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第3章 不等式
第03讲 从函数观点看一元二次方程与一元二次不等式
课程标准 重难点
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解其意义；会解一元二次不等式．借助二次函数图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念
只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的 ．
二、二次函数图象、方程及不等式的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
得等的集不式解 y＞0
y＜0
三、常用数集及表示符号
1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
四、不等式解法
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 法一：或法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0) 法一：或法二：
＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立 ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立 ymin≥k
一、1．一个 2 3.解集
二、 {x|x＜x1_或x＞x2} R {x|x1＜x＜x2}
三、1.此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
2.不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
3.结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
考法01 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边
解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
【名师指点】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
（5）写解集.根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.
考法02 含有参数的一元二次不等式的解法
含有参数的一元二次不等式解法，关键为题在于讨论含有参数的解得大小问题.
(1) 设a∈R，解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0；
（2）设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
【名师指点】解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
【跟踪训练】
解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
考法03 三个“二次”之间的关系及应用
可以通过三个之间的关系简化计算.
若不等式的解集是，求不等式的解集．
．
【名师指点】
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
【跟踪训练】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
考法04 分式不等式的解法
（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
解下列不等式：(1) <0；(2)≤2.
考法05 一元二次不等式的实际应用
一元二次不等式通常与利润收益等最大值最小值问题结合，需要通过建立模型，进行求解.
北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
【名师指点】解不等式应用题的步骤
【跟踪训练】
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
考法06 不等式恒成立问题
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
【跟踪训练】（变条件）将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围。
题组A 基础过关练
1．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若实数，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
4．关于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
5．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－26．已知不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列不等式中解集相同的一组是（ ）.
A．与
B．与
C．与
D．与
8．已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
1．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）
A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0
C．ax2+4x-7>0 D．x2<0
2．不等式的解集中恰有三个正整数解，则a的可能取值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_________．
4．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.
5．若命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．
6．已知函数.
（1）若不等式解集为时，求实数a的值；
（2）时，恒成立，求实数x的取值范围.
7．（1）解这个关于x的不等式.
（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
8．已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
题组C 培优拔尖练
1．已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知，，不等式的解集为有下列四个命题：
①； ② ；
③； ④
其中，全部正确命题的序号为_______．
4．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
5．已知二次函数．
（1）若的解集为，解关于x的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的最大值．
6．已知一元二次不等式.
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）当时，求不等式的解集.
第3章 不等式
第03讲 从函数观点看一元二次方程与一元二次不等式答案
课程标准 重难点
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解其意义；会解一元二次不等式．借助二次函数图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系
一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念
只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的 ．
二、二次函数图象、方程及不等式的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
得等的集不式解 y＞0
y＜0
三、常用数集及表示符号
1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
四、不等式解法
1．分式不等式的解法
主导思想：化分式不等式为整式不等式
类型 同解不等式
＞0(＜0)(其中a，b，c，d为常数) 法一：或法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0)
≥0(≤0) 法一：或法二：
＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式
2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0
a≠0
(2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立 ymax≤k
若ax2＋bx＋c≥k恒成立 ymin≥k
一、1．一个 2 3.解集
二、 {x|x＜x1_或x＞x2} R {x|x1＜x＜x2}
三、1.此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
2.不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
3.结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
考法01 一元二次不等式的解法
一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边
解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；
(3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.
【解析】(1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，
如图②，由图可得原不等式的解集为.
(3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为.
【名师指点】解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.
（2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.
（3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
（4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
（5）写解集.根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】解下列不等式：
(1)2x2＋7x＋3>0；(2)－4x2＋18x－≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.
【解析】 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
考法02 含有参数的一元二次不等式的解法
含有参数的一元二次不等式解法，关键为题在于讨论含有参数的解得大小问题.
(1) 设a∈R，解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0；
（2）设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
【解析】（1）Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
①当Δ<0，即－4②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为
x1＝(－a－)，x2＝(－a＋).
当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a>4或a<－4时，原不等式的解集为
；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}.
（2）①m＝0时，－3<0恒成立，所以x∈R.
