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第九章　平面向量
9.3.1　平面向量基本定理
1.理解平面向量基本定理及其意义，
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
1.教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题.
2.教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
题型一　平面向量基本定理的理解
【例1】　如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；
(2)对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；
(3)线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；
(4)当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量.
【训练1】设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　)
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
题型二　用基底表示向量　
【例2】　如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
【训练2】　如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k，设＝e1，＝e2，以e1，e2为基底表示向量，，.
题型三　平面向量基本定理的综合应用
【例3】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值.
【迁移】　(变设问)在本例条件下，若＝a，＝b，试用a，b表示.
【训练3】　如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
1.若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－e2
C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1－e2
2.如图所示，矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A.(5e1＋3e2) B.(5e－3e2)
C.(2e2＋5e1) D.(5e2＋3e1)
3.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.
4.在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以＝e1，＝e2为基底表示.
参考答案
1.解析　选项A，B，C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.
答案　D
2. 解析　＝＝(－)＝(＋)
＝(5e1＋3e2).
答案　A
3. 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
又∵与不共线，∴λ1＝－，λ2＝，λ1＋λ2＝－＋＝.
答案　
4. 解　＝－＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，所以＝＝(e1－e2)，所以＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2..
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