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《基本不等式的应用》专题训练
一、选择题
1.已知直角三角形的两直角边长的和为4，则此直角三角形的面积满足（ ）
A.最大值2
B最大值4
C最小值2
D.最小值4
2.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长为400千米，为了安全，两列货车的间距不得少于千米，那么这批货物全部运到B市最快需要（ ）
A.6小时
B.8小时
C.10小时
D.12小时
3.做一个面积为1，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理（够用，又浪费最少）的是（ ）
A.4.6m
B.4.8m
C.5m
D.5.2m
4.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次的进货量相同，且每次的运费均为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，仓库一年的租金数和一次进货的件数相同，为使一年的运费和租金最省，每次的进货量应为（ ）
A.200件
B.5000件
C.2500件
D.1000件
二、填空题
5.周长为2的直角三角形的面积的最大值为 .
6.一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①,；②；③；④.其中可作为的取值的实数对的序号是 .
7.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元.
三．解答题
8.某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃.一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元（总造价=立柱造价+玻璃造价）.
（1）求y关于x的函数关系式
（2）当时，怎样设计能使总造价最低？
9.2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌.40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设.郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护.若已知市财政下拨一项专款100（百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（单位：百万元），，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（单位：百方元），.
（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；
（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋.试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少.
10.据预测，某旅游景区游客人数在500至1300人之间，游客人数x（人）与游客的消费总额y（元）之间近似地满足关系：.
（1）若该景区游客消费总额不低于400000元时，求景区游客人数的范围；
（2）当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额.
11.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t万元满足（k为常数）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）.
（1）求常数k，并将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；
（2）该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
12.某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能.
（1）设米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
13.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位：千米/时）假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；
（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值.
参考答案
1．
答案：A
解析：设直角三角形的两直角边长为a，b，则，直角三角形的面积当且仅当取得最大值，且为2.
2．
答案：B
解析：设这批货物全部运到B市用的时间为y小时，不计货车的身长，设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为千米时，用时最少.则，当且仅当米/小时时，时间小时.
3.
答案：C
解析：设直角三角形两直角边长分别为x，y，则.当且仅当时取等号.考虑到实际问题，故选C.
4.
答案：D
解析：设每次的进货量为x件，一年的运费和租金总和为y元，那么有，当且仅当，即时等号成立.
5.
答案：
解析：设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则直角三角形的面积.由已知，得，，，当且仅当时，S取最大值.
6.
答案：①④
解析：依题意，设矩形的长、宽分别为a，b，则有即，.对于①，；对于②，；对于③，；对于④，.因此，的取值的实数对的序号是①④.
7.
答案：2 20
解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为万元，仓储费为万元，则，工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，，运费与仓储费之和为.从而，当且仅当即时，运费与仓储费之和最小，为20万元.
8.
答案：见解析
解析：（1）由题意得，.
（2），
，
，
当且仅当时取等号，
时，取得最小值.
即等距安装8根立柱时，总造价最低.
9.
答案：见解析
解析：（1），定义域为.
（2）由（1）得到
，当且仅当，即x=40时，取等号.
的最大值为52万元，分别投资给植绿护绿和处理污染两个生态维护项目40万和60万元.
10.
答案：见解析
解析：（1）由题意得，即，解得又，景区游客人数的范围是1000至1300人.
（2）设游客的人均消费额为，则，当且仅当时等号成立.所以当景区游客的人数为1000时，游客的人均消费最高，最高消费额为400元.
11.
答案：见解析
解析：（1）由题意，当时，x=1，
代入，故，
.
（2）由（1）知: ，
由基本不等式，
当且仅当，即时等号成立.
故.所以该厂家2019年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.
12.
答案：见解析
解析：（1）由题意，，
因.
设.
因.
由，化简得.
（2）记的面积为，则，
当且仅当时，取得最大值.
答：当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好.
13．
答案：见解析
解析：（1）设所用时间为，.
这次行车总费用y关于x的表达式是
.
（2）由（1）知，，
当且仅当，即时，等号成立.
故当千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.
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