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第四章 运动和力的关系
专题 瞬时加速度(突变)问题
和动力学图像问题
目录
contents
瞬时加速度(突变)问题
01
02
动力学图像问题
03
典例分析
瞬时加速度(突变)问题
01
加速度和力具有瞬时对应关系，即同时产生、同时变化、同时消失，分析物体在某一时刻的瞬时加速度，关键是分析该时刻物体的受力情况及运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度．
而在应用牛顿第二定律求解物体的瞬时加速度时，经常会遇到轻绳、轻杆、轻弹簧和橡皮绳这些常见的力学模型。全面准确地理解它们的特点，可帮助我们灵活正确地分析问题。
不同模型瞬时加速度的求法
1．模型的共同点：都是质量可忽略的理想化模型，都会发生形变而产生弹力，同一时刻内部弹力处处相等且与运动状态无关。
2．模型的不同点：

弹力表现形式
弹力方向
弹力能否突变
轻绳
拉力
沿绳收缩方向
能
轻杆
拉力、支持力
不确定
能
轻弹簧
拉力、支持力
沿弹簧中心轴线
不能
橡皮条
拉力
沿橡皮条收缩方向
不能
3.简化成两类模型：
(1)刚性绳(刚性杆或接触面)模型：这种不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，恢复形变几乎不需要时间，故认为弹力立即改变或消失，即弹力可以突变．
(2)弹簧(或橡皮绳)模型：此类物体的特点是形变明细，恢复形变需要较长时间，在瞬时问题中，其弹力往往可以看成是不变的．即弹力不可以突变．
两种模型
加速度与合外力具有瞬时对应关系，二者总是同时产生、同时变化、同时消失，当物体所受合外力发生突变时，加速度也随着发生突变，而物体运动的速度不能发生突变.
(2)“四个步骤”：
第一步：分析原来物体的受力情况．
第二步：分析物体在突变时的受力情况．
第三步：由牛顿第二定律列方程．
第四步：求出瞬时加速度，并讨论其合理性．
4、抓住“两关键”、遵循“四步骤”
(1)分析瞬时加速度的“两个关键”：
①明确绳或线类、弹簧或橡皮条类模型的特点；
②分析瞬时前、后的受力情况和运动状态．
解题思路
分析瞬时变化前物体的受力情况
→
分析瞬时变化后哪些力变化或消失
→
求出变化后物体所受合力，根据牛顿第二定律列方程
→
求瞬时加速度
解析：
【例题】如图所示，质量分别为m和2m的A和B两球用轻弹簧连接，A球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态，如果将悬挂A球的细线剪断，此时A和B两球的瞬时加速度aA、aB的大小分别是(　　)
A.aA＝0，aB＝0 B.aA＝g，aB＝g
C.aA＝3g，aB＝g D.aA＝3g，aB＝0
分析B球原来受力如图甲所示，F′＝2mg
剪断细线后弹簧形变不会瞬间恢复，故B球受力不变，aB＝0.分析A球原来受力如图所示，
FT＝F＋mg，F′＝F，故FT＝3mg.
剪断细线，FT变为0，F大小不变，A球受力如图丙所示，由牛顿第二定律得：F＋mg＝maA，解得aA＝3g.故本题选D.
D
解析：
【拓展1】如图所示，质量分别为m和2m的A和B两球用轻弹簧连接，A球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态，如果将悬挂B球的弹簧剪断，此时A和B两球的瞬时加速度aA、aB的大小分别是(　　)
A.aA＝0，aB＝0 B.aA＝0，aB＝g
C.aA＝3g，aB＝g D.aA＝3g，aB＝0
B
剪断弹簧前，分析B球原来受力，得弹簧拉力F′＝2mg，剪断弹簧瞬间，弹簧弹力变为0，故B球只受重力，aB＝g；分析A球原来受力，FT＝F＋mg，F′＝F，故FT＝3mg.剪断弹簧瞬间，FT发生突变，变为大小等于mg，故aA＝0.故本题选B.