②当m>0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0，即<0，解得－③当m<0时，原不等式变为<0，解得综上，m＝0时，解集为R；
m>0时，解集为；
m<0时，解集为.
【名师指点】解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
【跟踪训练】
解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
【解析】方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，
则当a＜－1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}；
当a＝－1时，原不等式的解集为；
当a＞－1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}．
考法03 三个“二次”之间的关系及应用
可以通过三个之间的关系简化计算.
若不等式的解集是，求不等式的解集．
【解析】方法一：由的解集为知．
又，为方程的两个根，∴，．
∴，．
∴不等式变为，即，
又，∴．∴所求不等式的解集为．
方法二：由已知得且，，知．
设方程的两根分别为x1，x2，，
则，，其中，，
∴，．∴不等式的解集为．
【名师指点】
三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
【跟踪训练】已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|10的解集.
【解析】∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1由根与系数的关系得得代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0.
解得x<或x>1.∴bx2＋ax＋1>0的解集为{x|x<或x>1}.
考法04 分式不等式的解法
（1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
（2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
解下列不等式：(1) <0；(2)≤2.
【解析】 (1)由<0得>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，
∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．
(2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，
它的同解不等式为∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或②
解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
考法05 一元二次不等式的实际应用
一元二次不等式通常与利润收益等最大值最小值问题结合，需要通过建立模型，进行求解.
北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
【解析】(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，
整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，
等价于当x>25时，a≥有解．
由于≥2＝10，当且仅当，即x＝30时等号成立，
所以a≥10.2.
故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．
【名师指点】解不等式应用题的步骤
【跟踪训练】
某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【解析】(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
即解得0所以投入成本增加的比例x的取值范围为.
考法06 不等式恒成立问题
1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时，
2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；
当a≠0时，
3．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．
【解析】设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则
(1)当对称轴x＝－<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤，与a>4矛盾，不符合题意．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，a的取值范围为－7≤a≤2.
【跟踪训练】（变条件）将例题中的条件“y＝x2＋ax＋3－a，－2≤x≤2，y≥0恒成立”变为“不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R”，求a的取值范围。
【解析】法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，
∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)<0，
解得a>2或a<－2
法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2。
法三：由x2＋2x＋a2－3>0，得a2>－x2－2x＋3，
即a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2>4，故a>2或a<－2
题组A 基础过关练
1．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由知，
，
当且仅当时，等号成立，
则使不等式有解，只需满足即可，
解得故选：C
2．若实数，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因实数，，满足，则a，b，c大小不等，且b在a，c之间，
取a=0，则，即选项A，C都不正确，
而，即选项D不正确，选项B正确.故选：B
3．若函数经过点，则函数的零点是（ ）
A．0，2 B．0， C．0， D．2，
【答案】C
【解析】函数经过点，，∴，
∴，
令，则
所以函数的零点是0和．故选：C.
4．关于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】原不等式可化为，对应方程的二根为，需对m分三种情况讨论：
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
时，，不等式解集为.
故不等式的解集与m有关，ABC均不正确.故选：D.
5．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－2【答案】D
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；
当a－2≠0时，由题意知，，解得－2故选:D．
6．已知不等式的解集为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，、为方程的两根，
由韦达定理可得，解得，因此，.故选：D.
7．下列不等式中解集相同的一组是（ ）.
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】C
【解析】对于A：不等式，即解得，即不等式的解集为，不等式，即，所以解得或故不等式的解集为，故错误；
对于B：解得且，故的解集为；不等式的解集为，故B错误；
对于C：解得，即的解集为，不等式的解集也为，故C正确；
对于D：不等式，即，所以，解得或，故不等式的解集为，不等式的解集为，故错误；
故选：C
8．已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
设，则化为，
，，，
由题意此不等式无解，则，∴．故选：D．
题组B 能力提升练
1．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）
A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0
C．ax2+4x-7>0 D．x2<0
【答案】BD
【解析】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.
