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第一章　素养综合检测
因式分解
满分100分,限时60分钟
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2022山东临沂临沭期末)下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是(　　)
A.(a+1)(a-1)=a2-1
B.a2+a+1=a(a+1)+1
C.am+bm=m(a+b)
D.a2+2a+4=(a+2)2
2.(2021河南南阳大石桥期末)下列因式分解中,正确的是(　　)
A.x2y2-z2=x2(y+z)(y-z)
B.-x2y+4xy=-xy(x+4)
C.9-12a+4a2=-(3-2a)2
D.(x+2)2-9=(x+5)(x-1)
3.(2021山东泰安泰山期末)下列各式:①-4x2y2-c2=-(2xy+c)(2xy-c),②x(x-y)+y(y-x)=(x-y)2,③x2-2x-4=(x-2)2,④x2+x+,分解因式正确的有(　　)
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
4.(2022山东烟台招远期中)下列各组多项式中,没有公因式的是(　　)
A.ax-by和by-ax　　　B.3x-9xy和6y2-2y
C.x2-y2和x-y　　　D.a+b和a2-2ab+b2
5.(2021山东济宁鱼台期末)多项式9x2+1加上一个单项式后,使它成为一个整式的平方,那么加上的单项式是(　　)
A.±6x
B.-1或x4
C.-9x2
D.±6x或-1或-9x2或x4
6.(2022上海杨浦期中)若4x4-(y-z)2分解因式后,有一个因式是2x2+y-z,则另一个因式是(　　)
A.2x2-y+z　　　B.2x2-y-z
C.2x2+y-z　　　D.2x2+y+z
7.对于任意整数m,多项式(4m+5)2-9都能(　　)
A.被8整除　　　B.被m整除
C.被m-1整除　　　D.被2m-1整除
8.若2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2的值为(　　)
A.200　　　B.-200
C.100　　　D.-100
9.马小虎同学做了一道因式分解的习题,做完之后,不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了,此时该等式为a4-■=(a2+4)(a+2)(a-▲),那么式子中的■,▲处对应的两个数字分别是(　　)
A.64,8　　　B.24,3
C.16,2　　　D.8,1
10.(2022河南南阳邓州期末)小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这样一条信息:x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:化,爱,我,数,学,新,现将3a(x2-1)-3b(x2-1)因式分解,结果呈现的密码信息可能是(　　)
A.我爱学　　　B.爱新化
C.我爱新化　　　D.新化数学
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(2022独家原创)多项式x2+5x+b因式分解的结果为(ax+1)(x+b),则a+b的值为　　　　.
12.(2022山东泰安泰山期中)因式分解:a(a+3)-a-3=　　　　　.
13.(2022独家原创)分解因式:m(4x2+9y2)2-144mx2y2=　　　　　　　.
14.(2022广东东莞期末)已知x+y=-2,xy=4,则xy2+x2y=　　　　.
15.如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,那么这个三角形是　　　　三角形.(填“钝角”“锐角”或“直角”)
16.(2022山东烟台莱州期中)甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时,甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4);乙看错了a,分解结果为(x+1)(x+9),则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为　　　　.
17.化简:a+1+a(a+1)+a(a+1)2+…+a(a+1)100=　　　　.
18.已知x2+y2-4x+6y+13=0,则x2-6xy+9y2的值为　　　　.
三、解答题(共46分)
19.(2022河南南阳桐柏月考)(12分)分解因式:
(1)(x-1)(x-2)+;
(2)3m2n-12mn+12n;
(3)(x+2y)2-4(x+2y-1);
(4)(x2+9)2-36x2.
20.(6分)简便运算:
(1)932+14×93+49;
(2)9×1.22-16×1.42.
21.(4分)已知x+y=2,xy=-3,求x3y+2x2y2+xy3的值.
22.(6分)如图所示,小刚家门口的商店在装修,他发现工人正在一块半径为R的圆形板材上冲去半径为r的四个小圆,小刚测得R=6.8 dm,r=1.6 dm,他想知道剩余部分(阴影部分)的面积,你能利用所学过的因式分解的知识帮助小刚计算吗 请写出求解过程(结果保留π).
23.(8分)如图①,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形(a>b),图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形.
图①
图②
(1)观察图①、图②,当用不同的方法表示图中阴影部分的面积时,可以得出一个因式分解的等式,则这个等式是　　　　　　　　;
(2)如果大正方形的边长a比小正方形的边长b多3,它们的面积相差57,试利用(1)中得到的等式求a,b的值.
24.(2022广东广州南沙期末)(10分)常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法,而有的多项式既没有公因式,也不能直接运用公式分解因式,但是将这个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解,这种方法叫分组分解法.如x2+2xy+y2-16,我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式,可以继续分解,过程为x2+2xy+y2-16=(x+y)2-42=(x+y+4)(x+y-4).它并不是一种独立的因式分解的方法,而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件.阅读材料并解答下列问题:
(1)分解因式:2a2-8a+8;
(2)请尝试用上面的方法分解因式:x2-y2+3x-3y;
(3)若△ABC的三边长a,b,c满足a2-ab-ac+bc=0,请判断△ABC的形状并加以说明.
第一章·素养综合检测
答案全解全析
1.C　A项,是整式的乘法;B项,等号右边不是整式乘积的形式;C项,是因式分解;D项,a2+2a+4≠(a+2)2.故选C.
2.D　x2y2-z2=(xy+z)(xy-z),故A错误;-x2y+4xy=-(x2y-4xy)=-xy(x-4),故B错误;9-12a+4a2=(3-2a)2,故C错误;(x+2)2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1),故D正确.
