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《向量应用》课时同步详解
问题情境导入
水渠横断面是四边形,且,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系
新课自主学习
自学导引
1.向量在几何中的应用.
(1)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的______及______表示出来，因此，平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.
(2)平面几何问题与平面向量之间的对应关系：
(3)用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用______表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为______问题；
②通过______运算，研究几何元素之间的关系；
③把______“翻译”成几何关系.
(4)用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法：
①几何法：选取适当的______（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为______.
2.向量在物理中的应用
（1）物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移等在数学中都是______.
（2）物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法
（3）利用向量方法解决物理问题的基本步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
②建立模型，即建立以______为载体的数学模型；
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
答案
1.(1)线性运算数量积
(2)或
(3)①向量 向量 ②向量 ③运算结果
(4)①基底 ②代数运算
2.(1)向量
(3)②向量
预习测评
1.在四边形中,若,则四边形为（ ）
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
2.一物体受到相互垂直的两个力的作用,两力大小都为,则两个力的合力的大小为( )
A.5N
B.
C.
D.
3.已知点,则直线与直线( )
A.垂直
B.平行
C.相交
D.重合
4.在中,若,则( )
A.是正三角形
B.是直角三角形
C.是等腰三角形
D.形状无法确定
5.已知力作用在一物体上,使物体从移动到,则对物体所做的功为______焦耳.
答案
1.
答案：B
解析：因为所因此四边形为平行四边形.又因为,所以,故四边形为矩形.
2.
答案：D
解析：两个力的合カ的大小为
3.
答案：
解析：由题意得又,而与不平行,∴三点不共线,∴.
4.
答案：C
解析：,即|,则是等腰三角形.
5.
答案：1
解析：由题意可得位移力做的功为.
新知合作探究
探究点1 平面向量在几何证明中的应用
知识详解
证明平面几何中的线线平行、三点共线和直线的相互垂直,都可以转化成向量来进行.
1.证明线线平行、三点共线问题,可用向量共线的相关知识：
(其中.
2.证明垂直问题,可用向量垂直的相关知识：
(其中.
典例探究
例1已知四边形是菱形,和是它的两条对角线,试用向量证明:.
解析:用向量方法证明,即证明0.可以利用向量线性运算证明,也可以采用建立直角坐标系,用向量坐标的方法证明.
答案 方法一:∵,
∴,
∴∴.
方法二:如图,以所在直线为轴,以为原点建立平面直角坐标系,则.
设,则.
由,得.
∵,
,
∴,
∴,即.
变式训练1 在中,点分别在线段上,.求证:.答案:设,则,又,
所以.在中,,
所以,即与共线.又与不重合,故.
例2如图,点是平行四边形的中心,分别在边上,且.
求证:点在同一直线上.
解析:要证明点在同一直线上,只需证明与共线,再说明它们有公共点即可.
答案:设,由,知分别是的三等分点,
∴,
.
∴.
又为与的公共点,故点在同一直线上.
方法归纳 用向量证明平面几何问题的两种基本思路.
(1)向量的线性运算法的四个步骤:
①选取基底;
②用基底表示相关向量;
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;
④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤:
①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.
变式训练2如图,在平行四边形中,已知,求证:三点共线.
答案：因为,所以.
于是 因此.又因为有公共点,所以三点共线.
探究点2平面向量在几何求值中的应用
知识详解
平面几何中的向量求值问题包括求向量的模、求向量的夹角和求参数等几个类型.其中两点之间的距离和直线的夹角问题可以转化为向量的模和向量的夹角问题.但是需要注意的是向量的夹角和直线的夹角是不同的,向量有方向,夹角的范围是,而直线和直线夹角的范围是.在解法上,可以通过向量的线性运算完成,也可以建立直角坐标系后,借助向量坐标完成计算.
典例探究
例3 如图,在平行四边形中,2,对角线,求对角线的长.
解析：先设出一组基底,再用其表示,之后通过求出来求的长.
答案 设,则,而,
∴.又,
∴,即.
方法归纳 用向量法求长度的策略:
(1)利用图形特点选择基底,用公式求解.
(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,则
变式训练3 如图所示,四边形ABCD是正方形,的延长线交的延长线于点.求证:.