2．不等式的解集中恰有三个正整数解，则a的可能取值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】CD
【解析】因不等式的解集中恰有三个正整数解，则，设其解集为，
则是方程的二根，，，
因区间内有且只有三个正整数，必有且 ，即且，于是得，
而，则，时，不等式解集为，恰有1，2，3三个正整数解，
时，不等式解集为，恰有1，2，3三个正整数解，
时，不等式解集为，恰有1，2，3，4四个正整数解，显然符合要求的a值可以是8或者9.故选：CD
3．若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，令，可知成立，当，函数单调递增，所以，所以.故答案为：
4．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】第一次操作后，利下的纯药液为，
第二次操作后，利下的纯药液为，由题意可知：
，
因为，所以，
故答案为：
5．若命题，为假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】．
【解析】由题意是真命题，
时，不等式为，符合题意，
时，则，，
综上：．故答案为：.
6．已知函数.
（1）若不等式解集为时，求实数a的值；
（2）时，恒成立，求实数x的取值范围.
【解析】（1）由题设，是的解集，
∴，整理得，解得或；
（2）由题意，时恒成立，
当时，则有恒成立，符合题意；
当时，则有，
若，要使题设不等式恒成立，仅需即可，而上，
∴，解之得
综上，.
7．（1）解这个关于x的不等式.
（2）若不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）原不等式可化为，
时，解不等式得或，
时，不等式恒成立，即，
时，解不等式得或，
综上：时解集为或，时解集为R，时解集为或；
（2）因时，，当且仅当时取“=”，
又不等式对任意实数x恒成立，即有，解得，
所以实数a的取值范围.
8．已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）当时，，在区间上单调递减，符合题意；当时，对称轴为，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，综上，的取值范围为.
（Ⅱ），恒成立，即，恒成立，令，可知函数在上单调递增，所以，所以，所以，故的取值范围为
题组C 培优拔尖练
1．已知使不等式成立的任意一个x，都满足不等式，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，得，由，得
因为使不等式成立的任意一个x，都满足不等式
①若，则的解集为，满足，符合题意
②若，则的解集为，则，故，则
③若，则则的解集为，则，故
综上有：a的取值范围为
故选：B
2．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程，在复数集内的根为，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由题设知：，
∴，
∴∴，，.
故选：AC
3．已知，，不等式的解集为有下列四个命题：
①； ② ；
③； ④
其中，全部正确命题的序号为_______．
【答案】①②
【解析】不等式变形为 ，
①代入，得，即满足不等式，所以，①成立；
②因为不等式的解集为，所以，代入，则，
所以，②成立；
③由条件可知分别是方程的两个实数根，，，则，故③不成立；
④当时，此时不等式的解集是，即，
此时，故④不成立.
故答案为：①②
4．已知函数，．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，，即，
解方程得，.
①当时，即当时，解不等式，得或，
此时的解集为；
②当时，即时，解不等式，得，
此时的解集为；
③当时，即当时，解不等式，得或，
此时的解集为；
综上，当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，的解集为；
（2）当时，令，当且仅当时，等号成立；
则关于的方程可化为，
关于的方程有四个不等实根，
即有两个不同正根，
则，
由②③式可得，
由①知：存在使不等式成立，
故，
即，解得或.
故实数的取值范围是．
5．已知二次函数．
（1）若的解集为，解关于x的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的最大值．
【解析】（1）∵的解集为
∴，，
∴.故
从而，解得.
（2）∵恒成立，
∴，
∴∴，
令，∵ ∴，从而，
∴，令.
①当时，；
②当时， ，
∴的最大值为.
6．已知一元二次不等式.
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）当时，求不等式的解集.
【解析】（1），所以，
所以不等式为，所以解集为.
（2）当时，不等式，即
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（3）当时，不等式等价于.
令，
当时，即，在上单调递增，
又，所以的解集为；
当时，即，在上单调递增，
又，所以的解集为；
当时，即，在上单调递减，在上单调递减，又，所以的解为，
所以的解集为.
综上：当时，不等式组的解集为；
当时，不等式组的解集为.
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