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专题10 坐标系中的面积与规律探究问题 专项提升（精讲）
高频考点1. 平面直角坐标系的面积：知坐标，求面积
解题技巧：已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法：“割补法”。原则是通过割补，不规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。
①不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大的矩形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。
②三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。过三角形的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。
例1．（2022 汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形ABO的面积为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【分析】作AC⊥x轴、BD⊥x轴，根据A、B坐标得出AC、BD及CD的长，根据S△AOB＝S梯形ABDC﹣S△AOC﹣S△BOD可得答案．
【解答】解：如图，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，
∵A（﹣5，6）、B（3，2），∴AC＝6、OC＝5，BD＝2、OD＝3，则CD＝OC+OD＝8，
∴S△AOB＝S梯形ABDC﹣S△AOC﹣S△BOD=（2+6）×8-5×6-2×3＝32﹣15﹣3＝14，故选：B．
变式1．（2022 市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函数与坐标轴的交点坐标即可求面积．
【解答】解：设点P坐标为（x，y），由点B在第一象限且满足「B」＝4，
∴x+y＝4（x＞0，y＞0）．即y＝﹣x+4，
∵y＝﹣x+4与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，4），
∴满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为=8．故选：D．
变式2．（2022春 嘉祥县期末）若△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），C（1，3），则△ABC的面积为（　　）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
【分析】构造平面直角坐标系，标出点A、B、C在坐标系中的位置，过点C向AB作垂线，垂足为D，根据S△ABC=AB×CD，即可得到答案．
【解答】解：过点C向AB作垂线，垂足为D，如下图所示：
则AB＝2﹣（﹣3）＝5，CD＝3+1＝4，S△ABC=AB×CD=5×4＝10，故选：B．
高频考点2. 平面直角坐标系的面积：知面积，求坐标（方程思想）
解题技巧：我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度，进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。方程思想是比较常见的一类数学思想，引入未知数，可将图形问题转化方程求解的问题。
例1．（2022重庆七年级期末题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，3），顶点C（﹣1，2）．（1）求△AOC的面积：（2）求△ABC的面积；
（3）若点D在坐标轴上，且S△OCD＝1，直接写出满足条件的D点坐标．
【答案】（1）2；（2）；（3）D点（0，2），（0，﹣2），（﹣1，0），（1，0）
【分析】（1）由图形可得△AOC的面积为，即可求解；
（2）过点C作CD垂直x轴，由图形可得，即可求解；
（3）对点D进行分类讨论，根据面积，分别求解即可．
【详解】解：（1），
（2）过点C作CD垂直x轴，如下图：
，．
（3）D点在y轴上时，，解得
yD＝2或yD＝﹣2，此时D点（0，2），（0，﹣2），
D点在x轴上时，，解得
∴xD＝1或xD＝﹣1，此时D点（﹣1，0），（1，0）．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系的有关性质，涉及了三角形面积的求解，掌握平面直角坐标系的性质以及割补法求解三角形面积是解题的关键．
变式1．（2022·广东七年级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）当时，点在平面直角坐标系的第 象限．
（2）将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在轴上确定点，使得的面积为，直接写出点的坐标 ．
【答案】（1）二；（2）（，0）；（3）（0，4）或（0，-4）
【分析】（1）把a=-1，代入求出点M的坐标，即可判断．
（2）利用平移的性质求出点N的坐标，再根据点N在x轴上，纵坐标为0，由此构建方程求解即可．
（3）设P（0，m），构建方程求解即可．
【详解】解：（1）当a=-1时，M（-1，2），∴点M在第二象限，故答案为：二．
（2）∵点M（a，-2a）向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点N（a-2，-2a+1），
又∵点N正好在x轴上时，∴-2a+1=0，∴a=，∴N（，0）．
（3）设P（0，m），由题意，×|m|=3，解得m=±4，∴P（0，4）或（0，-4），
