD=∠CBF，由已知条件知∠BCF=2∠CBG，则∠ECD=∠FCD=∠CBD，推出BD=CD，根据平行线的性质可得∠EDC=∠FCD，推出CE=DE，证明△CDB∽△CED，根据相似三角形的性质可得CD=12x，过点D作DH⊥BC于H，则BD=CD=12x，BH=x，然后根据三角函数的概念进行计算

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