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第3章 不等式
第02讲 基本不等式
课程标准 重难点
1、理解算术平均数、几何平均数的概念；2、基本不等式的探索、证明及简单应用；3、体会证明不等式的基本思想方法—比较法、综合法与分析法． 1．掌握基本不等式≤ (a>0，b>0)2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题3．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值4．能够利用基本不等式解决实际问题
一、基本不等式
1．如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤ ，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
【思考】
3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？
4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？
5.基本不等式成立的条件一 二 三 .
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 .
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .
2. x＋的最小值是2吗？
一、1． 2.
3. 提示：不一样。2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0。
4. 提示：相同.都是当且仅当a＝b时等号成立
5.定 正 相等
考法01 对基本不等式 ≤ 的理解
（1）．基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
（2）．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b.
（多选题）给出下面四个推导过程正确的是（ ）
A．∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；
B．∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
C．∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.
D．不等式，当且仅当，即时等号成立
【跟踪训练】下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2.
②若x＜0，则x＋＝－＝－4.
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
考法02 利用基本不等式比较大小
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
若0【名师指点】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
【易错提醒】利用基本不等式证明不等式时，易出现的错误有两个，一是不注意基本不等式的使用条件；二是证明步骤上不完整，如例3中容易忘掉说明等号成立的条件。
【跟踪训练】
1.下列不等式成立的是(　　)
A.ab≤ B.ab≥
C.a＋b≥2 D.a＋b≤2
2．设，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
4.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
5．已知，求证．
考法03 利用基本不等式求最值
（1）应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..
（2）一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．
(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值；
(2)已知x＞3，求x＋的最小值；
【名师指点】
1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0.
(2)二定：化不等式的一边为定值．
(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
【跟踪训练】(1)若x＜0，求＋3x的最大值；
(2)若x＞2，求＋x的最小值；
(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．
考法04 利用基本不等式解决实际问题
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式．
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
【跟踪训练】2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．
题组A 基础过关练
1．函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（ ）
A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米
3．已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
4．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值2
5．的最大值为（ ）
A． B．13 C． D．
6．已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．25 B．18 C．16 D．8
7．已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
题组B 能力提升练
1．若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
2．若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（　　）
A． B．3 C．4 D．
3．若，则的最小值是___________.
4．已知正实数，满足，则的最大值等于______．
5．已知正数，满足，则的最大值为______．
6．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
7．已知，，，证明：
（1）；
（2）.
8．若a>0，b>0，且
（1）求的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=5？并说明理由.
题组C 培优拔尖练
1．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列结论中错误的是（ ）
A．存在实数x，y满足，并使得成立
B．存在实数x，y满足，并使得成立
C．满足，且使得成立的实数x，y不存在
D．满足，且使得成立的实数x，y不存在
3．若，，求的值．
．
4．已知a，b，c均为正实数，且满足.
证明：（1）；
（2）.
5．若正实数满足，则的最小值为___________.
6．已知，，且，则的最大值为____．
第3章 不等式
第02讲 基本不等式答案
课程标准 重难点
1、理解算术平均数、几何平均数的概念；2、基本不等式的探索、证明及简单应用；3、体会证明不等式的基本思想方法—比较法、综合法与分析法． 1．掌握基本不等式≤ (a>0，b>0)2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题3．进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值4．能够利用基本不等式解决实际问题
一、基本不等式
1．如果a>0，b>0， ，当且仅当 时，等号成立．
其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．变形：ab≤ ，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．
【思考】
3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？
4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？
5.基本不等式成立的条件一 二 三 .
二、基本不等式与最大值最小值
1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.
(1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当 时，积xy有最大值 .
(2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值 .
2. x＋的最小值是2吗？
一、1． 2.
3. 提示：不一样。2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0。
4. 提示：相同.都是当且仅当a＝b时等号成立
5.定 正 相等
考法01 对基本不等式 ≤ 的理解
（1）．基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
（2）．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b ＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝ a＝b.
