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第4章 指数与对数
第01讲 指数
课程标准 重难点
理解有理数指数幂的含义；掌握指数幂的运算性质． 通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
一、n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为
a<0 x在实数范围内不存在
二、根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 .
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①()n＝.
②＝
[想一想]
1．正数a的n次方根一定有两个吗？
2．()n与中的字母a的取值范围是否一样？
三、分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝ (a>0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂 规定：a＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂
四、有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ (a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
五、无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
[想一想]
1．为什么分数指数幂的底数规定a>0
2．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？
幂指数 定义 底数的取值范围
整数指数 正整数指数 a∈R
零指数 a0＝1 a≠0且a∈R
负整数指数 a－n＝(n∈N*) a≠0且a∈R
有理数指数 正分数指数 a＝ (m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a∈R
n为偶数 a≥0
负分数指数 a＝ (m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a≠0且a∈R
n为偶数 a＞0
无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0
一、n次方根 ±
二、根指数 被开方数
1.不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
2. 提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.
三、 没有意义
四、ar＋s ars arbr
五、1.①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；
②当a＝0时，a0无意义．
2. ①ar÷as＝ar－s；②＝.
考法01 n次方根的概念
判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　　
(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．
(2)已知x7＝6，则x＝________.
(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．
【跟踪训练】已知m10＝2，则m等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．±
考法02 利用根式的性质化简求最值
根式化简的思想和注意点
(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的．
(2)化简根式时需注意：
在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　
(链接教材P105例1)化简与求值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【跟踪训练】1．计算 ＋4＝________.
2．若，则实数a的取值范围为________．
考法03 带条件的根式的化简
1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
2.有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．　　　　
化简 (－3[跟踪训练]
若nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
考法04 根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．　　　　
　(链接教材P106例3)用根式或分数指数幂表示下列各式：a，a (a>0)，，(a>0), (a>0)．
【跟踪训练】1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)x＝________；(2)x＝________；(3)xy＝________.
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；(2)a3·；(3) .
　
考法05 指数幂的运算
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．　　　　
(链接教材P106例4)计算下列各式：
(1)0＋2－2×－0.010.5；
(2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75；
(3) ·eq \f(\r(4ab－1)3,0.1－2a3b－3)(a>0，b>0)．
【跟踪训练】1．计算：
(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
(2)216＋－2－343－.
2．化简下列各式：
(1)(x>0，y>0)；
(2)(x·y·z－1)·(x－1·y·z3) (x>0，y>0，z>0)．
考法06 条件求值问题
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
(1)a±2ab＋b＝(a±b)2；
(2)a－b＝(a＋b)(a－b)；
(3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)；
(4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．　
(链接教材P110T8)已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
【母题探究】
(变结论)在本例条件下，则a2－a－2＝________.
题组A 基础过关练
1．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若有意义，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．设，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若a、b为实数,且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
7．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
8．的分数指数幂表示为（　　）
A． B． C． D．a
题组B 能力提升练
1．（多选题）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．计算：___________．
4．当有意义时，化简的结果是________．
5．计算：________.
6．已知，，且，，求实数的值．
7．已知，，求的值．
8．；
题组C 培优拔尖练
1．若实数x，y同时满足方程和，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．21 D．27
2．已知，下列各式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列各式中成立的是
A． B．
C． D．
4．设，且，求=_________.
5．计算：
（1）；
（2）．
6．（1）计算
（2）化简：.
第4章 指数与对数
第01讲 指数 答案
课程标准 重难点
理解有理数指数幂的含义；掌握指数幂的运算性质． 通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
一、n次方根
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，其中n>1，且n∈N*
性质 n是奇数 a>0 x>0 x仅有一个值，记为
a<0 x<0
n是偶数 a>0 x有两个值，且互为相反数，记为
a<0 x在实数范围内不存在
二、根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 .
(2)性质：(n>1，且n∈N*)
①()n＝.
②＝
[想一想]
1．正数a的n次方根一定有两个吗？
2．()n与中的字母a的取值范围是否一样？
三、分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝ (a>0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂 规定：a＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂
四、有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ (a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ (a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r∈Q)．
五、无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
[想一想]
1．为什么分数指数幂的底数规定a>0
2．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？
幂指数 定义 底数的取值范围
整数指数 正整数指数 a∈R
零指数 a0＝1 a≠0且a∈R
负整数指数 a－n＝(n∈N*) a≠0且a∈R
有理数指数 正分数指数 a＝ (m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a∈R
n为偶数 a≥0
负分数指数 a＝ (m，n∈Q*，n＞1，且m，n互质) n为奇数 a≠0且a∈R
n为偶数 a＞0
无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0
一、n次方根 ±
二、根指数 被开方数
1.不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数．
2. 提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R.
三、 没有意义
四、ar＋s ars arbr
五、1.①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则a，a无意义；
②当a＝0时，a0无意义．
2. ①ar÷as＝ar－s；②＝.
考法01 n次方根的概念
判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数；
(2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　　
(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．
(2)已知x7＝6，则x＝________.
(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】(1)±4　　(2)　(3)[2，＋∞)
【解析】(1)∵(±4)2＝16，
∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.
(2)∵x7＝6，∴x＝.
(3)要使有意义，
则需x－2≥0，即x≥2.
因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．
【跟踪训练】已知m10＝2，则m等于(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C. D．±
【答案】D
【解析】∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±.
