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专题二 整式
讲解一：代数式及其分类
一、代数式的定义：用基本运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式，如，，，等.
1.基本运算：加、减、乘、除、乘方、开方.
2.单独的一个数或一个字母也是代数式.
3.不含关系符号，如“”“>”或“”等 .
二、代数式的分类
1.有理式：只含有加、减、乘、除、乘方和数字开方运算的代数式
2.无理式：被开方数中含有字母的代数式
三、列代数式的要点
通过题目中的关键词（如和、差、积、商、大、小、几倍、几分之几等），找到正确的数量关系.常见数量关系如下：
类别 数量关系
和差倍分问题 ①的平方和：； ②与差的平方：
数的表示 个位数字为，十位数字为，百位数字为，这个数表示为
面积问题 ①；②；③；④
四、代数式求值的常用方法
1.直接代入法：已知字母的值或字母的值可计算时，直接代入求解
2.整体代入法：字母的值不能或不必计算时，先对已知或所求代数式进行变形（常用到提取公因式、平方差公式、完全平方公式等），再整体代入求解.
1.（2022.湖南长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )
A.8x元 B.元 C.元 D.元
【答案】C
【解析】设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则购买乙种读本的费用为元.故选C.
2.（2022.内蒙古包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【答案】A
【解析】，，，，当时，代数式有最小值，最小值为5，故选A.
讲解二：整式的相关概念
一、单项式：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式，如，等.
单项式的相关概念如下：
类别 定义 示例
系数 单项式中的数字因数
次数 单项式中的所有字母的指数和
1.乘积：只含乘法，不含加法
2.单独的一个数或字母也是单项式
3.分母中不能含有字母
4.若单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或－1
5.对于单独一个非零的数，规定它的次数为0
6.π是常数而不是字母
二、多项式：几个单项式的和叫做多项式，如，等.
多项式的相关概念如下：
类别 定义 示例
项 组成多项式的每个单项式
项数 组成多项式的单项式的个数
次数 多项式中次数最高项的次数
1.不含字母的项叫做常数项
2.多项式的每一项都包括它前面的符号
3.一般用次数与项数来表示多项式，称作几次几项式，如是二次三项式
4.单项式与多项式统称为整式
3.有下列式子：π，，，，-x，3，5xy，.其中整式有( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
【答案】B
【解析】因为式子π是单项式，不是整式，是多项式，是多项式，-x是单项式，3是单项式，5xy是单项式，不是整式，所以整式共有6个，故选B.
4.下列判断正确的是( )
A.a的系数为0 B.的系数为
C.的次数是2 D.-5是一次单项式
【答案】B
【解析】A选项，a的系数为1，故本选项错误；B选项，的系数为，故本选项正确；C选项，的次数足4，故本选项错误；D选项，-5是单项式，但不是一次，故本选项错误，故选B.
讲解三：整式的加减
整式的加减的实质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项
一、合并同类项：将同类项的系数相加，字母与其指数不变，如.
1.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，如与是同类项
2.同类项与单项式的系数无关，与字母的顺序无关.
3.常数项都是同类项
4.若多个同类项的系数相加为0，则合并后该项为0
二、去括号法则
符号 法则 举例
括号前是“+” 去、添括号不变号
括号前是“－” 去、添括号都变号
添括号与去括号的过程相反，添括号是否正确，可用去括号检验.
5.先去括号，再合并同类项正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，选项A不符合题意；
，选项B不符合题意；
，选项C符合题意；
，选项D不符合题意；
故选C.
6.（2022.重庆A）在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：，，….
下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】当添加一个括号，且左括号在x前边时，右括号在任何一个位置，运算结果都与原多项式相等，故说法①正确.由于不管在哪个位置添加括号都无法改变前两项的符号，因此运算结果与原多项式之和不可能为0，故说法②正确.根据“加算操作”的原则，不会改变前两项的符号，改变的是后三项的符号，画示意图如图所示，据图可知共有8种不同的结果，故说法③正确.故本题选D.
7.（2022.内蒙古包头）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为___________.
【答案】
【解析】设这个多项式为A，由题意得：，.
讲解四：幂的运算
幂的运算
类别 运算法则 运算公式 逆用
同底数幂的乘法 底数不变，指数相加 （都是正整数） （都是正整数）
幂的乘方 底数不变，指数相乘 （都是正整数） （都是正整数）
积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （是正整数）； （是正整数）；
同底数幂的除法 底数不变，指数相减 （都是正整数） （都是正整数）；
零次幂 任何非零数的0次幂都等于1
负指数幂 指数转正，再取倒数 （是正整数）；
8.（2022.湖北武汉）计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式.
9.（2022.山东泰安）计算的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式.