故答案为：（0，4）或（0，-4）．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平移变换的性质，坐标系中点的特征等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
变式2．（2022 雨花区八年级月考）如图，在直角坐标平面内，已知点，点，点是点关于点的对称点．（1）求点的坐标；（2）如果点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于10时，求点的坐标．
【分析】（1）由、坐标得出，根据点是点关于点的对称点知，据此可得；
（2）根据且，可得，即可知，据此可得答案．
【解答】解：（1）点，点，，
点是点关于点的对称点，，则点的坐标为；
（2）如图，
由题意知，，，则，点的坐标为或．
高频考点3. 平面直角坐标系的面积：动态问题
解题技巧：此类题型仅不知图形的一个顶点，且已知面积，求这个顶点。∵这个顶点位置不固定，存在多解情况，需考虑全面。
①点在坐标轴上：先确定三角形的底，根据面积，确定三角形高的长度。在根据底的长度或高的长度来确定未知点的位置。②点在格点上：已知三角形的面积，根据条件，先确定三角形的底；然后根据面积，确定高；最后根据高的大小，确定未知点的位置（多解）。
例1．（2022·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（6，0），B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜13）．
(1)①点D的坐标是 ；
②当点P在AB上运动时，点P的坐标是 （用t表示）；
(2)求出△POD的面积等于9时点P的坐标；
【答案】(1)①（3，4）；②（6，t-6）
(2)当P（4.5，0）或（6，2）时，△POD的面积为9．
【分析】（1）①利用矩形的性质求出B、C两点坐标，再利用中点坐标公式计算即可；
②点P在线段AB上，求出PA即可；
（2）分三种情形分别讨论求解即可．
（1）解：①∵四边形OABC是矩形，A（6，0），B（6，4），∴C（0，4），
∵D是BC的中点，∴D（3，4）．
②当P在AB上运动时，P（6，t-6），故答案为：（3，4），（6，t-6）；
（2）解：①当0＜t≤6时，点P的坐标为（t，0），
由题意得：×t×4=9，解得：t=4.5，∴点P的坐标为（4.5，0）；
②当6＜t≤10时，点P的坐标为（t-6，0），
由题意得：S△POD=S矩形OCBA-S△OPA-S△PBD-S△CDO，
∴24-×6×（t-6）-×3×（10-t）-6=9，解得：t=8，∴点P的坐标为（8，0）；
③当10＜t＜13时，P（16-t，4），PD=13-t，
∴S△POD=×（13-t）×4=9，解得：t=8.5（不合题意舍弃），
综上所述，当P（4.5，0）或（6，2）时，△POD的面积为9．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
变式1．（2022·浙江·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　；(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　；(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
【答案】(1)（10，6）(2)（14，6），36(3)（﹣12t+60）或（12t﹣60），t＝2
【分析】（1）根据长方形的性质，坐标的确定方法求解即可．
（2）运动2秒相当于图形向右平移4cm，确定坐标即可，计算出的长度，计算面积即可．
（3）分0≤t≤5和t＞5两种情况计算即可．
(1)∵AB＝10cm，BC＝6cm，∴C的坐标为（10，6），故答案为：（10，6）．
(2)∵长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒，
∴点C向右平移4cm，∵C（10，6），∴（14，6），故答案为：（14，6）．
∵AB＝10，＝4，∴＝6，∴长方形的面积为36（）．故答案为：36．
(3)当t≤5时，如图：
∵＝AB﹣＝10﹣2t，∴长方形的面积为6×（10﹣2t）＝﹣12t+60（），
当t＞5时，如图：
∵＝﹣AB＝2t﹣10，∴长方形的面积为6×（2t﹣10）＝12t﹣60（），
故答案为：（﹣12t+60）或（12t﹣60）；
当t≤5时，如图：
长方形的面积为﹣12t+60，
△面积的3倍为，由题意得：﹣12t+60＝18t，解得t＝2；
当t＞5时，如图：
同理可得：12t﹣60＝18t，解得t＝﹣10（舍去），∴t＝2．
【点睛】本题考查直角坐标系，涉及长方形形性质，三角形面积等，解题的关键是画出图形，用含t的代数式表示相关线段的长度．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期末）平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点．
(1)请直接写出点，，的坐标；(2)如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于12，求的取值范围；(3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)，， (2)
(3)当点在点的下方时，；当点在的上方、的延长线与轴的交点的下方时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，．
【分析】（1）由非负性可求，的值，由三角形的面积公式可求点坐标；
（2）由平移的性质可得，，，由面积关系可求，的数量关系，即可求解；（3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解．
（1）解：，，，，
，均为整数，，，，，，，
，，，点在轴负半轴上，点坐标为；
（2）解：如图，连接，，，
将线段平移到，，，，
四边形的面积，，
，
，，
，，；
∵为线段上一点，∴ ∴