解析：
【拓展2】如图所示，质量分别为m和2m的A和B两球用轻弹簧连接，A球用细线悬挂起来，两球均处于静止状态．如果将悬挂B球的细线剪断，此时A和B两球的瞬时加速度aA、aB的大小分别是(　　)
A.aA＝0，aB＝0 B.aA＝g，aB＝g
C.aA＝2g，aB＝g D.aA＝3g，aB＝0
C
剪断细线前，分析B球原来受力，得细线拉力FT＝2mg，剪断细线瞬间，细线弹力变为0，故B球只受重力，aB＝g；分析A球原来受力，F＝F′T＋mg，F′T＝FT，故弹簧拉力F＝3mg.剪断细线瞬间，弹簧弹力不突变，A球受力如图所示，由牛顿第二定律得：F－mg＝maA，故aA＝2g.故本题选C.
【拓展3】如图，A、B、C 三个小球质量均为m，A、B之间用一根没有弹性的轻质细绳连在一起，B、C之间用轻弹簧连接，整个系统用细线悬挂在天花板上并且处于静止状态.现将A上面的细线剪断，则在剪断细线的瞬间，A、B、C 三个小球的加速度分别是(重力加速度为g)( )
A.1.5g,1.5g,0
B.g,2g,0
C.g，g，g
D.g，g,0
A
【拓展4】四个质量均为m的小球，分别用三条轻绳和一根轻弹簧连接，处于平衡状态，如图所示，现突然迅速剪断轻绳A1、B1，让小球下落。在剪断轻绳的瞬间，设小球1、2、3、4的加速度分别用a1、a2、a3和a4表示，则（????）
B
解析：
【例题】如图甲所示，一质量为m的物体系于长度分别为l1、l2的两根细线上，l1的一端悬挂在天花板上，与竖直方向夹角为θ，l2水平拉直，物体处于平衡状态，现将l2线剪断．
(1)求剪断l2瞬间物体的加速度；
(2)若将上图中的细线l1改变为长度相同、质量不计的轻弹簧，如图乙所示，其他条件不变，现将l2剪断，求剪断瞬间物体的加速度．?
(1)由于l1是细线，其物理模型是不可拉伸的刚性绳，当线上的张力变化时，细线的长度形变量忽略不计，因此当剪断l2的瞬间，l2上的张力突然消失，l1线上的张力发生突变，这时物体受力如下左图所示，
FT1＝mgcos θ，mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ.
(2)因l2被剪断的瞬间，弹簧l1上的弹力FT1未发生变化，所以物体所受的合力与FT2等大反向，如下右图所示，由牛顿第二定律，在水平方向有：
mgtan θ＝ma，解得a＝gtan θ.
【例题】如图所示，两个完全相同的轻弹簧a、b，一端固定在水平面上，另一端均与质量为m的小球相连接，轻杆c一端固定在天花板上，另一端与小球拴接.弹簧a、b和轻杆互成120°角，且弹簧a、b的弹力大小均为mg，g为重力加速度，如果将轻杆突然撤去，则撤去瞬间小球的加速度大小可能为（ ）
A.a＝0.5g B.a＝g C.a＝1.5g D.a＝2g
D
【例题】(多选)两小球A、B先后用弹簧和轻杆相连，放在光滑斜面上静止，挡板C与斜面垂直，弹簧、轻杆均与斜面平行，如图甲、乙，A、B 质量相等，重力加速度为g，斜面倾角为θ.在突然撤去挡板的瞬间（ ）
A.两图中两球加速度均为g sin θ
B.两图中A球的加速度均为零
C.图甲中B球的加速度为2g sin θ
D.图乙中B球的加速度为g sin θ
CD
解析：撤去挡板前,题图甲和题图乙中的A、B两球的受力情况一样,A球受轻弹簧(或轻杆)的弹力沿斜面向上、大小为mgsinθ,B球受轻弹簧(或轻杆)的弹力沿斜面向下、大小为mgsinθ,B球受挡板C的弹力沿斜面向上、大小为2mgsinθ。撤去挡板后,轻杆受力可突变,而轻弹簧因为形变量未改变故弹力不改变,所以题图甲中A球的加速度为零,B球的加速度大小为2gsinθ,A项错误C正确;题图乙中A、B两球的加速度相同,轻杆的作用力为零,C项错误;由2mgsinθ=2ma,可得A、B两球的加速度a=gsinθ、方向沿斜面向下,B错误D项正确。
归纳总结
解题方法：
①搞清各物体初始状态对地的运动和物体间的相对运动，确定物体间的摩擦力方向；
②分别隔离两物体进行受力分析，准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)；
③找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口．求解中应注意联系两个过程的纽带，即每一个过程的末速度是下一个过程的初速度。
动力学图像问题
02
(2)特别注意图像中的点、线段、斜率、截距、交点、拐点、面积等方面了解图像给出的信息，再利用共点力平衡、牛顿运动定律及运动学公式解题.