考法02 利用根式的性质化简求最值
根式化简的思想和注意点
(1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的．
(2)化简根式时需注意：
在根式计算中，含有(n为正偶数)的形式中要求a≥0，而中a可以是任何实数．　　
(链接教材P105例1)化简与求值：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【解析】(1) ＝－5.
(2) ＝＝＝3.
(3)∵a≤，∴1－2a≥0，
∴＝＝＝.
(4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x∴＝
【跟踪训练】1．计算 ＋4＝________.
【答案】29
【解析】原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3＋32＝29.
2．若，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】由 ＝|2a－1|，
＝1－2a.
所以|2a－1|＝1－2a，
故2a－1≤0，所以a≤.
考法03 带条件的根式的化简
1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．
2.有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．　　　　
化简 (－3【解析】原式＝＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3当－4当0≤x－1<2，即1≤x<3时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.
∴＝
[跟踪训练]
若nA．2m B．2n
C．－2m D．－2n
【解析】选C　原式＝－＝|m＋n|－|m－n|，∵n0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.
考法04 根式与分数指数幂的互化
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．　　　　
　(链接教材P106例3)用根式或分数指数幂表示下列各式：a，a (a>0)，，(a>0), (a>0)．
【解析】a＝；a (a>0)＝；＝aeq ＝a2；
(a>0)＝eq \f(1,a)＝a； (a>0)＝ eq \r(a·a)＝ eq \r(a)＝a.
【跟踪训练】1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)x＝________；(2)x＝________；(3)xy＝________.
【答案】(1)　(2)　(3)
2．用分数指数幂的形式表示下列各式(式中字母都是正数)：
(1)；(2)a3·；(3) .
【解析】(1)＝eq \f(1,a)＝a.
(2)a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
(3) ＝＝b·＝b·(－a－2)＝－ba.
　
考法05 指数幂的运算
指数幂运算的解题通法
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一．　　　　
(链接教材P106例4)计算下列各式：
(1)0＋2－2×－0.010.5；
(2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75；
(3) ·eq \f(\r(4ab－1)3,0.1－2a3b－3)(a>0，b>0)．
【解析】(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝.
(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.
(3)原式＝eq \f(4·4,100)·a·a·b·b＝a0b0＝.
【跟踪训练】1．计算：
(1)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
(2)216＋－2－343－.
【解析】(1)原式＝(－1) ×＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝(63)＋32－(73)－(5－3)＝36＋9－7－5＝33.
2．化简下列各式：
(1)(x>0，y>0)；
(2)(x·y·z－1)·(x－1·y·z3) (x>0，y>0，z>0)．
【解析】(1)原式＝eq \f(xy,xy)＝xy＝xy.
(2)原式＝(xyz－1)·(xyz－1)＝x＋·y·z－1－1＝xz－2.
考法06 条件求值问题
解决条件求值问题的一般方法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)：
(1)a±2ab＋b＝(a±b)2；
(2)a－b＝(a＋b)(a－b)；
(3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)；
(4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．　
(链接教材P110T8)已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
【解析】(1)将a＋a＝两边平方，
得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
即a2＋a－2＝7.
【母题探究】
(变结论)在本例条件下，则a2－a－2＝________.
【答案】±3
【解析】令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.
题组A 基础过关练
1．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据根式和指数幂的运算性质，因为，
可化为，即，
可得，所以，即．
故选：B.
2．若有意义，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，要使得有意义，则满足，解得，
即实数的取值范围为．故选：B．
3．的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【解析】.故选：B．
4．设，则下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，，故A错误；
对B，，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，故D错误.
故选：B.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
6．若a、b为实数,且a+b=2, 则3a+3b的最小值为（ ）
A．18 B．6 C．2 D．2
【答案】B
【解析】因为,由基本不等式有,当且仅当时取等号.故选：B
7．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故选C
8．的分数指数幂表示为（　　）
A． B． C． D．a
【答案】A
【解析】依题意.故选：A
题组B 能力提升练
1．（多选题）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由，所以A正确；
由，所以B正确；
由，
因为，，所以，所以C错误；
由，所以D正确．故选：ABD．
2．在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，左边，右边，故A错误；
对于B，，当时，，故B错误；
对于C，由分式指数幂可得，则，故C正确；
对于D，，故D错误.
∴不正确的是A、B、D.故选：ABD.
3．计算：___________．
【答案】6
【解析】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，
可得．
故答案为：
4．当有意义时，化简的结果是________．
【答案】
【解析】由有意义，得．
所以故答案为：
5．计算：________.
【答案】
【解析】原式.
故答案为：.
6．已知，，且，，求实数的值．
【答案】
【解析】因为，所以，即，
所以，，故．
7．已知，，求的值．
【答案】
【解析】，
将代入，得原式=．
故答案为：
8．；
【答案】100
【解析】
.
题组C 培优拔尖练
1．若实数x，y同时满足方程和，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．21 D．27
【答案】D
【解析】由实数x，y同时满足方程和，
可得，即，解得，所以，
即的值为27.故选：D.
2．已知，下列各式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①,正确；
②，正确；
③因为可知，，，
所以，故错误；
④，正确.
故选：C
3．下列各式中成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A中应为；
B中等式左侧为正数，右侧为负数；
C，x＝y＝1时不成立错误．
D中正确；故选：D．
4．设，且，求=_________.
【答案】
【解析】对左右同时平方得
同时由可判断，则，
故答案为
5．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）12；（2）
【解析】（1）；
（2）=464
6．（1）计算
（2）化简：.
【解析】（1）
；
（2）原式.
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