（多选题）给出下面四个推导过程正确的是（ ）
A．∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；
B．∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
C．∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.
D．不等式，当且仅当，即时等号成立
【答案】AC
【解析】A.∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确．
B.∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的．
C.由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故C正确．
D．不等式，只有a>0时才成立，且等号成立的条件是a＝1.
所以选AC。
【跟踪训练】下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2.
②若x＜0，则x＋＝－＝－4.
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
【答案】②
【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．
考法02 利用基本不等式比较大小
利用基本不等式比较实数大小的注意事项
1.利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).
2.利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.
若0【解析】∵02，a2＋b2>2ab，
∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择．
而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，
∵0∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2【名师指点】利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．
【易错提醒】利用基本不等式证明不等式时，易出现的错误有两个，一是不注意基本不等式的使用条件；二是证明步骤上不完整，如例3中容易忘掉说明等号成立的条件。
【跟踪训练】
1.下列不等式成立的是(　　)
A.ab≤ B.ab≥
C.a＋b≥2 D.a＋b≤2
【答案】A
【解析】a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，ab≤，故选A.
2．设，则下列不等式中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以由基本不等式得，且，
又，故．
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是(　　)
A．x＝3 B．x＝－3
C．x＝5 D．x＝－5
【答案】C
【解析】由基本不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．
4.已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________.
【答案】x【解析】x2＝，y2＝a＋b＝.
∵a＋b>2 (a≠b)，∴x20，∴x5．已知，求证．
【证明】（当且仅当时，取“=”号），
（当且仅当时，取“=”号），
（当且仅当时，取“=”号）．
以上三式相加，得，
即（当且仅当时，取“=”号）
考法03 利用基本不等式求最值
（1）应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构..
（2）一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用．
(1)已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值；
(2)已知x＞3，求x＋的最小值；
【解析】 (1)∵m，n＞0且m＋n＝16，∴由基本不等式可得mn≤＝＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取得最大值64.
(2)∵x＞3，∴x－3＞0，＞0，
于是x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝7，
当且仅当x－3＝即x＝5时，x＋取得最小值7.
【名师指点】
1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则．
(1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0.
(2)二定：化不等式的一边为定值．
(3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．
以上三点缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．
【跟踪训练】(1)若x＜0，求＋3x的最大值；
(2)若x＞2，求＋x的最小值；
(3)已知0＜x＜，求x(1－2x)的最大值．
【解析】(1)因为x＜0，所以＋3x＝－≤－2＝－12，
当且仅当－＝－3x，即x＝－2时等号成立，
所以＋3x的最大值为－12.
(2)因为x＞2，所以x－2＞0，＋x＝＋x－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，所以＋x的最小值为4.
(3)因为0＜x＜，所以1－2x＞0，x(1－2x)＝·2x(1－2x)≤＝，
当且仅当2x＝1－2x，即x＝时等号成立，所以x(1－2x)的最大值为.
考法04 利用基本不等式解决实际问题
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．
(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式．
(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？
【解析】 (1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，
总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)＝200＋x(x＋1)·16.
∴y＝4＝16(－2x2＋23x－50)．
(2)年平均利润为＝16＝16.
又x∈N*，∴x＋≥2 ＝10，
当且仅当x＝5时，等号成立，此时≤16×(23－20)＝48. ∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．
【跟踪训练】2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．
【解析】由题意，得k＋9＝10，即k＝1，
生产1 000千克该产品需要的时间是，
所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为
y＝ (x2＋9)＝1 000≥1 000×2＝6 000，
当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且1<3<10.
故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．
题组A 基础过关练
1．函数（）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以函数（）的最小值为，
故选：B
2．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站.已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区（ ）
A．5千米 B．6千米 C．7千米 D．8千米
【答案】A
【解析】设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费，供热费，
由题意得：当时，，，
所以，
所以，
所以两项费用之和，
当且仅当，即时等号成立，
所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处.