1、常见的图像形式
在动力学与运动学问题中，常见、常用的图像是位移图像(x-t图像)、速度图像(v-t图像)和力的图像(F-t图像)等，这些图像反映的是物体的运动规律、受力规律，而绝非代表物体的运动轨迹．
2、解决图像综合问题的关键
(1)把图像与具体的题意、情境结合起来，明确图像的物理意义，明确图像所反映的物理过程．
【例题】一质量为m＝1 kg的物体在水平恒力F作用下沿直线水平运动，1 s末撤去恒力F，其v-t图像如图所示，则恒力F和物体所受阻力Ff的大小是(　　)
A.F＝9 N，Ff＝2 N B.F＝8 N，Ff＝3 N
C.F＝8 N，Ff＝2 N D.F＝9 N，Ff＝3 N
解析：由v-t图像可知，0～1 s内，物体做匀加速直线运动，共加速度大小为a1＝ ????????????????????????＝???????? m/s2＝6 m/s2；1～3 s内，物体做匀减速直线运动，其加速度的大小为a2＝ ???????? m/s2＝3 m/s2.根据牛顿第二定律，0～1 s有F－Ff＝ma1,1～3 s有Ff＝ma2，解得F＝9 N，Ff＝3 N．故D正确，A、B、C错误．
?
D
解析：
【例题】粗糙的水平地面上一物体在水平拉力作用下做直线运动，水平拉力F及运动速度v随时间变化的图像如图甲、乙所示．取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)前2 s内物体运动的加速度和位移大小；
(2)物体的质量m和物体与地面间的动摩擦因数μ.
(1)由v-t图像可知，前2 s内物体运动的加速度为
a＝????????????????＝???????? m/s2＝2 m/s2
前2 s内物体运动的位移为x＝ ?????????at2＝ ?????????×2×22 m＝4 m.
?
(2)物体受力如图所示．对于前2 s，由牛顿第二定律得F1－Ff＝ma，其中Ff＝μmg
2 s后物体做匀速直线运动，由二力平衡条件得F2＝Ff
由F ? t图像知F1＝15 N，F2＝5 N
代入数据解得m＝5 kg，μ＝0.1.
【例题】（多选）如图甲所示,一轻弹簧下端固定在水平面上,上端放置一小物体(不粘连),小物体处于静止状态。现对小物体施一竖直向上的拉力F,使小物体向上做匀加速直线运动,拉力F与物体位移x的关系如图乙所示,a、b、c均为已知量,重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。则下列结论正确的是(　 　)
A.物体与弹簧分离时,弹簧处于原长
B.小物体质量为m=?????????????
C.物体的加速度大小为????????g
D.物体从开始运动到离开弹簧的过程经过的时间为????????(?????????)????????
?