（3）解：如图，当点在点的下方时，延长交于，
将线段平移到，，，，，
，，；
如图，当点在的上方、的延长线与轴的交点下方时，延长交于点，
将线段平移到，，，，
，，；
如图，当点在的延长线与轴的交点上方时，
，又，，
由对顶角得，，，
，
综上所述：当点在点的下方时，；当点在在、与的延长线与轴的交点之间时，；当点在的延长线与轴的交点上方时，．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
高频考点4. 平面直角坐标系的面积：动态问题
例1．（2022·河南安阳·七年级期末）问题情境：在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“绝对和”为：．例如：已知点P(2，3)，则．
解决问题：(1)已知点A(4，-1)则_______；(2)如图，已知点M(4，4)，连接点O、M得线段OM．点Q是线段OM上的一个动点．①若d(Q)＝6，求点的坐标；②若线段OM向上平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围；③若线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，连接点Q、、得到．则的形状是_________；的面积是_______．(用含有字母a、b的式子表示)
【答案】(1)3 (2)①Q(3，3)；②；③直角三角形，．
【分析】（1）根据“绝对和”的定义即可求解；
（2）①由M点坐标为(4，4)，可知OM上所有点的横、纵坐标都相等．即可设，再根据“绝对和”的定义即可列出关于x的绝对值方程，解出x，再舍去不合题意的解，即可得出答案；②根据题意可设，再结合“绝对和”的定义可得出，再由，即可得出，由y的取值范围，即可求出m的取值范围；③由平移的性质可知为直角三角形，且，，，再根据三角形的面积公式计算即可．
(1)，故答案为：3；
(2)①∵M(4，4)，∴OM上所有点的横、纵坐标都相等．
∵点Q是线段OM上的一个动点，故可设．
∵d(Q)＝6，∴，解得：（舍），∴点的坐标为(3，3)；
②根据题意可设，则．
∵，∴∴，∴，解得：，∴；
③∵线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，∴为直角三角形，且，
由平移可知，，∴．故答案为：直角三角形，．
【点睛】本题考查坐标与图形，一元一次方程的应用，平移的性质．读懂题意，理解“绝对和”的定义是解题关键．
变式1．（2022 金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m的值为　 　．
【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a和铅垂高“h，利用分类讨论对其铅垂高“h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解．
【解答】解：∵D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）
∴“水平底”a＝3﹣（﹣2）＝5 “铅垂高“h＝3或|1+m|或|2﹣m|
①当h＝3时，三点的“矩面积”S＝5×3＝15≠20，不合题意；
②当h＝|1+m|时，三点的“矩面积”S＝5×|1+m|＝20，解得：m＝3或m＝﹣5（舍去）；
③当h＝|2﹣m|时，三点的“矩面积”S＝5×|2﹣m|＝20，解得：m＝﹣2或m＝6（舍去）；
综上：m＝3或﹣2故答案为：3或﹣2
变式2．（2022·宁夏吴忠·七年级期末）阅读理解，启智增慧．
在平面直角坐标系中，点 P（a，b）．Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点 P（3，4），Q（1，－2），则点P，Q的“k”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点 A（4，－1）， B （－2，－1）．
(1)直接写出点A，B的“2”系和点坐标为__________．
(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标；
(3)若点D为A，B的“k”系和点，三角形ABD的面积为6，求符合条件的k的值？
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用两点的“k”系和点的定义，代入公式求解即可；
（2）利用两点的“k”系和点的定义，代入公式求解即可；
（3）利用两点的“k”系和点，代入公式求解，注意距离为2，进行分类讨论．
（1）解：由图知：A（4， 1）B（ 2， 1）；
根据“k”系和点的定义得：2×4＋2×（ 2）＝4，
2×（ 1）＋2×（ 1）＝ 4，故答案为：（4， 4）；
（2）设C（x，y），则 3x 3×（ 2）＝4， 3y 3×（ 1）＝ 1；
∴x＝，y＝，∴C（，）．
（3）∵三角形ABD的面积为6，∴D到AB的距离为2，
∵点D为A，B的“k”系和点，则D（2k． 2k）．
∴ 1＋2＝ 2k，或者 1 2＝ 2k，∴或．
【点睛】本题考查对新定义的理解及坐标与图形，三角形的面积，关键是通过审题列方程及分类讨论思想的应用．
高频考点5. 平面直角坐标系的规律问题（1）
例1．（2022·江西·七年级期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），等二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（45，3） B．（2，44） C．（3，45） D．（44，2）
【答案】D
【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【详解】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
运动到点（1，1），粒子运动了2=1×2（分钟），将向左运动，