答案：如图,建立平面直角坐标系,不妨设正方形的边长为1,则.
若设则，
又
又.
由得或(舍).
即.
又设和共线得
得
又，
∴,
∴.
例4 已知矩形为上靠近的三等分点,则的大小为______.
解析:如图,建立平面直角坐标系.则,,
,.
∵.
答案:
方法归纳 用向量数量积求夹角的策略：
(1)利用图形特点选择基底,用公式求解.
(2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入相应的公式进行计算.
变式训练4 例4中,条件不变,试问:在上是否存在点,使得 若存在,求出点的位置;若不存在,说明理由.
答案：如图,建立平面直角坐标系.
假设在上存在点,使得,不妨设,则.
设与的夹角为,因为,面,所以,整理得,解得或,由于,因此在上存在点,使得,且此时.
探究点3 向量在物理中的应用知识详解
1.向量与力.
向量是既有大小,又有方向的量,它们可以有共同的起点,也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向,又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时,往往把向量平移到同一作用点上.
2.向量与速度、加速度、位移.速度、加速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的
加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题,所用的知识主要是向量的线性运算,有时也借助于坐标来运算.
3.向量与功.
力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向量的数量积,即有为与的夹角.
典例探究
例5质量的木块,在平行于斜面向上的拉力大小为的作用下,沿倾斜角的光滑斜面向上滑行的距离.
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功;
(2)在这个过程中,物体所受各力对物体做功的代数和是多少
解析：根据题意对木块进行受力分析,明确各个分力的大小和方向,再根据做功的定义求解.
答案：(1)木块受三个力的作用,重力,拉力和支持力,如图所示,拉力与位移方向相同,所以拉力对木块所做的功为.支持力与位移方向垂直,不做功,所以.重力对物体所做的功为
.
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为.
方法归纳
1.用向量解决物理中相关问题的步骤.如图所示.
2.利用向量法解决物理问题有两种思路,第一种是几何法,选取适当的基底,将题中涉及的向量用基底表示,利用向量运算法则、运算律或性质计算.第二种是坐标法,通过建立平面直角坐标系,实现向量的坐标化,转化为代数运算.
变式训练5已知一物体在力的共同作用下从点移动到点.在这个过程中三个力的合力所做的功为______.
答案:
点拨:∵,∴合力.
又∵,∴,
即三个力的合力所做的功等于.
易错易混解读
例 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.若,则____________.
错解∵,∴,
∴,又∵,∴,
不妨设,则由题知,.又∵.
又∵的夹角为,∴由得,
∴.同理,在中两边同乘,由数量积得.
故.
错因分析 在求向量与的夹角时,忽略两个向量必须同起点,所以其夹角应为.
正解,∴∴
又∵∴.
不妨设,则由题知,.又∵
又∵的夹角为,∴由得,
∴.同理,在中两边同乘,由数量积得.
故.
纠错心得 在几何中求向量的夹角时切记两个向量必须同起点,向量的夹角和直线与直线的夹角是不同的.有时候在图形中不会直接体现出待求向量夹角的关系,容易造成理解上的错误,需要注意.
课堂快速检测
1.已知两个力的夹角为,它们的合力大小为,合力与的夹角为,那么的大小为( )
A.
B.
C.10
2.已知四点的坐标分别是,4),,则四边形为( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
3.在中,,且 ,则是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
4.在中,为中点,则( )
A.
B.
C.0
D.
5.已知为三角形内部任一点(不包括边界),且满足,则一定为( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形
6.点在平面上做匀速直线运动,速度向量(即点的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位).设开始时点的坐标为,则5秒后点的坐标为( )
A.
B.(-30,25)
C.
D.
答案
1.
答案：B
解析：.
2.
答案：A
解析：由题意知,,所以.又因为,所以四边形为梯形.
3.
答案：D
解析：在中,∵与的夹角为钝角,则为锐角,的形状无法确定.
4.
答案：B
解析：建立如图所示的平面直角坐标系,
则,∴.又为的夹角,
5.
答案：D
解析：由题意得,即边上的中线与垂直,∴该三角形是等腰三角形.
6.
答案：C
解析：点的位移为.∵点的起始位置为秒后点的位置为.
要点概括整合
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