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第九章　平面向量
9.4.1　平面几何中的向量方法
1. 会用向量方法计算或证明几何中的相关问题.
2. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.教学重点：会用向量方法计算或证明几何中的相关问题.
2.教学难点：体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
题型一　利用平面向量证明平面几何问题
【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【变式训练】　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
题型二　利用平面向量求几何中的长度问题
【例2】　如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长.　转化为求解向量的模
题型三　平面几何中的平行(或共线)问题
【例3】　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
【跟踪训练】　在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC.
1.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为(　　)
A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
2.在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)
A.2 B.1 C. D.4
3.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________.
4.正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB，BC的中点，试求cos∠DOE的值.
参考答案
1、解析　由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D.
答案　D
2、解析　∵＝＋(＋)，
∴－＝(＋)，＝(＋)，
∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线.∴||＝1.
答案　B
3、解析　BC中点为D，＝，
∴||＝ .
答案　
4、解　以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：
＝，＝，
故cos∠DOE＝＝＝.
即cos∠DOE的值为.
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