故选：A
3．已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，故选：D．
4．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值2
【答案】A
【解析】对于选项A，，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于选项B，，当且仅当时取等号，故B错误；
对于选项C，，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于选项D，，所以，
当且仅当时取等号，故D错误.故选：A.
5．的最大值为（ ）
A． B．13 C． D．
【答案】B
【解析】因为，（当且仅当时，取等号.）
所以，，
即当且仅当时，有最大值13.故选：B.
6．已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．25 B．18 C．16 D．8
【答案】C
【解析】，则，
所以，当且仅当，即时等号成立．故选：C．
7．已知，，，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因为，，，
所以,
当且仅当时等号成立,故选:B
8．已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．10 D．16
【答案】B
【解析】由，可得，
当且仅当取等号，
故选：B
题组B 能力提升练
1．若正实数满足，则下列说法正确的是 （ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】
A．因为，取等号时，故正确；
B．因为，所以，取等号时，故正确；
C．因为，取等号时，故错误；
D．因为，当时取最小值为，故正确；故选：ABD.
2．若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（　　）
A． B．3 C．4 D．
【答案】CD
【解析】由xy﹣2x＝y，知，
则
当且仅当，时，等号成立，
从选项可知，CD满足条件，故选：CD
3．若，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号成立.
故的最小值为，
故答案为：
4．已知正实数，满足，则的最大值等于______．
【答案】1
【解析】正实数，满足，即，
∴（当且仅当时，取等号），
∴，即，
则的最大值等于1，
故答案为：1．
5．已知正数，满足，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由，得，
由，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，、
所以的最大值为.
故答案为：.
6．已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【解析】（1）因为所以，
即当且仅当取等号.
又，所以当时，的最大值为
（2）因为且.
当且仅当即取等号.又，所以当时，的最小值为5.
7．已知，，，证明：
（1）；
（2）.
【解析】（1），，
（当且仅当，即时取等号）；
（2）.
由（1）可知：，
（当且仅当时取等号）.
8．若a>0，b>0，且
（1）求的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=5？并说明理由.
【解析】（1）由，得ab≥2，当且仅当时，等号成立，
故，当且仅当时，等号成立；
（2）由（1）知，，
由于，所以不存在a，b，使得2a+3b=5．
题组C 培优拔尖练
1．是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且取等，即取等号，
即则的最大值为，故选：A．
2．下列结论中错误的是（ ）
A．存在实数x，y满足，并使得成立
B．存在实数x，y满足，并使得成立
C．满足，且使得成立的实数x，y不存在
D．满足，且使得成立的实数x，y不存在
【答案】A
【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影所示：
，令，可知可行域内的点在边界时，取得最大值或最小值；
对于A项，最优解在时，，
因为，所以的最大值为9，且此时.
所以选项A错误；
对于B项，即，
由基本不等式知，当且仅当时等号成立，
即，解得，
且点在可行域内，故B项正确，不选；
对于C项，最优解在时，，
因为，所以.
所以满足，且使得成立的实数x，y不存在，
所以C项正确，不选；
对于D项，由对C项的分析可知，满足，且使得成立的实数x，y不存在，
所以D项正确，不选；
故选：A.
3．若，，求的值．
【答案】
【解析】设，则，，，
①当时，，，当且仅当时取等；
②当时，，，当且仅当时取等．
综上，，当且仅当时取等号，即．
4．已知a，b，c均为正实数，且满足.
证明：（1）；
（2）.
【解析】（1）由，，均为正实数，且满足，
，
可得，当且仅当时取得等号．
则，
当且仅当，时取得等号．
（2）由，，均为正实数，且满足，
，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
同理可得，当且仅当取得等号，
上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）．
5．若正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由且知：，
当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为：
6．已知，，且，则的最大值为____．
【答案】
【解析】由，，得，
即
又，
当且仅当，即时，取等，
故，
解得或（舍）
故，即的最大值为，
故答案为：.
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