10.（2022.山东济宁）下列各式运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，A选项的结论不正确；，B选项的结论不正确；，C选项的结论正确；，D选项的结论不正确，故选C.
11.（2022.江苏常州）计算：_________.
【答案】
【解析】.
讲解五：整式的乘除
一、整式的乘法
类别 运算法则 示例
单项式×单项式 ①系数相乘； ②同底数幂相乘； ③单独含有的字母连同指数不变
单项式×多项式 ①单项式乘多项式的每一项； ②积相加
多项式×多项式 ①将多项式的每一项分别相乘 ②积相加
二、整式的除法
类别 运算法则 举例
单项式÷单项式 ①系数相除； ②同底数幂相除； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变
多项式÷单项式 ①用多项式的每一项除以单项式； ②商相加
12.（2022.河北）若x和y互为倒数，则的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】x和y互为倒数，，.
13.（2022.江西）下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】逐项分析如下：
选项 分析 正误
A ×
B √
C ×
D ×
14.（2022.青海）下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.与不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；
B.，故选项B计算不正确；
C.，故选项C计算不正确；
D.，故选项D计算正确.
15.黄老师给学生出了一道题：当时，求的值.题目出完后，李明说：“老师给的条件是多余的.”小颖说：“不给这个条件就不能求出结果，所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理？为什么？
【答案】李明说的有道理.理由如下：
因为化简后的结果不含，所以最后的结果与的值无关，所以李明说的有道理.
讲解六：乘法公式
一、平方差公式：
平方差公式的实质是符号相同项2－符号相反项2，与位置、系数、指数、项数都无关
1.位置：
2.系数：
3.指数：
4.项数：
二、完全平方公式：
完全平方公式间的联系：
①；
②；
③
16.（2022.内蒙古赤峰）已知，则的值为( )
A.13 B.8 C.-3 D.5
【答案】A
【解析】，，，所以，故选A.
17.（2022.河南）下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】逐项分析如下：
选项 分析 正误
A ×
B ×
C ×
D √
18.（2022.四川广安）已知，则代数式的值为__________.
【答案】10
【解析】方法一：，
又，原式.
方法二：
.
又，原式.
讲解七：因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
二、提取公因式：如果一个多项式的各项都是公因式，可以把该公因式提出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式
1.公因式：指多项式中各项都含有相同的因式，如的公因式是.公因式可以是单项式，也可以是多项式
2.提公因式后，多项式的项数与原多项式的项数相同；当原多项式的某项与公因式相同时，提公因式后，所得对应项为1
3.确定公因式的步骤：（以和的公因式为例）
①定系数：取各项系数的最大公因数（8和12的最大公因数是4）
②定字母：取各项相同的字母（多项式）（各项相同的字母是）
③定次数：取各项相同字母（多项式）的最低次数（的最低次数是1;的最低次数是2）
④写公因式：（公因式：）
4.提公因式的步骤：（以为例）
①确定公因式（公因式：）
②把多项式的各项写成含公因式的乘积的形式（原式=）
③把公因式提到括号外面，余下各项写在括号里面（原式=）
三、公因式：利用乘法公式进行因式分解的方法叫做公式法
平方差公式 完全平方公式
字母表示 或
语言叙述 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方
式子特征 （1）被分解的多项式是二项式 （2）每一项的绝对值都可以写成平方的形式 （3）这两项的符号相反 （1）被分解的多项式是三项式 （2）其中两项是两个数（或式子）的平方的形式，这两项的符号相同，另一项是这两个数（或式子）的积的2倍，符号正负均可
延伸：十字相乘法
对于某些形如“”的二次项系数为1的二次三项式，可以利用十字相乘法进行因式分解.十字相乘的步骤如下：
类别 举例
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
当常数项是正数时，分解的两个因数同号；当常数项是负数时，分解的两个因数异号.
19.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A项，，故此选项错误；B项，无法分解因式，故此选项错误；C项，无法分解因式，故此选项错误；D项，，正确.故选D.
20.（2022.广东广州）分解因式：__________.
【答案】
【解析】.故答案为.
21.（2022.黑龙江哈尔滨）把多项式分解因式的结果是__________.
【答案】
【解析】.
22.，反过来可写成.于是，我们得到一个关于二次三项式因式分解的新的公式.通过观察可知，公式左边的二次项系数为两个有理数的乘积，常数项也为两个有理数的乘积，而一次项系数恰好为这两对有理数交叉相乘再相加的结果，如图①所示，这种因式分解的方法叫十字交叉相乘法.
示例：因式分解：.
解：由图②可知，.
请根据示例，对下列多项式进行因式分解：
（1）；
（2）.
【答案】（1）由图1可知，.
（2）由图2可知，.
2

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