3.B　①-4x2y2-c2=-(4x2y2+c2),不符合题意;②x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2,符合题意;③(x-2)2=x2-4x+4,不符合题意;④x2+x+=x2+2·x·,符合题意.故选B.
4.D　A项,by-ax=-(ax-by),故两个多项式的公因式为ax-by;B项,3x-9xy=3x(1-3y),6y2-2y=-2y(1-3y),故两个多项式的公因式为1-3y;C项,x2-y2=(x-y)(x+y),故两个多项式的公因式为x-y;D项,a2-2ab+b2=(a-b)2,故两个多项式没有公因式,故此选项符合题意.故选D.
5.D　当添加±6x时,9x2+1±6x=(3x±1)2;当添加-1时,9x2+1-1=(3x)2;当添加-9x2时,9x2+1-9x2=12;当添加x4时,9x2+1+.故选D.
6.A　4x4-(y-z)2=(2x2)2-(y-z)2=(2x2+y-z)(2x2-y+z),故选A.
7.A　(4m+5)2-9=(4m+5)2-32=(4m+8)(4m+2)=8(m+2)(2m+1),
∵m是整数,且m+2和2m+1都是随着m的变化而变化的整数,∴对于任意整数m,该多项式都能被8整除.故选A.
8.B　∵(m+3n)2-(3m-n)2=[(m+3n)+(3m-n)][(m+3n)-(3m-n)]=(4m+2n)(-2m+4n)=-4(2m+n)(m-2n),且2m+n=25,m-2n=2,∴原式=-4×25×2=-200.
9.C　由a4-■=(a2+4)(a+2)(a-▲)可得▲=2,∵(a2+4)(a+2)(a-2)=(a2+4)(a2-4)=a4-16,∴■=16.
10.C　3a(x2-1)-3b(x2-1)=3(x2-1)(a-b)=3(x+1)·(x-1)(a-b),∵x-1,a-b,3,x2+1,a,x+1分别对应下列六个字:化,爱,我,数,学,新,∴结果呈现的密码信息可能是我爱新化,故选C.
11.5
解析　因为(ax+1)(x+b)=ax2+(ab+1)x+b,所以a=1,ab+1=5,所以b+1=5,解得b=4,所以a+b=5.
12.(a+3)(a-1)
解析　a(a+3)-a-3
=a(a+3)-(a+3)
=(a+3)(a-1).
13.m(2x+3y)2(2x-3y)2
解析　原式=m[(4x2+9y2)2-144x2y2]=m(4x2+9y2+12xy)(4x2+9y2-12xy)=m(2x+3y)2(2x-3y)2.
14.-8
解析　xy2+x2y=xy(y+x),
∵x+y=-2,xy=4,∴原式=4×(-2)=-8.
15.直角
解析　∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,∴a2+b2+c2+50-6a-8b-10c=0,∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,∴a=3,b=4,c=5,∵32+42=52,
∴这个三角形为直角三角形.
16.(x+3)2
解析　∵甲看错了b,分解结果为(x+2)(x+4),但a是正确的,(x+2)(x+4)=x2+6x+8,∴a=6.
∵(x+1)(x+9)=x2+10x+9,乙看错了a,但b是正确的,∴b=9,∴x2+ax+b=x2+6x+9=(x+3)2.
17.(a+1)101
解析　原式=(a+1)[1+a+a(a+1)+…+a(a+1)99]
=(a+1)2[1+a+…+a(a+1)98]
……
=(a+1)101.
18.121
解析　∵x2+y2-4x+6y+13=x2-4x+4+y2+6y+9=(x-2)2+(y+3)2=0,
∴x-2=0,y+3=0,即x=2,y=-3,
则原式=(x-3y)2=112=121.
19.解析　(1)原式=x2-3x+2+
=x-2.
(2)原式=3n(m2-4m+4)
=3n(m-2)2.
(3)原式=(x+2y)2-4(x+2y)+4
=(x+2y-2)2.
(4)原式=(x2+9+6x)(x2+9-6x)
=(x+3)2(x-3)2.
20.解析　(1)原式=(93+7)2=10 000.
(2)原式=32×1.22-42×1.42
=3.62-5.62
=(3.6-5.6)×(3.6+5.6)
=-2×9.2
=-18.4.
21.解析　x3y+2x2y2+xy3
=xy(x2+2xy+y2)
=xy(x+y)2,
∵x+y=2,xy=-3,
∴原式=-3×22=-3×4=-12.
22.解析　根据题意得剩余部分的面积=圆形板材的面积-四个小圆的面积.
剩余部分的面积=πR2-4πr2
=π(R2-4r2)=π(R+2r)(R-2r),
将R=6.8 dm,r=1.6 dm代入上式得,剩余部分的面积=π(6.8+3.2)(6.8-3.2)=36π(dm2).
答:剩余部分的面积为36π dm2.
23.解析　(1)由题图①可得阴影部分的面积=a2-b2,由题图②可得阴影部分的面积=(a-b)(a+b),则这个等式为a2-b2=(a+b)(a-b).
(2)由题意可得a-b=3,a2-b2=(a+b)(a-b)=57,
∴a+b=19,
联立解得
∴a,b的值分别是11,8.
24.解析　(1)原式=2(a2-4a+4)=2(a-2)2.
(2)原式=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3).
(3)△ABC是等腰三角形.理由如下:
∵a2-ab-ac+bc=0,
∴a(a-b)-c(a-b)=0,
∴(a-b)(a-c)=0,
∴a=b或a=c,
∴△ABC是等腰三角形.

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