运动到点（2，2），粒子运动了6=2×3（分钟），将向下运动，
运动到点（3，3），粒子运动了12=3×4（分钟），将向左运动，……，由此总结出：运动到点（n，n），粒子运动了n(n+1)（分钟），运动方向规律是看n是奇数还是偶数，奇左偶下．
于是会出现：运动到点（44，44），粒子运动了44×45=1980（分钟），此时粒子将会向下运动，
∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022-1980=42个单位长度，
∴粒子的位置为（44，2），故选：D．
【点睛】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
变式1．（2022·山东聊城·七年级期末）如图；所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用…表示，则点的坐标为（ ）
A．(505，505) B．（－506，506） C．(506，506) D．（－505，505）
【答案】B
【分析】根据题意可得，，，（n为自然数），根据，即可得．
【详解】解：∵每个正方形都有4个顶点，
∴每4个点为一个循环组一次循环，
由题意得，，，，，，，，，，…，
∴，，，（n为自然数），
∵，∴，故选B．
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，解题的关键是找出规律．
变式2．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察给出点的坐标，找出点之间的规律解答即可．
【详解】解：∵，，，，
，，，，，
观察可知：每四个点为一组，第n组的点分别为：，，，，
∵，∴位于第506组的第二个点，
∴，即．选：A
【点睛】本题考查点的坐标规律，解题的关键是找出点的规律：每四个点为一组，第n组的点分别为：，，，．
高频考点6. 平面直角坐标系的规律问题（2）
例1．（2022 沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中a→“方向排列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（　　）
A．（13，14） B．（13，13） C．（12，13） D．（12，12）
【分析】先由题意写出前10个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案．
【解答】解：∵（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），→（4，5）→（5，5）→（6，6），……
∴观察发现：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标为：（2×1，2×1），（2×2，2×2），（2×3，2×3），……而这些点为：第4个，第7个，第10个，……
归纳得到第19个点的坐标为：（2×6，2×6）、即（12，12），而这样的点的后面一个点是再沿y轴正方向平移一个单位长度，∴第20个点的坐标为：（12，13），故选：C．
【点评】本题考查的是坐标规律的探究，掌握从具体到一般的探究方法是解题的关键．
变式1．（2022·山西临汾·七年级期中）如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到H（2，2），第二次从H（2，2）运动到I（4，6），第三次从I（4，6）运动到J（6，0），第四次从J（6，0）运动到K（8，2），第五次从K（8，2）运动到L（10，6）……，按这样的运动规律，经过2022次运动后，蚂蚁所处的坐标是（ ）
A．（4044，6） B．（2022，2） C．（4044，0） D．（2022，0）
【答案】C
【分析】根据各点的横纵坐标变化得出点的坐标规律进而得出答案即可．
【详解】解：∵第一次从原点运动到（2，2），第二次从（2，2）运动到（4，6），第三次从（4，6）运动到（6，0），第四次从（6，0）运动到（8，2），第五次从（8，2）运动到（10，6），…，
∴按这样的运动规律，第几次横坐标即为2n，纵坐标为：2，6，0，2，6，0，2，6…3个一循环，
∵2022÷3＝674，∴经过第2022次运动后，蚂蚁所处的坐标是：（4044，0）．故选：C．
【点睛】此题主要考查了点的坐标规律，根据已知的点的坐标得出点的变化规律是解题关键．
变式2．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，由此即可得．
【详解】解：由运动规律可知，横坐标为运动次数的相反数，纵坐标依次为1，0，2，0，每4次一轮，则经过第2022次运动后，动点的横坐标是，∵，
∴经过第2022次运动后，动点的纵坐标与经过第2次运动后，动点的纵坐标相同，即为0，
∴经过第2022次运动后，动点的坐标是，故选：B．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索，正确归纳出变化规律是解题关键．
高频考点7. 平面直角坐标系的规律问题（3）
例1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线1于点N3；……，按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 _____．
【答案】，
【分析】直线解析式为，可得直线是第一象限的角平分线，所以，证明△为等腰直角三角形，可利用的坐标求出的长度，得到其坐标，用同样的方法求得，，，即可求解．
【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，
，，，，
△是等腰直角三角形，，，，
同理，△是等腰直角三角形，，，
同理，，，，，，，
依此类推，故，，故答案为：，．
【点睛】本题考查了点的坐标特征的问题，考查了点的坐标规律，解题的关键是利用直线是第一象限的角平分线作为突破口求解．