ABD
解析：物体与弹簧分离时,弹簧对物体的弹力减小到零,弹簧处于原长,A正确;初始时刻,物体所受的合力为a,物体做匀加速直线运动,故离开弹簧之后,物体所受的合力仍然等于a,因此b-mg=a,小物体质量为m=?????????????,B正确;根据牛顿第二定律,可得a=ma0,小物体的加速度大小a0=????????=?????????????????,C错误;根据c=????????a0t2,得物体从开始运动到离开弹簧的过程经过的时间为t=????????(?????????)????????,D正确。
?
【例题】如图1所示，质量为4 kg的物体静止于水平面上，现用大小为20 N、与水平方向夹角为37°的斜向上的力拉物体，使物体沿水平面做匀加速运动．物体运动的速度—时间图像如图2所示．求：
(1)物体的加速度是多大？
(2)物体与水平面间的动摩擦因数为多少？
(2)物体受力如图所示．根据牛顿第二定律得：
水平方向：Fcos 37°－Ff＝ma
竖直方向：Fsin 37°＋FN＝G
又Ff＝μFN
由以上三个式子可解得：μ＝0.5.
解析：(1)根据物体运动的速度—时间图像可得物体的加速度
a＝ ????????????????＝ ???????? m/s2＝0.5 m/s2
?
典例分析
03
【例题】如图所示，质量分别是m和2m的两个物体用一根轻质弹簧连接后再用细绳悬挂，稳定后将细绳剪断，则剪断的瞬间下列说法正确的是(g是重力加速度)(　　)
A．质量为m的物体加速度是0
B．质量为2m的物体加速度是g
C．质量为m的物体加速度是3g
D．质量为2m的物体加速度是3g
C　
【例题】如图所示，质量为m的光滑小球A被一轻质弹簧系住，弹簧另一端固定于水平天花板上，小球下方被一梯形斜面B托起保持静止不动，弹簧恰好与梯形斜面平行，已知弹簧与天花板夹角为30°，重力加速度g取10 m/s2，若突然向下撤去梯形斜面，则小球的瞬间加速度为(　　)
A.0
B.大小为10 m/s2，方向竖直向下
C.大小为5???? m/s2，方向斜向右下方
D.大小为5 m/s2，方向斜向右下方
?
解析：小球原来受到重力、弹簧的弹力和斜面的支持力，斜面的支持力大小为：FN＝mgcos 30°；突然向下撤去梯形斜面，弹簧的弹力来不及变化，重力也不变，支持力消失，所以此瞬间小球的合力与原来的支持力FN大小相等、方向相反，由牛顿第二定律得：mgcos 30°＝ma，解得a＝5 ???? m/s2，方向斜向右下方，选项C正确．
?
C
【例题】如图所示，轻弹簧上端与一质量为m1的木块1相连，下端与另一质量为m2的木块2相连，整个系统置于水平放置的光滑木板上，并处于静止状态．现将木板沿水平方向突然抽出，设抽出后的瞬间，木块1、2的加速度大小分别为a1、a2，重力加速度大小为g.则有(　　)
A.a1＝g，a2＝g B.a1＝0，a2＝g
C.a1＝0，a2＝????????+????????????????g D.a1＝g，a2＝ ????????+?????????????????g
?
解析：在抽出木板的瞬间，弹簧对木块1的支持力和对木块2的压力并未改变．木块1受重力和支持力，m1g＝F，a1＝0.木块2受重力和压力，根据牛顿第二定律得a2＝ ????+?????????????????????＝ ????????+?????????????????g，选项C正确．
?
C
【例题】
D
B
【例题】
【例题】如图，物块a、b和c的质量相同，a和固定点O、b和c之间用完全相同的轻弹簧S1和S2相连，a和b之间通过细线连接。整个系统处于静止状态。现将细线剪断。将物块a、b和c的加速度的大小记为a1、a2和a3，重力加速度大小为g，在剪断细线的瞬间(　　)
A.a1=3g???
B.a2=2g
C.a3=g???
D.a1=a3=0
B
感谢您的耐心聆听
I'd like to finish by saying how grateful I am for your attention.

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