变式1．（2022·广东·梅华中学八年级期中）如图所示，已知A（0，0），OC=1，∠OCB=60°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长为___________.
【答案】
【分析】根据题目已知条件可推出，依此类推，找到规律求得第n个等边三角形的边长即可求解．
【详解】解：∵点C（0，1）， △AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，
∴∠COA1=30°，∴∠CA1O=90°，∵，
在Rt△CAA1中， ，同理可得，……
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律是解题的关键．
变式2．（2022·河北·石家庄八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
【答案】
【分析】先求,,的坐标，探究规律后，根据规律即可解出答案．
【详解】由题意得：∴
∴∵∴的横坐标为
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的坐标和等腰直角三角形的性质等知识，利用知识点得出每个点的坐标，寻找出规律是解决问题的关键．
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专题10 坐标系中的面积与规律探究问题 专项提升（精讲）
高频考点1. 平面直角坐标系的面积：知坐标，求面积
解题技巧：已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法：“割补法”。原则是通过割补，不规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。
①不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大的矩形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。
②三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。过三角形的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。
例1．（2022 汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形ABO的面积为（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
变式1．（2022 市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式2．（2022春 嘉祥县期末）若△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），C（1，3），则△ABC的面积为（　　）
A．7.5 B．10 C．15 D．20
高频考点2. 平面直角坐标系的面积：知面积，求坐标（方程思想）
解题技巧：我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度，进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。方程思想是比较常见的一类数学思想，引入未知数，可将图形问题转化方程求解的问题。
例1．（2022重庆七年级期末题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，3），顶点C（﹣1，2）．（1）求△AOC的面积：（2）求△ABC的面积；
（3）若点D在坐标轴上，且S△OCD＝1，直接写出满足条件的D点坐标．
变式1．（2022·广东七年级期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）当时，点在平面直角坐标系的第 象限．（2）将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标．（3）在（2）的条件下，在轴上确定点，使得的面积为，直接写出点的坐标 ．
变式2．（2022 雨花区八年级月考）如图，在直角坐标平面内，已知点，点，点是点关于点的对称点．（1）求点的坐标；（2）如果点在轴上，过点作直线轴，点关于直线的对称点是点，那么当的面积等于10时，求点的坐标．
高频考点3. 平面直角坐标系的面积：动态问题
解题技巧：此类题型仅不知图形的一个顶点，且已知面积，求这个顶点。∵这个顶点位置不固定，存在多解情况，需考虑全面。
①点在坐标轴上：先确定三角形的底，根据面积，确定三角形高的长度。在根据底的长度或高的长度来确定未知点的位置。②点在格点上：已知三角形的面积，根据条件，先确定三角形的底；然后根据面积，确定高；最后根据高的大小，确定未知点的位置（多解）。
例1．（2022·江苏苏州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，B的坐标分别为A（6，0），B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿着O→A→B→D运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜13）．
(1)①点D的坐标是 ；②当点P在AB上运动时，点P的坐标是 （用t表示）；
(2)求出△POD的面积等于9时点P的坐标；
变式1．（2022·浙江·九年级）如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，E为DC的中点．
(1)以A为原点（即O与A重合），以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C的坐标为 　 　；(2)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动2秒后，得到长方形，则的坐标为 　 　，长方形的面积为 　 　；(3)若（1）中长方形以每秒2cm的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t，用含t的式子直接表示出长方形的面积 　 　（线段可以看成是面积为0的长方形）；点E移动后对应点为F，直接写出t为何值时长方形的面积是三角形的3倍？
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期末）平面直角坐标系中，，，，均为整数，且满足，点在轴负半轴上且，将线段平移到，其中点的对应点是点．(1)请直接写出点，，的坐标；(2)如图（1），若点的坐标为，点为线段上一点，且的面积大于12，求的取值范围；(3)如图（2），若与轴的交点在点上方，点为轴上一动点，请直接写出，，之间的数量关系．
高频考点4. 平面直角坐标系的面积：动态问题
例1．（2022·河南安阳·七年级期末）问题情境：在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“绝对和”为：．例如：已知点P(2，3)，则．
解决问题：(1)已知点A(4，-1)则_______；(2)如图，已知点M(4，4)，连接点O、M得线段OM．点Q是线段OM上的一个动点．①若d(Q)＝6，求点的坐标；②若线段OM向上平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围；③若线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，连接点Q、、得到．则的形状是_________；的面积是_______．(用含有字母a、b的式子表示)
变式1．（2022 金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m的值为　 　．
变式2．（2022·宁夏吴忠·七年级期末）阅读理解，启智增慧．
在平面直角坐标系中，点 P（a，b）．Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点 P（3，4），Q（1，－2），则点P，Q的“k”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点 A（4，－1）， B （－2，－1）．
(1)直接写出点A，B的“2”系和点坐标为________．(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标；
(3)若点D为A，B的“k”系和点，三角形ABD的面积为6，求符合条件的k的值？
高频考点5. 平面直角坐标系的规律问题（1）
例1．（2022·江西·七年级期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），等二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（45，3） B．（2，44） C．（3，45） D．（44，2）
变式1．（2022·山东聊城·七年级期末）如图；所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用…表示，则点的坐标为（ ）
A．(505，505) B．（－506，506） C．(506，506) D．（－505，505）
变式2．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
高频考点6. 平面直角坐标系的规律问题（2）
例1．（2022 沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中a→“方向排列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（　　）
A．（13，14） B．（13，13） C．（12，13） D．（12，12）
变式1．（2022·山西临汾·七年级期中）如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到H（2，2），第二次从H（2，2）运动到I（4，6），第三次从I（4，6）运动到J（6，0），第四次从J（6，0）运动到K（8，2），第五次从K（8，2）运动到L（10，6）……，按这样的运动规律，经过2022次运动后，蚂蚁所处的坐标是（ ）
A．（4044，6） B．（2022，2） C．（4044，0） D．（2022，0）
变式2．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学八年级期末）如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
高频考点7. 平面直角坐标系的规律问题（3）
例1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线1于点N3；……，按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 _____．
变式1．（2022·广东·梅华中学八年级期中）如图所示，已知A（0，0），OC=1，∠OCB=60°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长为___________.
变式2．（2022·河北·石家庄八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l交x轴于点A，交y轴于点，，，，．．．在直线l上，点，，．．．在x轴的正半轴上，若，，，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，已知点A坐标是（－2，0），则点的横坐标为______．
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